NEW小学数学思维训练题及答案解析.docx
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NEW小学数学思维训练题及答案解析
小学数学思维训练“十佳题”
(2)
1.在□里填上不同的质数,使等式成立。
□+□=□×□=□-□
【分析与解答】如果两个质数的和(或差)是奇数,那么必须是奇数与偶数的和(或差),而偶质数只有2,则填写重复。
所以这个和只能是偶数。
一个因数是2.可以列出100以内的质数来选择列举。
3+7=2×5=23-133+11=2×7=37-23
3+7=2×5=71-613+19=2×11=29-7……
2.甲乙两种奥运会纪念品的单价相差0.6元,用36元钱买乙种纪念品比买甲种纪念品刚好可以多买2个,则甲的单价是多少元,乙的单价是多少元?
【分析与解答】以角做单位,则
360=甲的单价×甲的数量=(甲的单价-6)×(甲的数量+2)。
360=1×360=2×180=…=10×36=12×30=15×24=18×20
观察知道,甲的单价是36角,即3.6元,乙的单价是3元。
3.一个长方体的玻璃缸,长8分米,宽6分米,高4分米,水深2.8分米,如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块,缸里的水溢出多少升?
【分析与解答】铁块的体积4×4×4=64(立方分米)
水的体积8×6×2.8=134.4(立方分米)
玻璃缸的容积8×6×4=192(立方分米)
注意到铁块的高度与玻璃缸的高度相同,而水的体积与铁块的体积的和比玻璃缸的容积大,则溢出水的体积是64+134.4-192=6.4(立方分米)=6.4(升)
4.一个棱长10厘米的正方体的玻璃缸,水深3厘米,如果投入一块棱长6厘米的正方体铁块,缸里的水上升了多少厘米?
【分析与解答】正方体没有淹没于水中,所以不能用正方体的体积÷底面积.根据水的体积不变,而水的底面积由10×10=100(平方厘米)变成了(10×10-6×6)平方厘米了,由此可以求出水的高度.
10×10×3÷(10×10-6×6)=4.6875(厘米)
上升4.6875-3=1.6875(厘米)
5.一个棱长10厘米的正方体的玻璃缸,水深4厘米,如果投入一块棱长6厘米的正方体铁块,缸里的水上升了多少厘米?
【分析与解答】开始好像正方体没有没于水中,如上计算水深是
10×10×4÷(10×10-6×6)=6.25(厘米)
大于6厘米说明水已经淹没了铁块,计算上升的高度直接用铁块的体积÷玻璃缸的底面积.
6×6×6÷(10×10)=2.16(厘米)
另解:
当知道铁块没于水中后,由水的体积也可求高度.铁块高6厘米,铁块周围的水是以底面积是(10×10-6×6)平方厘米来计算的,高于铁块的部分的水的底面积是10×10=100平方厘米.
〔10×10×4-(10×10-6×6)×6〕÷(10×10)+6-4=2.16(厘米)
6.把数字1至9填入算式中,使等式成立。
□/□=□/□=□□/□□□
【分析与解答】2/4=3/6=79/158(填法很多)
7.把数字1至9填入算式中,使算式成立。
□□□□×□=□□□□
【分析与解答】1738×4=6952或1963×4=7852
8.在射箭比赛中,每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶),或者是不超过10的自然数,甲、乙两名运动员各射了5箭,每人5箭得到的环数的积都是1764,但是甲的总环数比乙少4环。
求甲、乙的总环数。
【分析与解答】因为每箭射中的环数都是1764的因数,而
1764=2×2×3×3×7×7,并且环数是不超过10的自然数。
所以必有两箭是7环。
其它3箭是2×2×3×3的因数,有5种可能:
7,7,1,4,9和为28;7,7,2,3,6和为25;
7,7,1,6,6和为27;7,7,3,3,4和为24;
7,7,2,2,9和为27
因为甲的总环数比乙少4,所以甲的总环数是24,乙的总环数是28.
9.在算式1997÷□=□…9的两个方框中填入适当的数,可以组成正确的算式,这样的算式共有多少个?
【分析与解答】1997-9=1988是除数的倍数,而除数大于余数9,也就是求1988的大于9的因数有多少个。
列举得到:
答案是8个
10.龟兔进行10000米赛跑,兔子的速度是乌龟的5倍,当它们从起点出发后,乌龟不停地跑,兔子跑到某一地点开始睡觉,兔子醒来时,乌龟已经领先它5000米,兔子奋起直追,当乌龟到达终点时,兔子仍落后100米,那么兔子睡觉期间乌龟跑了多少米?
【分析与解答】10000-(10000-100)÷5=8020(米)
(本训练题适用五年级学生)
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小学数学思维训练“十佳”题(3)
1、分数3/71的分子和分母同时加上一个相同的数,使分数变成1/5。
问:
这个加上的数是多少?
(类比转化法)
【分析与解答】本题的要求是要我们求分子和分母同加上什么数,使分数的分母是分子的5倍。
因为分子和分母不管加上什么数,它们的差71—3=68是不变的,所以,根据这一特点,我们一定会想起本题和年龄问题相类似。
例如,儿子今年6岁,父亲33岁,问几年以后父亲的年龄正好是儿子的4倍?
父亲与儿子的年龄差是27岁,这个差是不变的。
几年后父亲的年龄是儿子的4倍,27岁相当于几年后儿子年龄的(4—1=)3倍。
用除法就可以求出:
(33—6)÷(4—1)=9岁,9—6=3年,也就是3年后父亲的年龄是儿子的4倍。
同理,本题中分母与分子的差68相当于新分子的(5—1=)4倍,用除法可求出新分子,进而再求出分子和分母同加上的是什么数。
(71—3)÷(5—1)—3=14,即分子与分母同时加上14,可以使分数变成1/5。
2、某商品76件,出售给33位顾客,每位最多买3件,买1件按定价,买2件降价10%,买3件降价20%。
最后结算,平均每件恰好按原价的85%出售,那么买3件的顾客有多少人?
(类比转化法)
【分析与解答】题目已给出平均数85%,可以作为比较的基准。
1人买3件少5%×3;1人买2件多5%×2;1人买1件多15%×1。
1人买3件与1人买1件组成A组,即按1:
1的比例;2人买3件与3人买2件组成B组,即按2;3的比例。
A组是2人买4件,每人平均买2件;B组是5人买12件,每人平均买2.4件。
现在已经建立了一个鸡兔同笼模型的问题:
总脚数76,总只数33,兔脚数2.4,鸡脚数2。
B组人数是(76—2×33)÷(2.4—2)=25人,其中买3件的有25÷(2+3)×2=10人,买2件的有25÷(2+3)×3=15人;A组人数是33—25=8人,其中买3件的有4人,买1件的有4人。
也就是说买3件的一共有10+4=14人。
3、两人轮流从1,2,3,……,9这9个数字中取数。
每次取1个,谁先取的数中有3个数的和为15就算赢家。
如果第1个人取的数是5,那么第2个人应该取几才能使自己立于不败之地?
(类比转化法)
【分析与解答】这个问题实际上是“井字棋”游戏,乙的对策如果不对,会导致失败。
本题条件中的“和为15”,使我们联想到“三阶幻方”,它的每行、每列及对角线的和都是15。
故本题等价于甲乙二人轮流将黑白二色棋子放入九宫格中,哪一方放入的棋子先成一行(横行、竖行和斜行)者为胜。
甲先占了中间一格,乙应选哪一格才能保证自己不败?
假设乙选择边上的位置,比如选3,则甲选4,乙只好选6。
甲再选2,这时8、9这两个位置乙只能选一个,甲必得其一,这样甲就必胜无疑了。
当甲选5时,乙应选九宫格中位角上的数字,即应选2、4、6、8中的一个,才能使自己立于不败之地。
4、21个球队用淘汰制决定冠军,总共要赛多少场?
(逆推法)
【分析与解答】淘汰制就是每两个队比赛一场淘汰一个队,依此类推,赛到最后一对,胜利者就是冠军。
解答此题的一般是顺推法,比较复杂,如果用逆推法就简单、巧妙得多。
因为淘汰一个队要赛1场,总共是21个队,而获得冠军的只有1个队,也就是说要淘汰20个队,总共要赛20场。
5、一份试卷共25道题。
每一道题给出4个答案,其中只有一个正确。
要求考生把正确的选出来,每选对一题得4分,不选或错选扣1分。
如果一个学生得90分,那么他做对了几道题?
(逆推法)
【分析与解答】此题按正向思维的方法解,很难,要不就用假设法。
如果用逆推法就简单、巧妙得多。
因为选错或不选扣1分,与做对相比,损失5分,得90分的人被扣了10分,这就是选错或不选的有2道题,所以选对了23题。
6、一年级和六年级共100人摘了100千克茶叶,六年级每人摘3千克,一年级每3人摘1千克,问一年级和六年级各有多少人?
(分组法)
【分析与解答】学生一般用假设法来解答这类题。
如果用分组法解答此题就更简单、更容易理解。
因为六年级1人摘3千克,一年级3人摘1千克,所以把六年级的1人和一年级的3人分为一组,这4人可以摘茶叶4千克,100千克里有几个4千克,就有几组学生,有几组就有几名六年级的学生。
100÷(3+1)=25人,100—25=75人。
7、甲乙二人做换棋子游戏,甲有100个棋子,乙有20个棋子。
如果甲每次给乙5个棋子,乙再还给甲3个棋子,那么按照这样的方法连续调换多少次,乙的棋子是甲的3倍?
(抓不变量)
【分析与解答】此题如果我们按照甲的棋子每次减少(5—3)个,乙的棋子每次增加(5—3)个,一步一步地推算,解答起来就很麻烦。
如果能抓住“和不变”进行思考,问题就简单了。
当“乙的棋子是甲的3倍”时,则两人共有的棋子(100+20)个就相当于甲这时所有棋子的(3+1)倍。
(100+20)÷(3+1)=30个,(100—30)÷(5—3)=35次。
8、龟兔进行10000米赛跑,兔子的速度是龟的速度的5倍,当它们从起点一起出发后,龟不停地跑,兔子跑到某一地点开始睡觉,兔子醒来时,龟已经领先它5000米。
兔子奋起直追,但龟到达终点时,兔子仍落后100米,那么兔子睡觉期间龟跑了多少米?
(灵感思维)
【分析与解答1】假定兔子不睡觉(这是巧妙之处),当龟跑完全程10000米时,兔子应跑10000×5=50000米,但实际上只跑了10000—100=9900米,少跑了50000—9900=40100米,这40100米正是兔子睡觉所耽误的路程。
因此在兔子睡觉期间龟跑了40100÷5=8020米。
【分析与解答2】假定兔子一次性跑到离终点100米处在睡觉(这是巧妙之处),此时兔子跑了10000—100=9900米,龟跑了9900÷5=1980米,剩下10000—1980=8020米,这正是在兔子睡觉期间龟跑的路程。
我们不难发现,题目中的条件“5000米”是多余的。
9、把14拆成几个自然数的和,再求出这些数的乘积,如何拆可使乘积最大?
(极端思维)
【分析与解答】十分明显,这样的数是很多的,我们不可能也没有必要一一找,如果用极端思维,情况就变得十分简单了。
首先把14这个数推向最大的一端,拆的个数要尽可能多,多一个可多乘一次,接着把加数推向最小一端:
加数不宜超过4,比如5拆成2和3,则2×3>5,这就说明加数大于4的,要尽量拆小;但不应出现1,因为1与任何数的乘积仍为原数;另外在所拆的数中,2的个数不能多于2,因为2×2×2<3×3。
这样14应尽可能拆成3,因为4×3=12,所以14拆成了3、3、3、3、2时,这些数的乘积最大,其乘积为3×3×3×3×2=162。
10、有一天,某商店估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后,能卖出500个。
已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个,为了使这一天能赚得更多利润,售价应定为每个多少元?
(极端思维)
【分析与解答】这道题目的数量关系比较复杂,而题目所给的条件不够充分,若用一般的方法去分析解答,看来比较困难。
我们不妨抓住题目中的“涨价”和“销量减少”这两个极端,问题就容易解答了。
因为按每个100元出售,能卖出500个,每个涨价1元,其销量减少10个,所以,这种商品是按单价90元进货,共进了600个。
现把600个商品按每份10个,可分成60份,因每个涨价1元,销售就减少1份(即10个);相反,每个减少1元,销售就增加1份。
所以,每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的(为60),根据等周长长方形面积最大原理可知,当把60分为两个30时,即每个涨价30元,卖出30份,此时有最大利润。
因此,每个售价定为90+30=120元时,这一天能获得最大利润。
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小学数学思维训练“十佳”题(4)
1、猜猜是几?
一个三位数,写在一张纸上,倒过来看是正着看的1.5倍,正着看是倒过来看的2/3,这个三位数是几?
【分析与解答】这个三位数是666。
其实,只要你稍加思索,就可以想出来了。
这道题如果要求找一个一位数,那就是6;找一个两位数,则是66;找一个四位数,则是6666,依此类推。
2、一筐苹果
入冬前,妈妈买来了一筐苹果,清理时,发现这筐苹果2个、2个地数,余1个;3个、3个地数,余2个;4个、4个地数,余3个;5个、5个地数,余4个;6个、6个地数,余5个。
你知道这筐苹果至少有多少个吗?
【分析与解答】根据题目条件,可以知道,这筐苹果的个数加1,就恰好是2、3、4、5、6的公倍数。
而题目要求“至少有多少个”,所以,苹果的个数应该是2、3、4、5、6的最小公倍数减去1。
[2,3,4,5,6]=6060-1=59即这筐苹果至少有59个。
3、有这样的数吗?
小明异想天开地提出:
“世界上应该存在这样两个数,它们的积与它们的差相等。
”他的话音刚落,就引起了同学们的哄堂大笑,大家都觉得这是不可能的。
但是,世界上有些事情往往产生于一些怪想法。
小明的想法,后来竟被同学们讨论证实了。
你能找到这样的两个数吗?
告诉你,这样的数还不止一对呢!
【分析与解答】下面举出几个两数的积等于两数的差的实例:
同学们,你可再试着找一些。
4、关键在于观察
你在数学课上学了不少几何图形的知识,掌握了不少平面图形的求面积公式。
但是有许多组合面积的计算,单靠这些知识是远远不够的,它更需要对组合图形的观察能力。
下面就是一道考查你的观察能力的题目。
试试看,你能很快做出来吗?
已知图内各圆相切,小圆半径为1,求阴影部分的面积。
【分析与解答】把半圆展开成整圆。
可看出除小半圆外的阴影面积是大圆减掉6个小圆后的1/6,再加上小半圆面积即可。
5、扩大鱼池
养鱼专业户张强,去年承包了一个叫“金三角”的鱼池(如下图),喜获丰收。
为了进一步增产,决定把鱼池扩大。
但有这样的要求:
①扩大后的鱼池必须仍是三角形,保持“金三角”鱼池的称号;②扩大后的鱼池面积是原面积的4倍;③原鱼池的三个角上栽的3棵大柳树不能移动。
你能替张强设计一个施工草图吗?
【分析与解答】金三角”一定是一个很特殊的三角形。
扩大后的面积是原面积的4倍,则还差三个“金三角”,拿三个“金三角”去原“金三角”拼摆,即可做到柳树不会移动,而且面积扩大4倍,而且形状还是“金三角”。
自然就能发现这个“金三角”肯定就是“等边三角形”。
6、五个少年
五个少年,依次相差一岁,在1994年共同发奋学习,到公元2018年时,他们都在科学上做出了很大贡献。
那时他们的年龄也增长了,他们五人在公元2018年的年龄之和正好是1994年的年龄之和的3倍。
问在1994年时他们的年龄各是多少?
【分析与解答】设年龄为中间数的一个少年在1994年是x岁,则其余四人的年龄分别为x-2岁、x-1岁、x+1岁、x+2岁。
在1994年五人年龄之和为(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)=5x
2018年五人年龄之和为5x+24×5=5(x+24)
因为这五个少年2018年的年龄之和是1994年年龄之和的3倍,所以
5(x+24)=3×5x,解得x=12
因此,这五个少年的年龄分别为10岁、11岁、12岁、13岁和14岁。
7、一本书的页数
我们知道印刷厂的排版工人在排版时,一个数字要用一个铅字。
例如15,就要用2个铅字;158,就要用3个铅字。
现在知道有一本书在排版时,光是排出所有的页数就用了6869个铅字,你知道这本书共有多少页吗?
(封面、封底、扉页不算在内)
【分析与解答】仔细分析一下,页数可分为一位数、两位数、三位数、……。
一位数有9个,使用1×9=9个铅字;两位数有(99-9)个,使用2×90=180个铅字;三位数有(999-90-9)个,使用3×900=2700个铅字;依此类推。
我们再判断一下这本书的页数用到了几位数。
因为从1到999共需用9+2×90+3×900=2889个铅字,从1到9999共需用9+2×90+3×900+4×9000=38889个铅字,而2889<6869<38889,所以这本书的页数用到四位数。
排满三位数的页数共用了2889个铅字,排四位数使用的铅字应有6869-2889=3980(个),那么四位数的页数共有3980÷4=995(页)。
因此这本书共有999+995=1994(页)。
8、画一画
下面这些图形你能一笔画出来吗?
(不重复画)
【分析与解答】一笔画需要解决两个关键问题。
一个是这幅图能不能一笔画?
另一个是,若能一笔画,应该怎样画?
对于这两个问题,数学家欧拉在1736年研究了“哥尼斯堡七桥”的问题后,做了相当出色的回答。
他指出,如果一幅图是由点和线连接组成,那么与奇数条线相连的点叫“奇点”;与偶数条线相连的点叫“偶点”。
例如,在图17中,B为奇点,A和C为偶点。
如果一幅图的奇点的个数是0或是2,这幅图可以一笔画,否则不能一笔画。
这是对第一个问题的回答。
欧拉又告诉我们,如果一幅图中的点全是偶点,那么,你可以从任意一个点开始画,最后还回到这一点;如果图中只有两个奇点,那么必须从一个奇点开始画,并结束于另一个奇点。
本题的4幅图,其中图
(1)、(4)各有两个奇点,图
(2)、(3)的奇点个数为0。
因此这4幅图都可一笔画。
画法请参看图
9、越减越多
同学们对这样的问题可能并不陌生:
“一个长方形被切去1个角,还剩几个角?
”这种题的最大特点是答案不唯一,要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少。
以下3幅示意图,表明了3种不同情况的3种不同答案。
其中第3种情况最有趣,长方形原有4个角,切去了1个角,反而多了1个角,出现了越减越多的情况。
下面一道题的思考方法与上题类似,看你能否正确回答。
“一个正方体,锯掉一个角,还剩几个角?
”请注意,这里的“角”是立体的“角”,它不同于平面上的角。
【分析与解答】锯掉角的情况有4种,因此剩角的答案也有4种(如14图所示)。
10、河边洗碗
有一名妇女在河边洗刷一大摞碗,一个过路人问她:
“怎么刷这么多碗?
”她回答:
“家里来客人了。
”过路人又问:
“家里来了多少客人?
”妇女笑着答道:
“2个人给一碗饭,3个人给一碗鸡蛋羹,4个人给一碗肉,一共要用65只碗,你算算我们家来了多少客人。
”
【分析与解答】题目给出了碗的总数,以及客人和碗的关系。
如果能求出每人占用多少只碗,那么就可以求出客人的数目了。
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小学数学思维训练“十佳”题(5)
1、计算:
(1+21+31+41)×(21+31+41+51)-(1+21+31+41+51)×(21+31+41)
[分析与解答]:
注意到这几个分数多次出现,我们把第一个括号里的(21+31+41)看成是一个数a,把第二个括号里的(21+31+41+51)看成是一个数b,那么第三个括号里是(1+b),第四个括号里就是a.
解:
设21+31+41=a21+31+41+51=b
原式=(1+a)×b-(1+b)×a=b-a=51
2、下边是一个残缺的乘法竖式,那么乘积是多少?
[分析与解答]:
如右式。
显然,e=9,d≤2。
如果d=1,则a=b=2,此时e不可能等于9,矛盾,所以d=2,a=b=1。
因为e=9,所以c=9,得到11×92=1012
3、小王、小张、小李在一起,一位是工人,一位是农民,一位是战士。
现在知道小李比战士年龄大,小王和农民不同岁,农民比小张年龄小。
那么谁是工人?
谁是农民?
谁是战士?
[分析与解答]:
小王
小张
小李
工人
农民
×
×
√
战士
×
由“小李比战士年龄大”,说明小李不是战士,在小李的战士格子上打×;由“农民比小张年龄小”,说明小张不是农民,在小张的农民格子上打×;又由“小王和农民不同岁”,说明小王不是农民,在小王的农民格子上打×。
观察知道小李是农民,在小李的农民格子上打√。
他们的年龄从大到小的顺序是小张>农民=小李>战士,因此,小王是战士,小张是工人,小李是农民。
4,已知正方形ABCD的边长为10厘米,过它的四个顶点作一个大圆,过它的各边中点作一个小圆,再将对边中点用直线连接起来得下图。
那么图中阴影部分的总面积等于多少平方厘米?
(注π取3.14)
[分析与解答]:
如右图,原题阴影部分相当于该图的阴影部分的一半。
小圆半径为10÷2=5(厘米),大圆半径的平方是(52+52),因此,所求阴影部分的总面积为[(52+52)×π-52π]÷2=39.25(平方厘米)
5、在中国古代算书《张丘建算经》中有一道题:
已知小鸡一元钱三只,母鸡三元钱一只,公鸡五元钱一只。
现在用一百元钱买一百只鸡。
问:
这一百只鸡中,小鸡、母鸡、公鸡各多少只?
(每种鸡都须买)
[分析与解答]:
解:
设买小鸡x只,母鸡y只,公鸡z只。
X+y+z=100
(1)
31x+3y+5z=100
(2)
(2)×3-
(1)得8y+14z=2004y+7z=100Y=25-47z
当z=4时,y=18,x=78;当z=8时,y=11,x=81;当z=12时,y=4,x=84;
答:
买小鸡、母鸡、公鸡78只、18只、4只;或81只、11只、8只;或84只、4只、12只。
6、兄弟四人一起去买一台电视机。
老大带的钱是另外三个人所带钱总数的一半,老二带的钱是另外三个人所带钱总数的31,老三带的钱是另外三个人所带钱总数的41,老四带了910元。
那么这台电视机需要多少元?
[分析与解答]:
先统一单位“1”,再列式计算。
例如根据“老大带的钱是另外三个人所带钱总数的一半”,把另外三个人所带钱总数看着单位“1”,则老大带的钱是四个人所带钱总数的21÷(1+21)=31,910÷(1-31-41-51)=4200(元)
7,某工程队先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成。
如果由甲乙两人合作,需48天完成。
现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么还需要做多少天?
[分析与解答]:
思路一:
由题目条件可知,甲做15天的工作量相当于乙做20天的工作量,也就是甲的工效是乙的工效的34倍。
由此可推出甲的工效为74,乙的工效为73。
这样,甲单独完成工程需48÷74=84(天),乙单独完成工程需48÷73=112(天)。
现甲做了42天,完成了全工程的21,剩下的21由乙完成,那么乙需21÷1121=56(天)。
思路二:
把“先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成”转化为“先由甲单独做63-28=35天,再由甲乙合做28天即可完成”。
由此可推出甲的工效为(1-481×28)÷(63-28)=841,乙的工效为481-841=1121。
现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么还需要做的天数是(1-841×42)÷1121=56(天)。
8,牧场上牧草匀速生长。
27头牛6天吃完;23头牛9天吃完。
如果一群牛12天吃完这片牧草,这群牛有几头?
[分析与解答]:
解:
设每头牛每天吃草量为1。
每天生长的草量:
(23×9-27×6)÷(9-6)=15
原有草量:
27×6-15×6=72
这群牛的头数:
(72+15×12)÷12=21(头)
9、苏步青教授是我国著名的数学家,他小时侯,一次在电车上,碰到了一位有名的外国数学家,这位外国数学家出了一道题目让他做。
题目是:
甲乙两人同时从两地出发,相向而行,距离是100千米。
甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,甲带着一只狗,狗每小时跑10千米,
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