离散型随机变量的教学设计修改版.docx
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离散型随机变量的教学设计修改版
第一篇:
离散型随机变量的教学设计
“离散型随机变量”的教学设计
一、内容和内容解析
“随机变量及其分布”一章的主要内容就是要通过具体实例,帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念,理解超几何分布和二项分布的概型并能解决简单的实际问题,使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性,认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,了解条件概率和两个事件相互独立的概念。
“离散型随机变量”是这一章的开门课。
因此,在本节课中,让学生了解本章的主要内容及其研究该内容所用的数学思想方法,对学生明确学习目标和学习任务,提高他们的求知欲望,激发他们的学习兴趣非常重要。
于是,本节课的第一个教学任务就是要做好章头图的教学。
教材的章头图从实例和图形两个方面展示了本章要学习的内容,一个是离散型随机变量的产生背景和分布列的条形图,另一个是正态分布的背景和正态分布密度曲线。
教学时要充分地运用章头图的这两个背景,通过问题的形式,帮助学生明确本章要学习的主要内容和意义。
对于一个随机现象,就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率。
对于随机试验,只要了解了它可能出现的结果,以及每一个结果发生的概率,也就基本把握了它的统计规律。
为了使用数学工具研究随机现象,需要用数字描述随机现象,建立起连接数和随机现象的桥梁——随机变量。
随机变量能够反映随机现象的共性,有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中。
而高中阶段主要研究的是有限的离散型的随机变量,因此,本节课的第二个教学任务就是通过具体实例,帮助学生掌握随机变量和离散型随机变量的概念,理解它们的意义和作用,能对一个随机试验的结果,用一个随机变量表示,并能确定其取值范围。
二、目标和目标解析
1.了解本章学习的内容和意义。
具体要求为:
(1)通过章头图中给出的射击运动的情景,帮会学生了解,在射击运动中,每次射击的成绩是一个非常典型的随机事件。
在这个离散型的随机事件中,如何刻画每个运用员射击的技术水平与特点?
如何比较两个运动员的射击水平?
如何选拔运动员参加比赛获胜的概率大?
这些问题的解决需要离散型随机变量的概率分布、均值、方差等有关知识;
(2)通过章头图中给出的高尔顿板游戏情景,帮助学生了解在这样一个连续型的随机事件的游戏活动中,小球落在哪个槽中的可能性更大?
槽中的小球最后会堆积成什么形状?
这些问题与本章将要学习的正态分布有关;
(3)在上述两个情景的基础上,通过问题的形式,帮助学生提出本章要研究的问题和基本思想:
随机事件形形色色,随机现象表现各异,但如果舍弃具体背景,它们就会呈现出一些共性;如果把随机试验的结果数量化,用随机变量表示试验结果,就可以用数学工具来研究这些随机现象。
这样不仅阐述了本章的主要内容,而且激发了学生的学习兴趣,使他们明确本章的学习目标以及研究本章内容的数学思想方法。
2.理解随机变量和离散型随机变量的描述性定义,以及随机变量与函数的关系,能够把一个随机试验的结果用随机变量表示,能够根据所关心的问题定义一个随机变量。
具体要求是:
(1)在对具体问题的分析过程中,帮助学生理解用随机变量表示随机试验结果的意义和作用:
为了使用数学工具研究随机现象,需要用数字描述随机现象,建立起连接数和随机现象的桥梁——随机变量,掌握随机变量的描述性概念,了解随机变量与函数的关系,构造随机变量应当注意的问题(如随机变量应该有实际意义、应该尽量简单,以便于研究),以及用随机变量表示随机事件的方法等;
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(2)通过具体问题的对比分析,帮助学生理解随机变量有两个类型:
ìì取有限个值的离散型随机变量ï离散型随机变量í
随机变量í随型机变量î取无穷多个值的离散ïî连续型随机变量能够根据具体问题,把随机试验的结果用一个随机变量表示,并能写出其取值范围;能够熟练地用随机变量的取值表示一个随机事件;
(3)通过反思随机变量的定义过程,引导学生体会,在实际应用中如何根据实际问题恰当地定义随机变量(如根据所关心的问题,定义随机变量),以达到事半功倍的效果。
三、重点和难点解析
本节内容是为求分布列作铺垫的一节概念课。
所以要把随机变量和离散型随机变量的概念讲清楚。
于是,可以确定的重点、难点是:
重点:
用随机变量表示随机试验结果的意义和方法;
难点:
对随机变量意义的理解;构造随机变量的方法;随机变量取值范围的确定。
四、教学问题诊断分析
1.是否讲解“随机试验”的概念?
研究随机现象,就是要研究随机试验可能出现的结果(其中的每一个结果即为一个随机事件)和每一个结果发生的概率(即描述每一个随机事件发生可能性大小的度量),从而把握它的统计规律。
这里有三个概念:
随机事件、随机现象和随机试验。
在必修三中,学生已经学习了随机事件的概念(即在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的随机事件),之前,学生通过在初中数学和必修三的概率学习,又有了随机现象的观念,因此,学生对“随机试验”的概念是能够不加定义而自明的,也就是“随机试验”可以作为不加定义的原始概念引入。
事实上,教材在介绍随机变量的概念时,不加定义地引入了“随机试验”的概念(教材第44页第一个思考下方第一行),就是基于这样的考虑,因此,在教学中,对“随机试验”的概念不需要(也根本没有必要)引导学生下定义,以避免严格的定义可能造成学生理解的模糊,影响对主干概念“随机变量”的理解。
事实上,“试验”一词有十分广泛的含义:
凡是对对象的观察或为此而进行的实验都称之为试验。
如果一个试验满足以下条件,则称之为随机试验:
(1)试验可以在相同条件下重复进行;
(2)试验的所有结果是明确且可以知道的,并且不止一个;(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
2.怎样建构“随机变量”的概念?
本节内容围绕随机试验的结果可以用“数”表示进行展开。
掷骰子试验、掷硬币试验是学生比较熟悉的两个随机试验,对掷骰子试验的结果和数字1~6对应起来学生很容易理解,而掷硬币试验的结果则不容易联想到数字。
可以引导学生思考:
值一枚硬币的结果是否也可以用数字表示呢?
通过把“正面向上”与1对应,“反面向上”与0对应,使得掷硬币的试验结果同样也可以用数字表示,这样的问题还可以列举,如新生婴儿性别抽查:
可能是男,也可能是女,同样可以分别用1和0表示这两种结果,在此基础上抽象概括出随机变量的描述性定义。
3.怎样深化对“随机变量”概念本质的理解?
对随机变量概念的理解,不是下个定义一步完成的,为了帮助学生深入地体会随机变量的本质,可以对掷硬币的试验结果的表示方法提出下面问题:
还可以用其他的数来表示这两个试验结果吗?
目的是鼓励学生提出其他表示方法,比如“正面向上”用1表示,“反面向上”用-1表示等,以使学生理解随机变量的本质。
事实上,对于同一个随机试验,可以用不同的随机变量来表示其所有可能出现的结果。
为了帮助学生体会,究竟选择什么样的随机
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变量更为合适?
这就涉及到构造随机变量应当注意的一些基本问题:
如随机变量应该有实际意义,应该尽量简单,以便于研究。
例如,对于掷n次硬币出现正面的次数x可以表示为x=x1+x2+„+xn,其中xi=íì1,第i次试验出现正面î0,第i次试验出现反面,通过这样的例子,帮助学生体会用数字1和0表示,能够直接反应出正面向上的次数,这显然很方便;而用1和-1分别表示试验结果的反面和正面,那么掷n次硬币出现正面的次数x的表达式就会变得很复杂。
为了进一步深化对概念的理解,可以引导学生将随机变量与函数概念进行类比:
随机变量与函数有类似的地方吗?
使他们了解随机变量的概念实际上也可以看作是函数概念的推广。
4.如何通过随机变量表示所关心的随机事件?
引入随机变量的目的是为了研究随机现象,那么如何通过随机变量表示所关心的随机事件呢?
可以通过一些例子介绍用随机变量表示随机事件的方法,特别是一些较为复杂的随机事件的表示方法。
例子的类型列举可以广泛:
如有穷可列、无穷可列、不可列等三个类型。
特别是对不可列的随机变量问题,可以根据所关心的问题,能够把它构造成可列的随机变量。
从而进一步体会用随机变量表示随机事件的方法。
五、教学过程设计
1.情境引入
情境1:
在射击运动中,运动员每次射击的成绩具有什么特征?
(随机性)运动员每次射击的成绩是一个什么事件?
(随机事件)
如何刻画每个运动员射击的技术水平与特点?
如何比较两个运动员的射击水平?
如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会的比赛才能使得获胜的概率大?
解决这个问题要涉及到离散型随机变量的概率分布模型。
情境2:
高尔顿是英国生物学家和统计学家,他设计了一个著名的游戏——高尔顿板游戏。
如图,在一块木板上钉上钉着若干排相互平行并相互错开的圆柱形小模块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前后挡有玻璃,然后让一个个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球落在哪个槽中的可能性更大?
槽中的小球最后会堆积成什么形状?
这个问题近似地服从正态分布,它是很多自然现象和生产、生活实际问题中经常遇到的一种连续型随机变量的概率分布模型。
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以上两个问题就是我们本章要学习的两个重要的随机变量概率分布模型,本章的课题是——随机变量及其分布。
引言:
我们知道,概率是描述随机事件发生可能性大小的度量。
无论是运动员的一次射击,还是利用高尔顿板做一次游戏,都是随机试验,只要了解了这些随机试验可能出现的结果(即每一个结果就是一个随机事件),以及每一个结果发生的概率,我们也就基本把握了它的统计规律。
随机事件形形色色,随机现象表现各异,但如果舍弃具体背景,他们就会呈现出一些共性;如果把随机试验的结果数量化,应随机变量表示试验结果,就可以用数学工具来研究这些随机现象。
引导学生阅读章头图的内容。
然后展示本章的知识结构图:
两类随机变量的概率分布模型:
离散型随机变量——(在讲概率分布列、均值和方差的基础上)研究二项分布和超几何分布模型;连续型随机变量——正态分布模型。
2.离散型随机变量
问题1:
概率是描述在一次随机试验中某个随机事件发生可能性大小的度量。
如掷骰子就是一个随机试验,它有六种可能性结果。
你还能举出一些随机试验的例子吗?
该随机试验的所有可能结果有哪些?
设计意图:
能够判定简单的随机试验,并能列举出所有可能的结果,为用“数”表示这些结果做好准备。
问题2:
(1)掷一枚骰子,出现向上的点数X是1,2,3,4,5,6中的某一个数;
(2)在一块地上种10棵树苗,成活的棵树Y是0,1,2,3,„,10中的某个数。
下面两个随机试验的结果是否可以用数字表示呢?
(3)掷一枚硬币所有可能的结果;正面向上——1;反面向上——0
(4)新生儿性别,抽查的所有可能的结果;男——1;女——0设计意图:
通过讨论引导学生发现任何一个随机试验的结果都可用数字进行表示,这样随机试验的结果与数字之间就构成了一个对应关系,这为引入随机变量的概念奠定基础。
问题3:
上述四个例子说明,随机试验的结果与数字之间构成了一个对应关系,使得每一个试验的结果都用一个确定的数字表示。
这样随机试验的结果就可以看成是一个变量,我们称其为随机变量。
你能给随机变量下一个定义吗?
设计意图:
引导学生通过分析、综合活动,尝试给随机变量下定义。
这种定义方式是描述性的,学生可以凭借自己的理解下定义,只要这种描述比较准确就可以,不一定按照课本的描述性定义。
如一般地,如果一个随机试验的结果可以用一个变量表示,这个变量就叫做随机变量,等。
问题4:
在(3)和(4)的两个随机试验中,其试验的结果是否还可以用其他人数字表示?
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设计意图:
通过讨论,得出结论:
一个随机试验的结果可以用不同的随机变量表示。
如上面两个试验的结果还可以用-1和1表示等。
问题5:
在掷一枚硬币的随机试验中,其结果可以用1和0表示,也可以用-1和1等其他数字表示,那么,在5次掷硬币的随机试验中,出现“正面向上”的次数x可以怎样表示?
由此你认为定义一个随机变量需要遵循哪些原则?
设计意图:
出现“正面向上”次数x=x1+x2+×××+x5,
ì1,第i次试验出现正面,当一次试验的结果表示为xi=íx=0,1,2,3,4,5;
î0,第i次试验出现反面。
ì1,第i次试验正面向上,当一次试验的结果表示为xi=íxi=-5,-4,-3,-2,-1,0.
-1,第i次试验反面向上。
î从使用意义上看,显然把正面向上的次数表示成负数不太合适,而且这样也不方便,因此,构造随机变量时,应当注意一些基本问题:
如随机变量应该有实际意义,应当尽量简单,以便于研究。
问题6:
随机变量和函数有类似的地方吗?
设计意图:
引导学生把随机变量和函数进行类比,使他们了解随机变量的概念实际上也可以看作是函数概念的推广:
随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数。
在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当与函数的值域。
例1判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由。
(1)每天你接到的电话的个数X;
(2)标准大气压下,水沸腾的温度T;(3)某一自动装置无故障运转的时间t;(4)体积64立方米的正方体的棱长a;(5)抛掷两次骰子,两次结果的和s.(6)袋中装有6个红球,4个白球,从中任取5个球,其中所含白球的个数η.设计意图:
进行随机变量概念辨析。
例2.写出下列各随机变量可能的取值(或范围):
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张被取出的卡片的号数X.
(2)一个袋中装有3个白球和5个黑球,从中任取5个,其中所含白球数Y.(3)抛掷两枚骰子,所得点数之和ξ.
(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数ξ.(5)某网页在24小时内被浏览的次数η.(6)某一自动装置无故障运转的时间T(7)电灯泡的寿命X。
设计意图:
训练写出随机变量的取值或范围,并在此基础上通过分类得到“离散型随机变量”的概念。
问题7:
在前面所举这些例子中,这些随机变量都有什么特征?
设计意图:
引导学生发现这些随机变量的取值都可以一一列出。
问题8:
所有取值能够一一列出的随机变量,称为离散型随机变量。
离散型随机变量有两类:
一类是离散型随机变量的取有限个值的,一类是离散型随机变量取无限个值的(如例2(3)),我们主要研究取有限个值的离散型随机变量。
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例3.写出下列离散型随机变量可能的取值:
(1)在考试中需回答三个问题,考试规则规定:
每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的可能取值有哪些?
(2)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲乙两人租车的时间都不超过4小时(两人不一定同时回来),则两人所付的总费用X的可能取值有哪些?
设计意图:
练习写出较为复杂的离散型随机变量取值
问题9:
利用随机变量可以表示一些事件。
在例1中,你能说出{X=0}、{X=4}、{X
设计意图:
引导学生学习用随机变量表示随机事件,使学生能够清晰地说出每一个随机变量取值的实际意义。
问题10:
在研究随机现象时,需要根据所关心的问题恰当第定义随机变量。
例如,对灯泡的使用寿命,如果我们仅关心灯泡的使用寿命是否不少于1000小时,那么就可以定义ì0,寿命<1000小时如下的随机变量:
x=í,与灯泡的寿命X相比较,随机变量x的构造更î1,寿命³1000小时简单,它只取两个不同的值0和1,是一个离散型随机变量,研究起来更加容易。
你能根据实际意义,把能对
(2)定义一个随机变量吗?
设计意图:
引导学生能够根据所关心的问题,定义出离散型随机变量。
例4.请根据所关心的问题,定义一个离散型随机变量:
(1)掷一枚骰子,关心“掷出的点数是否为偶数”;
(2)任意抽取一瓶标有2500ml的某饮料,其实际量与规定量之差在±5ml以内为合格;(3)在某项体能测试中,跑1km成绩在4min之内的为优秀;4min以上5min以内为合格;某同学体能测试的结果.设计意图:
练习能够根据所关心的问题定义一个随机变量。
备用例题:
下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?
若能,请写出可能取值,并说出这些值所表示的随机试验的结果。
(1)棱长为1的正方体中,任意两条棱之间的距离(两条棱相交,可认为距离为0);
(2)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,该“立体”的体积为V。
设计意图:
巩固并强化定义离散型变量的方法,并能准确写出所求可能取值。
小结:
以上我们通过一些具体实例研究了随机试验的结果可以用数字表示,引进了随机变量的概念,并对如何根据实际需要定义一个离散型随机变量,并判断它的所有可能取值进行了系统的研究。
实际上随机变量的每一个取值,都表示一个随机事件,每一个随机事件发生的可能性大小的度量就是概念,如掷骰子试验中P(X=1)=116就表示点数为1的概率为6规律了。
我们学习随机变量就是为了研究它的概率,这就是我们下节课要学习的内容。
,也就是如果我们能够知道每一个随机变量取值的概率,也就把握了这个随机现象的基本6
第二篇:
“离散型随机变量”的教学反思与再设计
“离散型随机变量”的教学反思与再设计
浙江省绍兴市高级中学陈柏良
2009年12月2—6日,人民教育出版社A版普通高中数学课程标准实验教材全国经验交流会暨“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”全国第9次课题研讨会在山西省晋中市召开,会上笔者开设了一节“离散型随机变量”的研讨课,引起与会专家和代表的一阵热议.自然地,也促使笔者教学后的深入反思和对本节课教学设计的重新思考.
第一部分教学反思
1.教学设计的逻辑把握
一个好的教学设计,除了对教学内容的数学理解要到位外,至少还必须具备两个特点:
其一,构思简单;其二,逻辑清晰.所谓构思简单,就是整个教学设计有一条主线贯穿,让人一下子能识别和读懂教学内容的“核心”和“精华”;所谓逻辑清晰,就是整个设计从教学起点,到教学过程,再到教学结果,各个环节清清楚楚,自然流畅.
“离散型随机变量”是人教A版数学选修2-3第二章随机变量及其分布的起始课,是学生在学习《必修3》概率的基础上对随机现象的进一步研究.其教学内容主要是随机变量的概念、离散型随机变量的概念,以及如何通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法,体会和领悟随机变量在研究随机现象中的重要作用,渗透将实际问题转化为数学问题的思想方法.由于它的引入,大大简化了各种事件的表示,且使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质,从而可以建立起应用到不同领域的概率模型.应该说,原教学设计对教学内容的数学理解是到位的,瑕疵是稍多地强调了“随机变量的每一个取值(X)与它所对应的概率值(P)建立了一个函数关系”,与会有专家认为,这个提法虽然没有错误,但对于理解随机变量的概念和以后的应用没有多大意义,可以不提(该提法在第二部分的再设计中已作删减).就该课整个教学设计而言,逻辑清楚,问题自然:
先从学生熟知的抛掷一枚骰子(一个熟悉的简单的背景)入手,理解随机变量的概念;接着让学生举例,在学生活动中完成对“随机变量”概念的深刻理解;再在学生的举例中分辨随机变量的取值类型,形成离散型随机变量概念.
2.随机变量的概念教学
教师对随机变量概念的认识和理解,以及教学采取怎样的方式让学生自然“接纳”和“领悟”随机变量概念,是要下番功夫的,因为这会直接影响教学的成败.为此,探讨以下两个问题:
(1)为什么要学习随机变量
众所周知,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的数学分支.认识随机现象就是指:
知道这个随机现象中所有可能出现的结果,知道每一个结果出现的概率.对于给定的随机现象,首先要描述所有可能出现的结果.在数学上处理时,一个常用的、也很自然的做法是用数来表示结果,即把每个结果对应一个数.这样,就建立起了一个统一的刻画不同概率模型中所提及的事件的方法,就可以用数学分析的方法方便有力地研究随机现象了.也就是说,为了便于数学上的推导和计算,就需将任意的随机试验的结果数量化,即将随机试验结果用唯一确定的数字与它对应,建立起随机变量的概念(概言之,随机变量是随机试验可能结果的数量化表示,它是随试验结果而变化的量,其本质是样本空间到实数集之间的一个映射).建立随机变量概念后,随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来.认识随机现象就变成认识这个随机变量所有可能的取值和取每个值时的概率,即对随机现象统计规律的研究就可以具体转化为对随机变量概率分布的研究.这样就可以借助于有关实数的数学工具来研究所感兴趣的随机现象的本质,从而可以建立起应用到不同领域的概率模型,这就是新概念产生的必要性,也就是为什么要学习随机变量的缘由.
我们再从另外一个角度来认识为什么要学习随机变量:
我们知道概率论是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科,也就是从表面上杂乱无章、形式偶然的现象中探索出现象的规律性的一门数学学科(这里的规律性,无非是指各种试验结果以多大概率出现这一问题).正是因为如此,探求这个规律性的工具应该适用于各种形式的随机现象,而且还应该简便、有力.分布函数
就是这样一个工具,但这个函数是在引入随机变量后定义的,
的概率.分布函数可以把各种类型的随机试,即分布函数是事件验的结果的概率分布用一个统一的形式表示出来,它就是一个普通的函数,它有很好的分析性质,便于处理,它的引入使得许多概率论问题得以简化而归结为普通函数的运算,这样就能利用数学分析的结果研究随机现象规律性.
一般地,在学习概率论之前,研究普通变量与函数所采用的思路和方法已为人们所熟悉.自然,人们希望采用熟悉的方法和已有的研究成果研究新的课题,随机变量的引入无疑也有这方面的原因.
(2)用怎样的方式学习和理解“随机变量”
“随机变量”这个概念(或者简单地说随机试验结果与实数的这种对应)实际上早已存在于学生的意识之中,而且在不少场合都已不自觉地“实际使用”(对应思想),如在玩掷骰子时会用“点数”去表示掷出结果,在观看射击比赛时会用“环数”去评价射击成绩,抽奖时会先对奖券“编号”,随机抽取一部分学生时会用“学号”去代替,观看比赛足球比赛时,赢、平、输分别会用“得分”去量化、随意选购商品时会用“价格”去衡量等等,只是没有“明朗化”.因而,对随机变量概念的教学上笔者觉得没有必要创设更多的问题情境,让学生来概括提炼.实际上,把所有试验结果都数字化,要让学生自己想出来也是十分困难的(尽管已经在不自觉地使用).因为,这要求对数学本质有很好的认识才行.故设计中主要考虑如何通过教师有启发地提问,学生有意义地学习来“内化”这个概念.教学中让学生觉得问题的提出,概念的发生、发展过程较为自然,能够从教师的讲授,自己的思考中感受数学是怎样一步步研究现实世界的.故在教学设计中可以从一个简单的学生熟悉的例子(作为新概念引入的背景)入手,循循善诱,使得通过这个例子,就好像通过一道门户,把学生引入一个“建构”新知的领域.原教学设计中对“随机变量”概念的教学是以抛掷一枚骰子为背景的,对“随机变量”的理解,是从函数(随机变量的取值X与随机事件发生的概率P之间的对应)和映射(随机试验的结果与随机变量的取值的对应)的强调中进行的,意在让学生体会随机变量在研究随机现象中的作用.教学实践后有专家认为,让学生明白“随机变量的取值X与随机事件发生的概率P之间的对应(函数关系)”对理解随机变量的概念没有多
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