《数轴》教案 公开课.docx
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《数轴》教案公开课
2数轴
教学目标:
1.知识与技能目标
〔1〕学会用数轴上的点表示有理数,并利用数轴比较有理数的大小。
〔2〕了解相反数的概念及其在数轴上的表示。
2.过程与方法目标
通过比照与迁移来掌握数轴的概念和性质,并通过观察来掌握相反数的概念。
3.情感态度价值观目标
〔1〕通过数轴与数的结合,培养数形结合思想。
〔2〕初步形成参与数学活动、主动和他人合作交流的意识。
教法和学法指导:
为了表达学生在教学中的主体地位促进学生知识技能素养的提高在教学中主要采用诱思导学、自主学习、合作探究等形式展开教学。
教师创设情境引导教学,学生通过自己的探索发现掌握本节课的教学内容。
课前准备:
正方体的实物、展开图的模板图形、制作课件
教学过程:
一.诱思导学
问题1:
温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具,你会读温度计吗?
请你尝试读出图中三个温度计所表示的温度?
问题2:
在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.
二.合作探究
学生答复由上述两问题得到什么启发?
你能用一条直线上的点表示有理数吗?
让学生在讨论的根底上动手操作,在操作的根底上归纳出:
可以表示有理数的直线必须满足什么条件?
从而得出数轴的三要素:
原点、正方向、单位长度.
三.精讲精练
例1:
+3,-4,
,-1.5,0分别在数轴的什么位置?
例2:
指出数轴上A,B,C,D各点分别表示什么数?
例3:
画出数轴,并用数轴上的点表示以下各数:
,-5,0,5,-4,
例4:
2与-2有什么相同点与不相同点?
它们在数轴上的位置有什么关系?
与
,5与-5呢?
结论:
有理数是用原点右边的点表示,负有理数是用原点左边的点表示,0用原点表示.所以任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数.也称这两个数互为相反数,特别地,0的相反数是0.在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点的距离相等.
四.拓展提高
问题1:
数轴上的两个点,右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系?
问题2:
正数、负数在数轴的什么位置?
判断它们的大小?
利用结论练习:
比较以下每组数的大小,并说明理由.
⑴-2和+6;⑵0和-1.8;⑶
和-4.
结论:
数轴上两个点所表示数,右边的总比左边的大.正数大于0,负数小于0,正数大于负数.通过练习,借助数轴比较数的大小.
五.达标检测
1、在数轴上把以下各数的相反数表示出来,并比较它们的大小.
7,
,-3.5,0,
2、比较以下每组数的大小
〔1〕-10,-7〔2〕-3.5,1
〔3〕
,
〔4〕3.8,-4.1,-3.9
3、
(1)点A在数轴上距原点3个单位长度,且位于原点左侧,假设将A向右移动4个单位长度,在向左移动1个单位长度,此时A点所表示的是什么数?
(2)B点所表示的数是A点开始时所表示数的相反数做同样的移动以后,B点表示
什么数?
六.课堂小结
数轴是非常重要的工具,它使数和直线上的点建立了对立关系,它提示了数和形的内在联系,为我们今后进一步研究问题提供了新方法和新思想。
大家要掌握数轴的三要素,正确画出数轴,提醒大家,所有的有理数都可以用数轴上的点来表示但反过来并不成立,即数轴上的点并不都表示有理数
七.板书设计
2.2数轴
数轴〔直线〕 结论:
三 原点 1、所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。
要 单位长度 2、每一对相反数在数轴上对应的点分别在
素 正方向 原点的两侧,并且到原点的距离相等。
八.教学反思
本节课从学生已有的生活经验出发研究新问题,依据教师为主导,学生为主体的原那么,始终贯穿“激发情趣--手脑并用--启发诱导—合作交流〞的教学方法。
要求学生画数轴,怎样确定原点的位置?
怎样确定单位长度?
在数轴上画同几个单位长度?
这些都要根据具体情况而定。
1.8完全平方公式
(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何背景.
(二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程,进一步开展符号感和推理能力.
2.重视学生对算理的理解,有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.了解数学的历史,激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化,有意识地培养学生的创新能力.
●教学重点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
●教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
●教学方法
自主探索法
学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理,揭示其结构特点,然后到达合理、熟练地应用.
●教具准备
投影片四张
第一张:
试验田的改造,记作(§1.8.1A)
第二张:
想一想,记作(§1.8.1B)
第三张:
例题,记作(§1.8.1C)
第四张:
补充练习,记作(§1.8.1D)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景,引入新课
[师]去年,一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示,将一块边长为a米的正方形农田改成试验田,种上了优质的杂交水稻,一年来,收益很大.今年,又一次“科技下乡〞活动,使老农铁了心,要走科技兴农的路子,于是他想把原来的试验田,边长增加b米,形成四块试验田,种植不同的新品种.
同学们,谁来帮老农实现这个愿望呢?
(同学们开始动手在练习本上画图,寻求解决的途径)
[生]我能帮这位爷爷.
[师]你能把你的结果展示给大家吗?
[生]可以.如图1-25所示,这就是我改造后的试验田,可以种植四种不同的新品种.
图1-25
[师]你能用不同的方式表示试验田的面积吗?
[生]改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形,因此,试验田的总面积应为(a+b)2.
[生]也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积,边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.
[师]很好!
同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积,进行比较,你发现了什么?
[生]可以发现它们虽形式不同,但都表示同一块试验田的面积,因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
[师]我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
1.推导完全平方公式
[师]我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实,据有关资料说明,古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢?
(出示投影片§1.8.1A)
想一想:
(1)(a+b)2等于什么?
你能用多项式乘法法那么说明理由吗?
(2)(a-b)2等于什么?
你是怎样想的.
(同学们可先在自己的练习本上推导,教师巡视推导的情况,对较困难的学生以启示)
[生]用多项式乘法法那么可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
(1)
[师]上面的几何解释和代数推导各有什么利弊?
[生]几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识,但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:
a>0且b>0;
代数推导完全平方公式虽然不直观,但在推导的过程中,a,b可以是正数,可以是负数,零,也可以是单项式,多项式.
[师]同学们分析得很有道理.接下来,我们来完成第
(2)问.
[生]也可利用多项式乘法法那么,那么(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.
[生]我是这样想的,因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“-b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a-b)2=[a+(-b)]2.
[师]这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义,你能继续沿着这个思路做下去吗?
我们一块试一下.
[师生共析]
(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2·a·(-b)+(-b)2
↓↓↓↓↓↓
(a+b)2=a2+2·a·b+b2
=a2-2ab+b2.
于是,我们得到又一个公式:
(a-b)2=a2-2ab+b2
(2)
[师]你能用语言描述上述公式
(1)、
(2)吗?
[生]公式
(1)用语言描述为:
两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和;公式
(2)用语言描述为:
两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.
2.应用、升华
出示投影片(§1.8.1B)
[例1]利用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2;
(2)(4x+5y)2;
(3)(mn-a)2.
分析:
利用完全平方公式计算,第一步先选择公式;第二步,准确代入公式;第三步化简.
解:
(1)方法一:
[例2]利用完全平方公式计算
(1)(-x+2y)2;
(2)(-x-y)2;
(3)(x+y-z)2;(4)(x+y)2-(x-y)2;
(5)(2x-3y)2(2x+3y)2.
分析:
此题需灵活运用完全平方公式,
(1)题可转化为(2y-x)2或(x-2y)2,再运用平方差公式;
(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式;(3)题利用加法结合律变形为[(x+y)-z]2(或[x+(y-z)]2、[(x-z)+y]2),再用完全平方公式计算;(4)题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形,再用平方差公式和完全平方公式.
解:
(1)方法一:
(-x+2y)2=(2y-x)2
=4y2-4xy+x2;
方法二:
(-x+2y)2=[-(x-2y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2.
(2)(-x-y)2=[-(x+y)]2=(x+y)2=x2+2xy+y2.
(3)(x+y-z)2=[(x+y)-z]2=(x+y)2-2(x+y)·z+z2
=x2+y2+z2+2xy-2zx-2yz.
(4)方法一:
(x+y)2-(x-y)2
=(x2+2xy+y2)-(x2-2xy+y2)
=4xy.
方法二:
(x+y)2-(x-y)2
=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=4xy.
(5)(2x-3y)2(2x+3y)2
=[(2x-3y)(2x+3y)]2
=[4x2-9y2]2
=16x4-72x2y2+81y4.
Ⅲ.随堂练习
课本1.计算:
(1)(
x-2y)2;
(2)(2xy+
x)2;
(3)(n+1)2-n2.
解:
(1)(
x-2y)2=(
x)2-2·
x·2y+(2y)2=
x2-2xy+4y2
(2)(2xy+
x)2=(2xy)2+2·2xy·
x+(
x)2=4x2y2+
x2y+
x2
(3)方法一:
(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1.
方法二:
(n+1)2-n2=[(n+1)+n][(n+1)-n]=2n+1.
Ⅳ.课后作业
1.课本习题1.13的第1、2、3题.
2.阅读“读一读〞,并答复文章中提出的问题.
Ⅴ.活动与探究
甲、乙两人合养了n头牛,而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下:
先由甲拿10元,再由乙拿10元,如此轮流,拿到最后剩下缺乏十元,轮到乙拿去,为了平均分配,甲应该补给乙多少元钱?
[过程]因牛n头,每头卖n元,故共卖得n2元.
令a表示n的十位以前的数字,b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+
20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.
因甲先取10元,而乙最后一次取钱时缺乏10元,所以n2中含有奇数个10元,以及最后剩下缺乏10元.
但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元,因此b2中必含有奇数个10元,且b<10,所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81,而这九个数中,只有16和36含有奇数个10,因此b2只可能是16或36,但这两个数的个位数都是6,这就是说,乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).
[结果]甲比乙多拿了4元,为了平均分配甲必须补给乙2元.
●板书设计
1.8.完全平方公式
(一)
一、几何背景
试验田的总面积有两种表示形式:
①a2+2ab+b2
②(a+b)2
比照得:
(a+b)2=a2+2ab+b2
二、代数推导
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+2ab+b2
(a-b)2=[a+(-b)]2
=a2-2ab+b2
三、例题讲例
例1.利用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2
(2)(4x+5y)2
(3)(mn-a)2
四、随堂练习(略)
●备课资料
一、杨辉
杨辉,中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带,其著作甚多.
他著名的数学书共五种二十一卷.著有?
详解九章算法?
十二卷(1261年)、?
日用算法?
二卷(1262年)、?
乘除通变本末?
三卷(1274年)、?
田亩比类乘除算法?
二卷(1275年)、?
续古摘奇算法?
二卷(1275年).
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面,他对筹算乘除捷算法进行总结和开展,有的还编成了歌诀,如九归口诀。
他在?
续古摘奇算法?
中介绍了各种形式的“纵横图〞及有关的构造方法,同时“垛积术〞是杨辉继沈括“隙积术〞后,关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类〞中,将?
九章算术?
246个题目按解题方法由浅入深的顺序,重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.
他非常重视数学教育的普及和开展,在?
算法通变本末?
中,杨辉为初学者制订的“习算纲目〞是中国数学教育史上的重要文献.
二、参考练习
1.填空题
(1)(-3x+4y)2=.
(2)(-2a-b)2=.
(3)x2-4xy+=(x-2y)2.
(4)a2+b2=(a+b)2+.
(5)
a2++9b2=(
a+3b)2.
(6)(a-2b)2+(a+2b)2=.
2.选择题
(1)以下计算正确的选项是()
A.(m-1)2=m2-1
B.(x+1)(x+1)=x2+x+1
C.(
x-y)2=
x2-xy-y2
D.(x+y)(x-y)(x2-y2)=x4-y4
(2)如果x2+mx+4是一个完全平方式,那么m的值是()
A.4B.-4C.±4D.±8
(3)将正方形的边长由acm增加6cm,那么正方形的面积增加了()
A.36cm2B.12acm2
C.(36+12a)cm2D.以上都不对
3.用乘法公式计算
(1)(
x-
y)2
(2)(x2-2y2)2-(x2+2y2)2
(3)29×31×(302+1)
(4)9992
答案:
1.
(1)9x2-24xy+16y2
(2)4a2+4ab+b2(3)4y2(4)-2ab
(5)3ab(6)2a2+8b2
2.
(1)D
(2)C(3)C
3.
(1)
x2-
xy+
y2
(2)-8x2y2
(3)809999(4)998001
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