微分选择填空题题库.docx
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微分选择填空题题库
1、方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只含x的积分因子的充要条件是
()。
有只含y的积分因子的充要条件是。
2、为黎卡提方程,它有积分因子。
3、为伯努利方程,它有积分因子。
4、若Xi(t),X2(t)J||,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性
无关的充要条件是。
5、形如■勺方程称为欧拉方程。
6、若(t)和(t)都是x'A(t)x的基解矩阵,则⑴和(t)具有的关
系是。
7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为时,
(x)
零解是稳定的,对应的奇点称为。
(y)
2、黒P(x)y2Q(x)yR(x)
4、w[xi(t),x2(t)J||,xn(t)]0
6、(t)(t)c
7J-1
、零
稳定中心
1、形如的方程,称为变量分离方程,这
里•f(x).(y)分别为的连续函数。
2、形如的方程,称为伯努利方程,这里
P(x).Q(xI为x的连续函
数.n0.1是常数。
引入变量变换,可化为线性方程。
3、如果存在常数L0,使得不等式对于所有
(X,yj,(x,y2)R都成立,L称为利普希兹常数。
函数f(x,y)称为在R
上关于y满足利普希兹条件。
4、形如-的方程,称为欧拉方程,这里
a1,a2,是常数。
5、设(t)是xAx的基解矩阵,(t)是xA(t)xf(t)的某一解,则
它的任一解(t)可表为-。
3f(x,yi)f(x,y?
)Lyiy?
5、(t)(t)(t)
2、当(
)时,方程M(x,y)dxN(x,y)dy0称为恰
当方程,或称全微分方程。
3、函数f(x,y)称为在矩形域r上关于y满足利普希兹条件,如果
4、对毕卡逼近序列,k(x)ki(x)()。
5、解线性方程的常用方法有
()。
6、若Xi(t)(i1,2,,n)为齐线性方程的n个线性无关解,则这一齐线性方程的所有解可表为()。
7、方程组xA(t)x
()。
8、若⑴和⑴都是xA(t)x的基解矩阵,则(t)和(t)具有关系:
()。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部()
时,零解是稳定的,对应的奇点称为()。
10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时,则当
()时,零解是渐近稳定的,对应的奇点称为
()。
当()时,零解是不稳定的,对应的奇
点称为()。
11、若⑴是xA(t)x的基解矩阵,则xA(t)xf(t)满足xg的
解()。
2、yx
3、存在常数L>0,对于所有(xi,yi),(x2,y2)R都有使得不等式
f(Xi,yi)f(X2,y2)Lyi讨2成立
ki
ML」
h
4、k!
5、常数变异法、待定系数法、幕级数解法、拉普拉斯变换法
n
x(t)CiXi(t)
6、ii,其中Ci,C2,,Cn是任意常数
7、n个线性无关的解xi(t),x2(t),冷⑴称之为xA(t)x的一个基本
解组
8、(t)=(t)c(atb)c为非奇异常数矩阵
9、等于零稳定中心
1.dxP(x)yQ(x)称为一阶线性方程,它有积分因子ePg,其
通解为。
2.函数f(x,y)称为在矩形域r上关于y满足利普希兹条件,如果
3.若(x)为毕卡逼近序列n(x)的极限,则有
(x)n(x)。
dy22
xy
4.方程dxy定义在矩形域R:
2x2,2y2上,则经过点(0,
0)的解的存在区间是
5.函数组et,et,e2t的伏朗斯基行列式为
6.若Xi(t)(i1,2,,n)为齐线性方程的一个基本解组,x(t)为非齐线性
方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表为。
7.若(t)是x'A(t)x的基解矩阵,贝y向量函数⑴二是
x'A(t)xf(t)的满足初始条件仏)0的解;向量函数(t)=
是xA(t)xf(t)的满足初始条件
(t°)
的解。
若矩阵A具有n个线性无关的特征向量
W,V2,M,它们对应的特
征值分别为1,2,n,那么矩阵
(t)=
是常系数线性方程
组x'Ax的一个基解矩阵。
9.满足的点(x,y),称为驻定方程组。
P(x)dxP(x)dx
ye(Q(x)edxc)
2.f(x,y)在R上连续,存在L0,使f(x,y1)f(x,y2)Ly1y2
对于任意(x,y1),(x,y2)R
MLn
(n1)!
eltvi,e2tv2,,e%
9.X(x,y)0,Y(x,y)0
1、当时方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当
方程,或称全
微分方程。
2、为齐次方程。
dy
dx
3、求二f(x,y)满足(X。
)y0的解等价于求积分方程
■勺连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G内连续,且关于y满足利普希兹条件,则
吐f(xy)
方程dx'的解y=(X'Xo’yo)作为x,Xo,y0的函数在它的存在
范围内是。
5、若X1(t),x2(t),...x3(t)为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的
充要条件是。
6、方程组X,A(t)x的之为X,A(t)x的一个基本
解组
7、若⑴是常系数线性方程组x/Ax的基解矩阵,则expAt
8满足■勺点(x,y),称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部时,
零解是稳定
的,对应的奇点称为。
M(x,y)N(x,y)
1、yx
dyf(y)
2、dxx
x
3、y=yo+xof(x,y)dx
4、连续的
5、wXl(t),X2(t,),…,Xn(t)0
6、n个线性无关解
1
7、(t)(0)
8X(x,y)=0,Y(x,y)=0
9、为零稳定中心
1.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个.(A)
n(B)n-1(C)n+1(D)n+2
2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的()条
件.
(A)充分(B)必要(C)充分必要(D)必要非充分
2
3.方程dX1y过点(!
1)共有()个解.
(A)一
(B)无数
(C)两
(D)三
dy
i
<:
:
yxx
4.方程dx
-()
奇解.
(A)有一个
(B)有两个
(C)无
(D)有无数个
.y匚
5.方程dx
的奇解是(
).
(A)y
x(B)y1
(C)y1
(D)y0
1、称为一阶线性方程,它有积分因
子,其通解
为。
2、函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件,如果
3、若Xi(t),X2(t),,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件
4形如的方
程称为欧拉方程。
5、若⑴和⑴都是x'A(t)x的基解矩阵,则⑴和⑴具有的关
系:
。
6、若向量函数g(t;y)在域r上,则方
dyg(t;y),(to;to,yo)y。
占
程组dt的解存在且惟一。
7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实
部,零解是稳定的,对应的奇点称
为。
dy
P(x)yQ(x)P(x)dx
1、形女口dx的万程,e,
P(x)dxP(x)dx
ye(Q(x)edxc)
2、存在常数L0,使得(X1,y1),(x2,y2)R,有
f(x,yjf(x,y2)L%y?
3、
WXi(t),X2(t),
Xn(t)0
4、
ndnyn
xdxnaiX
1dn1ydy
n1an1xany0
dxdx
5、
(t)(t)C
(C为非奇异方程)
6、
连续且关于
y满足利普希兹条件
7、等于零,稳定中心
dyysinxex
1.方程dx的任一解的最大存在区间必定
是.
2.方程y4y0的基本解组是.
3.向量函数组丫1(X),丫2(x),,«&)在区间|上线性相关的
件是在区间I上它们的朗斯基行列式W(x)0.
4.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的
条件.
5.n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间.
6.向量函数组Yl(X),Y2(X),,丫n(x)在其定义区间|上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式W(x)0,xI.
1.(,)
2.sin2x,cos2x
3.必要
4.充分
5.n
6.必要
1、dx呻称为齐次方程,dxP(x)『Q(x)yR(x)称为黎卡提方
程。
2、如果f(x,y)在r上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程
dy
dXf(X,y)存在唯一的解y(x),定义于区间XX。
h上,连续且满
maxRf(x,y)
b
hmin(a,——)M
足初始条件(Xo)yo,其中M,
3、若人⑴。
1,2,……,n)是齐线性方程的n个解,w(t)为其伏朗
斯基行列式,贝Sw(t)满足一阶线性方程w(t)a1(t)w(t)0。
5、若⑴和⑴都是xA(t)x的基解矩阵,则⑴和⑴具有关系
(t)(t)c。
6、方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只含x的积分因子的充要条件是
MNMN
yx
N
/、yx/、
()。
有只含y的积分因子的充要条件是m(y)。
dy
7、方程dx
y21
2经过(0,0)点的解在存在区间是(,)。
1.称为一阶线性方程,它有积分因—
子,其通解
为。
2.称为黎卡提方程,若
它有一个特解y(x),则经过变换
可化为伯努利方程。
3.若(X)为毕卡逼近序列n(X)的极限,则有(X)—n(X)
4.若Xi(t)(i=1,2,—,n)是齐线形方程的n个解,w(t)为其伏朗斯基行列式,—则—Wt)满足一阶线性方程。
5.若人⑴(i=i,2,—,n)是齐线形方程的一个基本解组,X(t)为非齐线形方程的一个特解,则非齐线形方程的所有解可表为。
6.如果A(t)是nxn矩阵,f(t)是n维列向量,则它们在atb上满足
时,方程组X,=A(t)x+f(t)满足初始条件x(t0)=的解在atb上存在唯一。
7.若(t)和(t)都是X/=A(t)X的基解矩阵,则(t)与
(t)具有关系:
8若(t)是常系数线性方程组xAx的基解矩阵,则该方程满足
初始条件(to)的解(t)二
9.满足点(X,y),
称为方程组的奇点。
10.当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部
时,零解是稳定
的,对应的奇点称为
1.若y=y«x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为.
业x2y2
2.方程dxy满足解的存在唯一性定理条件的区域
是.
鱼f(xy)
3.fy(x,y)连续是保证方程dx'初值唯一的条
件.
一条积分曲线.
A(x)Y
4.线性齐次微分方程组dx)的一个基本解组的个数不能
多于
个,其中xR,丫Rn.
5.二阶线性齐次微分方程的两个解yi(x),y2(x)成为其基本
解组的充要条件是.
型sinxcosy
6.方程dxy满足解的存在唯一性定理条件的区域
是.
x2tanV
7.方程dx的所有常数解是.
8.方程xsinydxycosxdy0所有常数解是.
9.线性齐次微分方程组的解组丫1(x),丫2(x),,丫n(x)为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式W(x)0.
10.n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个.
7ykk0,1,2,
■•9
1.G[yi(x)y2(x)]%(x)2.xoy平面3.充分4
8.vk,k
0,1,2,;或x2k,k0,1,2,
9.充分必要
10.n
性无关
6.xoy平面
1、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是
MN
N(x)
(yx
),有只含y的积分因子的充要条件是
MN
M(y)
yx
)。
dy
2、求dx=f(x,y)
满足
(X0)y0的解等价于求积分方程
x
f(x,y)dx
(y=yo+xo)o
dy22
3、方程dXXy定义在矩形域R:
-2x2,2y2上,则经过点
11
x—(0,0)的即位存在区间是(44)。
4、若X(t)(l=1,2,,n)是齐线性方程的n个解,W(t)为伏朗斯
基行列式,则W(t)满足一阶线性方程(W(t)+ai(t)W(t)=0)。
5、若Xi(t),X2(t),Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解,则它
们线性无关的充要条件是(W[X(t),X2(t),Xn(t)]0)。
6、在用皮卡逐步逼近法求方程组X'=A(t)X+f(x),X(t0)=的近
t
k(t)([A(s)ki(s)f(s)]ds
似解时,则t0
(型)n业y2x20
1微分方程(dx)dxy的阶数是
2若M(x,y)和N(x,y)在矩形区域R内是(x,y)的连续函数,且有连续
的一阶偏导数,则方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只与y有关的积分因子
的充要条件是
3称为齐次方程•
4如果f(x,y)则
dyf(xy)
dx(,y)存在唯一的解y(x),定义于区间xxoh上,连续且满
足初始条件y0(X0),其中
h.
5对于任意的(x,yi),(x,y2)r(r为某一矩形区域),若存在常数
N(N0)使,则称f(x,y)在R上关于y满足
利普希兹条件.
理x2y2
6方程dxy定义在矩形区域R:
2x2,2y2上,则经过
点(0,0)的解的存在区间是
7若Xi(t)(it2,•.…n)是齐次线性方程的n个解,w(t)为其伏朗斯基行列
式,则w(t)满足一阶线性方程
8若xi(t)(i1,2,…n)为齐次线性方程的一个基本解组,x(t)为非
齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为
9若(X)为毕卡逼近序列n(x)的极限,则有(X)n(x)
10称为黎卡提
11
M-)(-1)(y)
xM
dy形如dx
时)的方程
在R上连续且关于
y满足利普希兹条件
min(a,
10
1.
f(x,yi)
f(x,y2)
Ny1y2
MLn
a1(t)w0
n_
CjXjx
1
h(n1)!
形如dx
辨别题
dy2
p(x)y
q(x)yr(x)的方程
指出下列方程的阶数,是否是线性方程:
(12%)
dy2y)dxy
dy
x
(2)dx
xsiny
(3)
d4y
dx4
.3
2器
d2y
dx2
(4)
xxx
2严
1dsr
(6)
x2dy
2
ydx0
2、填空题(8%)
xtany
(1).方程dxy的所有常数解是.
(2).若y=yi(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,
则用这两个解可把其通解表示为.
(3).若方程Mx,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程,同它
的通积分是.
(4).设Mxo,y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点,过该点的
切线在x轴和y轴上的截距分别是.
3、单选题(14%)
(1).方程yhydx(XIny)dy0是(
(B)两个解
(D)三个解
(A)一个解
(C)无数个解
(3).方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的所有常数解是(
3.单选题
(1).B
(2).C(3).A(4).B(5).A(6).
B7.A
1.形如为变量可分离方程,它有积分因
子。
2.当时方程Mx,ydxNx,ydy0称为恰当方
程,或全微分方程。
且它只含x的积分因子的充要条件是
。
有只含y的积分因子的充要条件是
3.称为伯努利方程,它有积分因子
离方程。
5.称为黎卡提方程,若它有一个特解yx,
则经过变换,可化为伯努利方程。
6.函数fx,y称为在矩形域r上关于y满足利普希兹条件,如果存在
常数L>0,使xy,x,y2R,使不等式。
7.如果fx,y,则2fx,y存在唯
解JX,定义于区间xX。
h上,连续且满足初始条件y0X。
,其
中h
dy
8.设yx是方程dx
fxy
的定义于区间x0xx0h上,满足初始
Xo
条件y0x0,的解,则yx是积分方程
定义于X。
XX。
h上的连续解
Xo
9.微分方程的某
个解称为奇解,如
.也就是说奇解是这样的一个解,
它上面的每一点唯一性都不成立。
i0.方程dxilnx满足条件yi
解的存在区间
矽f
i、dx
xy的方程
1
y
Mx,y
y
NX,y
x
Mx,yNx,y
yx
N
Mx,y
y
Nx,y
x
3、
dy
dXpxy
dx
4、
坐标平移
aix
biy
5、
乎pxy2
dx
6、
fx,yifx,y2
Lyi
y2
min
7、在r上连续且关于y利普希兹条件
a,-
x
yyofx,ydx
x0
9、在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在
10、ox
dy2t
1.方程dx%any的所有常数解是.
22
2.方程x(y1)dxy(x1)dy0的常数解是.
3.一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的
一条曲线.
4.方程yy0的基本解组是.
二、选择题
1.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个.
(A)n(B)n-1(C)n+1(D)n+2
2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的()条件.
(A)充分(B)必要(C)充分必要(D)必要非
充分
业.'1y2(—1)
3.方程dx'7过点(2,)共有()个解.
(A)一(B)无数(C)两(D)三
4.方程dxyxx()奇解.
(A)有一个
(B)有两个
(C)无
(D)有无数个
dy、
5.方程dx
'的奇解是().
(A)yx
(B)y1
(C)y1
(D)y0
一、填空题
1ykk0,1,2,
2.y1,xi
4.cosx,sinx
选择题
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