第3讲 导数中含参问题的分类讨论解析版.docx
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第3讲导数中含参问题的分类讨论解析版
导数中含参问题的分类讨论
本讲义由作业帮周永亮老师(白哥)独家编撰,XX
或知识导航
★1.-次型导函数
一次型导函数,是指能够影响原函数单调性的部分是一次函数形式,或者说导函数中,除
去里面的一次函数形式,剩余的部分全部恒为正(负).
例:
f(x)=ax+b;f(a:
)=(ax+b)ex;f'(a;)=口“*"(z>0)
X
★2.二次型导函数
二次型导函数:
二次型导函数,是指能够影响原函数单调性的部分是二次函数形式,或者说导函数中,除去里面的二次函数形式,剩余的部分全部恒为正(负).
例:
f(a:
)=ax2+bx+c;f(x)=(ax2+bx+cjex;f(x)—*况*°(a;>0)
注:
以上a尹0,若不确定a是否可以为0,就先讨论是一次型还是二次型;
★3.含参函数单调性的分类讨论
(1)先确定导函数是一次型还是二次型,一次型按照一次型的讨论方式讨论;
1判断是否有根,没有根会出现恒成立状况;
2求出导函数的根,判断根是否在定义域内,不在定义域会出现恒成立问题;
3根在定义域内,穿根法确定导函数正负,进而确定原函数的单调性;
(2)若是二次型,先判断二次型函数是否有根,没有根会出现恒成立状况;
1如果二次型函数有根,就先求出根(能因式分解就因式分解);
2判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系);
3如果两根全在定义域,那么确定两根大小关系;
4穿根法确定导函数正负,进而确定原函数的单调性;
★4.拟合函数
(1)拟合函数是指,根据散点图,拟合出函数的解析式,这里考虑到的点越多,拟合的解析式就越精确.
(2)在求导中,我们会发现很多函数的导函数是指数型或者对数型的,
如:
f'(x)=ex—2;(/(x)=(a;—a)(Inx—S),这种类型的导函数,我们判断原函数的单调性比较麻烦,所以我们会采用拟合函数的形式进行讨论就可以了;
(3)在单调性讨论中,拟合的形式比较简单,只需要参考两个关键点就可以了,分别是:
①等于0的解,②所需拟合函数单调性;
例如:
f(a;)=ex-2,①当/(a:
)=0时,c=ln2:
②f(时=ex-2单调递增;
则,我们也可以找到一个具有相同性质的一次函数,所以f(x)=可以拟合成
f'{x)—x—\n.2;
再如:
寸(x)=(a;—a)(Ina:
—3),
只需要讨论g=Inr-3这部分就可以了,此函数可以拟合成:
y=x-^(x>0);则寸(c)=(z—a)(Ina:
—3)可以拟合成(/(x)=(x—a)(x—e3)(z>0).
知识札记
歩经典例题
考点1一次型含参导函数的分类讨论
已知函数f(x)=lnx+--l^R),讨论函数六z)的单调性.X
解答:
由题意知该函数的定义域为(0,+8),且/(^)=--4=与凸
从而当aW0时,/(苛>0,则,(z)在(0,+8)上单调递增
当a>0时
(1)若z€(0,a),则「(r)<0,从而/(a:
)在(0,a)上单调递减
(2)若z€(a,+8),则f(z)>0,从而f(3!
)在(a,+8)上单调递增
综上所述,当aWO时,义时在(0,+8)上单调递增;当a>0时,山z)在(0,a)上单调递减,在(a,+oo)上单调递增
讨论函数f(x)=ax-inx的单调区间.
解答:
函数,(z)的定义域是(0,+8)m—,
若aWO,则/(x)<。
在(0,+oo)上恒成立,子⑥的单调递减区间是(0,+oo),没有单调
递增区间
若a>0,由f(x)<0得。
综上所述,结论是:
若a〈0,子冋的单调递减区间是(0,+8),没有单调递增区间若a>0^x)的单调递减区间是(0,?
),单调递增区间是(?
+8)
考点2二次型含参导函数的分类讨论
已知aeR,函数f(x)=4x3—2ax+a.求六z)的单调区I司.
解答:
由题意得,定义域为(—8,+oo),f'(x)—12x2—2a
当a〈O时,「(时20恒成立,此时山院的单调递增区间为(—8,+8),无单调递减区
综上所述,结论是:
aWO时,函数f(院的单调递增区间为(-8,+8)
设函数f(缶)=事3+^-ax2+x+l,求/S)的单调区间.o厶
解答:
/冋=?
工3+排/+仁+1
当△=q2_4wO,即一2WqW2时,时在R上单调递增
综上,—2Wa《2时,/(时在R上单调递增;a〉2或a<—2时,f(x)单调增区间为
已知函数/(a:
)=^-x2+(1—a)a;—alnx,讨论了(z)的单调性.厶
解答:
(/)的定义域为(0,+8)
求导数,得f(z)=z+l_a_^=3+1)3—口)
XX
若aWO,则3)>0
此时,(苛在(0,+8)上单调递增
若a>0,则由f(%)=。
得a?
=a
当0Va?
<口时,f(#)V0
当>a时,f(x)>0此时f3)在(0,a)上单调递减在(a,+8)上单调递增
综上所述,结论:
若口<0,/(£)在(0,+oo)上单调递增若q>0,/(时在(0,a)上单调递减,在(但+8)上单调递增
设函数/(z)=^-x2—ax+(a—1)Inx,求,(时的单调区间.厶
解答:
定义域为(0,+oo),f(c)=z-a+胃-宀饥+a-1
令f(c)=0,解得:
ci=1,X2=a—1
当a—1<0,即a
0 当00,得灯>1或0 <1,故,(a: )单调增区间为(0,a-1),(1,+oo),单调减区间为(a—1,1)当a—1=1,卩a=2,恒成立,且只有在多=1时,导函数为0,所以f(a: )的 单调增区间为(0,+8) 当a-1>l,即a>2,令/(a;)>0,得x>a-1或0 当l 当a=2,,(苛的单调增区间为(0,+8) 当a>2,山r)单调增区间为(0,1),(a—1,+8),单调减区间为(l’a—l) 导数典藏大招2.0周永亮(白哥)著 (★★★★☆)(2018・辽宁葫芦岛市期中【文】) 已知函数f(x)=x--+-alnx(a>0).讨论了(z)的单调性.X 解答: 由题意得,函数/④的定义域是(0,+8),且/(时=1+4一兰=兰二 X2,xX2 设g(x)=x2—ax+2,二次方程g(多)=0的判别式^=a2—8 1当△=¥—8<0,即0vQV2〃时,对一切多>0都有「(对>0 此时,(苛在(0,+oo)上是增函数 2当△=/—8=0,即q=2/^时,仅z时r(#)=0 对其余的x>o,都有/(幻>o,此时山时在(。 +8)上也是增函数 3当△=/一8>0,即a>2^2时 g(x)=x2—ax+2=0有两个不同的实根s=—''8,叼=口+曾一 厶厶 I,xc/f=icg—/q'—8a+\/c? —8 由f(对>0得,0VgV或工> 由r冋<°得,土零HI 综上所述: 当0 考点3拟合函数在指对型中的应用 已知函数f(x)-ax,讨论函数六z)的单调性. 解答: 由题意知f(苛二。 。 —a 当aW0时,F(z)>0,则子(院在R上单调递增 当a>0时,令f(a: )=0,解得z=lna,可看作f(a: )=a: —Ina (i)当z€(—oo,hia)时,「(多)<0,则—(a;)在(—8,Ina)上单调递减 (ii)当xe(Ina,+oo)时,F(z)>0,则于(z)在(Ina,+oo)上单调递增综上所述,当aWO时,,(时在R上单调递增 当a>0时,,(院在(-8,Ina)上单调递减,在(Ina,+00)上单调递增 已知函数f(x)=ex-2ax,讨论函数山缶)在[0,1]上的单调性. 解答: /(多)=e*—则/(x)=ex—2a 若QW0时,由于/>0,则/(苛>0,贝■冋在[0,1]上单调递增 若白>0,F(w)=O时,%=In2a,则导函数可看作: f(x)=x—]n.2a 则/(时在(-00,1112q)上单调递减,在(In2a,+oo)上单调递增 当时,In2a,则f(z)在[0,1]上单调递减 厶 当0时,m2awo,则,(z)在[0,1]上单调递增 厶 1a
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