数学与物理方法复习docx.docx
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P6⑵
来・
2•把下列复数用代数式、三角式和指数式几种形式表示出
(1)i<
解飞F本身即为代数式,此时在=x^iy中,x-
三角式:
所以
0=arctgf—)-argtg
'X
兀
2~,
cos气一十isin—
指数式:
-1本身即为代数式)
三角式2z=cos^+JsinJFi
指数式:
(3〉1IJ3•
解,2=1+W丁本身即为代数式,
三角式;P=J}^(JT)2=2•0=arctg』3=
y13
所以N=2(cos-「+hin-|J
指数式?
£=2』乞
1、在z()=0的将f(z)=ez展开
解:
f⑷⑵=,,而f⑷(5)=f⑷(0)=1
泰勒展开为,
(4〉1-cos«+fsin^Y是实常数)•解$2=(】_cosa)4-isina本身即为代数式$二角式:
P=J(1—cosa)^+sin%=y2(1—cosa)
a
=2sin丁,
sina
一cosa
t
1~cosa
在主值范围内0=£(兀一6(OWaW九〉■所以
?
〔
cos
arctgctg
+:
sin
^arctgctg
》)〕,
+tsin
z=2sin
(0WaG),
或N=
.afn-a\
:
2sin•—e1\~z/<
(5)33.解:
代数式,
尹=(x^iy}3=(x3-3xyl)^i(3x2y-y2
指数式,
a
giawtRcigy
三角式gQ*(cos30Hin3卩).
其中―丿冇亍一,"arct£(g);指数式】
(6)R"•
解<指数式即为n-e1*1=显然,其中Q=e,
三角式:
z-e(cosl+tsinl);
代数式,z=ecosl+iesinl.
三角式:
cn
解二代数式*z
p=1,V=arctg(^i)=所以
=cos-^-+:
sin—-
22
指数式:
w
P37
3•求下列耦级数的收敛圆•
(1)g寺(N-叽
解*其收敛半径R=Um
1/A+i
1^1
=lim!
1十莎二1——1代
•••收敛圆为U-d=1<
(2)2^lnK<^>-2)x
jr-1
解:
收敛半径2?
-Hni
K斤K
(K’+lgu
令(K+1)=(K+1)&〔《(z*)〕
=〈K十1)】nK•(K+1)
s(心)
2?
=limf-
A"
(K+1)BK
(A、])m(i6)
1
1、kiK
/1\lnK
1理(1「K)
四二lint(i+*严‘
Km(K+1)B("P,
Km(K+l)lfl(1说)t
iiil\=lim〔lnKTti(l丰£)〕
昨+齐)
=11m1*
a_s1
rnK
这是%型的不定式,可用罗毕达法则确定极限,•
一丄(-丄)
infr1+必\3“
W出—f_.了7巴_k+1・
(ln/C)2K
这是oo./co型的不定式,再用罗毕达法则,
(21nK)•寺-lim21nK
—-7^^
ln/>=lim
再用罗毕达法则,
(1W
1
仃■•••
In/,=lim-—^0>
&T8J
因而
同理,
山—1匹1叫1*”W1)
iim
In(KVT)
用罗毕达法则,
ln/i=lim
—lim
1―(._丄)
1-1/A\K"!
■•■..^―•■■—…
11
]n(K-»-1)rK+I
Cln(X十1)Fk(t1、
KE%
t.Cln(/c•卜1)r
lim9
用罗毕达法则,
ln/2
lim-
上—B
21n(K+1
1
・21n(K+1)
=型~kT\—
再用罗毕达法则.
Q■
ln/i
lim/€+1_A
=u,
因而
结果9收敛半径
^7—=1,
所以收敛圆为2|=1.
(3)i;(升)•
<»1
解一:
收敛半径
R=Iini—•••'■—
吧kj\ak\
Kk
-limK=8•
解二:
收敛半径为
K*
im
dI〉*"
-ljm]
=limK-*• =lim/C=8. R=1im 所以只要N是有限的,此彩级数就收敛,收敛圆|z|=2? V8・ (4〉三K! (务")• 解,收敛半径 u・•r厂(K+i)w「,一ri「 R"f<(k+1)! ‘K'丿-牛兀 _(K+1) ■—— Kk 所以收敛圆是 (5)工ZQ-3)*• I=1 解一: 收敛半径 解二: 收敛半径 Kk衣十JE +(K+1)+ 所以收敛圆为也-3|=0,只要2^3,此務级数就发散. P56 2•计算下列回路积分. (1)TiG的方程是x2^yz-2x-2y 解: /的方程可化为: "2)2如 X在复平而上•它是一个以为圆心、/2为半径的圆. 被积函数/(刃=1/(以+“ a-1尸,它冇两个单极点签= ±匚和-•个二阶极点^0=],在这二个极点中.2。 =7不在积分 回路之内,只有彳 1在积分回路之内.它们的留数分别为’ 图4-1 Res/(d)=1ixn〔1/(n+,〉(1—2): ]=-i- —,4' Re$/<1)=血石⑴1心巳呼一呵(1十刃勺 dz-—1/2•应用酹数定理: dz '<(以+D(n-1F =2^: CRes/(: )+Res/ (1)3 ni 十严如汛 解: 被积/(^)-cos^/z3的三阶极点£。 =0在单位圆内,其留数. (2)( El RT(02*凹~(CZ2-j 1_-coszd^/z3-27riRes/(0)=一兀N=丄 |十2皿如 辭: 彼积函数的本性奇点2严0在积分回路之内,Res/((»=0,所以’ 解*被积函数g…… 石—sinT 22 cos2n* 冷cos2n=0,即*1a+eTl=0,由此解出 (2k+1〉历 4 Ch=g±1,±2,•••)• JTg+E 这些都是/(刃的单极点,但其中只有引二土? 这个单极点在积分回務之内,而 Res/(一-y)=lim— —— 一rr \4/ncos2e .仁-y im/^2sin2z 4 =—■ 4 亠Rcsf(-壬-)〕 P160 1•长为/的弦,两端固定•弦中张力为7\在距一端为也的 一点以力尸。 把弦拉开,然后突然撤 除这力•求解弦的振动. 解;定解问题为 gg10-2 -azuMX0,(0<^<1)•u(0»O-uC/,0=0> fo T 罕(/-%)♦(x0 «(x,0)= (1) (2〉 (3) <4) 令«(x,f)-X T"十av2T=0. T*+/? X=O,X(O)=X(/) 可得 山此可以得到冇关X的解是; ・X(X)-CsinAx・ 山兀仃)=o叮知.CsinAZ-0・C不能为0,否则乂三0.无意义, Asinz/=0.2= 以A的数值(—学)代入关于T的方程彳ET的解: r„(/) “nrra->lnCOS—— rjjrtJ n^a +2/wsin )• Au(x9t)=X(x〉T⑴ nrta ^cos _unQ\nn +几sin—t)siny-x. 将"的表达式代入初始条件(4)得’ ••••■■••• 0/nna «elfo=>F.- ”■i、' nna t+乩-cos- nna\ 0 sin斗 0_nrra、nn =工―j—cosOsin~: —h=0,: •&=()• ■•丿 •■■n/ran兀 则u(xj>-乂yLcos-了一才sinx9 根据初始条件(3〉有: go〉 <0<^ (/-x) 2 lJ^or 2fFbIIiT I_.n^rC 2*T"sifl—;— n^TF3Z XGsin 2W儿/一壮…"... TJo^t/—^in—WC 1-(/-()sin F F。 如f 、cosn^r—cos T H7TL Fq 曲r .n/rjc0 T 宀21 —n/rcosn/r一 sin R7T*o 〕} COS COS1— hJXq Ttitt Tnn n2n sin 2Fol HTTXo : .u(x9t)=24cos nnanrc —j~朽in_~x ;厂o'01WJTXq 元庄艺需一皿一厂 misin—T tiTta acos—-- P172 2、在z°=0的邻域上将f】(z)=sinz及f? (z)=cosz展开解: F(z)=cosz/r(z)=_sinzjf)(z)=_coszjf)(z)=sinzf、(0)=0,斤(0)=1J”(0)=0』⑶(0)=-1,£⑷(0)=0根据课本3.3.4可写出, 3」; sinz=UJ+...(收敛半径为无限大) 1! 3! 5! 7! 类似地, 2468 cos=1一―JJ+.・.(收敛半径为无限人) 2! 4! 6! 8! 2.求解热传导问题 比-a2uxx=Asinwt 5ho=O,uU=° UL=o=0(x) 解: 曲第一类、第二类混合的其次边界条件可知对应的其次泛定方程函数为 171 cos(n+—)yx,(n=0,l,2,3,...) °°1jr 设问题的解u(x9t)=^Tn(r)cos(n+-)—xn=021 Z1、兀4・ (71+—)—x=Asmwt21 n=() a2(n+—)27c2a2几+——K l2 +丄)2n2a2 儿+人=0,(心0) 81TT 将级数代入初始条件可得u|/=0=工Tn(0)cos(7? +-)-x=(p(x) H=021 比较两边系数可得 =Asinwt 6r2(H4--)27T2将其代入泛定方程得工厂“+——『—Tn Tn(0)=y{(PMcos(h+£): xdx三(pn于是构成了完整的关于力的常微分方程定解问题, 人)(0)=5) 解之得, x22 彳、A71Cl T^t)=(——sincot一cocoscot+cd)(p{} ttct24厂——+ar16/2 (“+护击 (〃+丄)2jca1 N=l 盂⑴=处/2: u(x,t)=2: (—t~sincot-cocQscot+oi)(p^+工(pn P190 1•试用平面极坐标系把二维波动方程分离变数.解1utt-=0, 先把时间变数t分离出来. 令u(P, O=U2心T⑴,代入方程 (1) U(PW)•厂⑴一az^2U(P9 各项遍乘以禽戸并移项, U: T”也 a2ru 上式左边仅是f的函数)右边是Q和0的函数•若要等式成立,两边应为同一常数,记为即有 T"+护炉T=0, (2) ▲U十护U=0,(3) <3)式为二维亥姆霍兹方程,它在平面极坐标系下的表达式为s U3+占S+土"+妒—0・ 进一步分离变数, 令U(P^>=^(P)0«p),代入上式 HP 在Zo=啲邻域上将/(z)=Inz展开解: 先计算展开系数: f(z)=lnz,/(l)=lnl=nzm(n为整数) .厂⑵丄广 (1)=+1 z 厂⑵=-4,广' (1)=T! 严〉⑵=耳严⑴=+2! Z /⑷⑵斗J⑷ (1)=-3! Z 按照课木3.3.4可写出泰勒展开 1_11°2! Inz=In14—(乙一1)(z_l)~H—(z_l)_+.... 1! 2! 3! ”2加+(z-1)-(Z—! ■(Z3D—(Z-+-(|z-l|<1) 各项遍乘以/I],并适当移项.得 +kzP^ P27? ~~R 同上讨论,等式两边应为同一常数.记为卅, 即得,0"5@二0,(4) 产PR'+(k2P~一tn巧R=0・(5》 对方程(5〉作变数代换厉变为贝塞尔方程 凶厂亠*R,+(xz-rn^^=0・(6〉 由周期性条件.方程(4)的解为$ g=Aincosm(p+B亦nm(P^ 由波动问題及解在Q~0有限的条件.方程(3〉的解 为5 • 、 7\-Cncosknat+Dnsinknat・・ 2•试用平面极地标系把二维输运过程方程分离变数.解: ut-=0, (1) 在平而极坐标系下方程d)为, 万%+初小=0, •令讥二RlpgsTg代入方稈 (1) T'RQ-a2(RuPT+丄斥@厂+P 各项遍乘以尹壽严并适当移项,得 厂'用1Rr1a 同上题讨论,筹式两边应为同一常数,记为-KJ得 「+我辽=0、<2> 用iRia— •—二T・*+-一•▼+J"7一二▼氐• RPRP2 方程(3〉各项遍乘以门\并适当移项,總 &WR'—%32 Q--y厂十P+K1P1m» 〈4> <5> 即⑦"+^20=0, PZR^+QR'+(A*2_rnzyr=q. 方程〈2〉和(4〉的解为 K=Ae-°2M\ ①*=Bmcosm(pCmsinm(P^ 方程(5)作变数代换%=AQ变成贝塞尔方穆 x27? *+x/? *+(x2-t? tzy? ? =o. P194 *1•在%=0的邻域上求解y"-xy^0. 解: y"-xy=0,(1> 这里P(jc)=0,q(x)--xfAx0=0是方程 (1)的常点• 则y"=S~1)6兀"7=2+2)(A4-i)afc+2^*, *Zi•0 (3) 8* xy-=工G"川,(4) It■❶&nI 把(3〉和(4)式代入方程 (1),合并用無次项,令各誓次的系数为零,得系数递推公式: °•"亦屁严i<5> 由(5〉可推得 吐—Q—d=0(•/Q—|=0)>Og=0>•••a“r=0. =2^F0d(°o¥s<),待定〉• 1-4 話%…Q"b! —% (3A)t af(0,^0,待定)■ 3・d — 76・7 2>5 TF% 2・5…(3k—1》 …g=—⑶+“厂 Mil"鳥宀•••+圧籍「 (6> yi(x)=a’ X+-^x44-・・・+ 3・4 1>1 XI+…〕, 其级数解的收敛半径为, U».11・4…(3Zf-2〉 Ko=Jim —丨C3k)l _i・|1・4…伽一2) 一1iHlI—_ *f丨(3心)! (7) 同样可得 R、 1•4…〔3(H〉—2J (3Z? <-3)! 亍・4…(: 亦+1) =V丨⑶+2)(313〉|=8. =lim(3A+3)(3b+4)! =8. *•-*■ 4 在5=0的邻域上将血%展开解: 彳吆在原点没有定义,细=0是奇点 £ +・・・(|z|v8) 引用: s檢玮坛+专7! 为了避开奇点,从复数平面挖去原点,在挖去原点的复数平面上,用z遍除Sinz的展开式,就得S1I 2、在兀()=0的邻域上求解y"-x>=0 解: 设方程的级数解y(x)=则,y(x)=^k(k-l)akxk~2 Jt=ok=2 将yd),y"(x)代回原方程,得 oo 8888 艺比伙-1加“"一2-工务占"=0,即为(比+1)仗+2加+2尢"-工务屏=0,k=2k=0k=0k=l 令各次幕的系数为0,得到系数递推公式ak+1=—^—ak_{ k(k一1) 贝II,a2=a_x=0,他=俶=•••^3^+2=0 1*41*4...(3机一2) °3=药。 0卫6=y4a3=—a^a3k=(3*灯]兔, _ii_2*5 %_3*4^0,°7_6*7°4_7] 2*5*...(3壮一1)a\ (3壮+1)11 )\)(兀)=兔〉'0(兀)+。 1”(兀) 所以,yo(x)=l+£x8+...+l*4“©*'_2)于+ ■ (3壮)1 皿)=兀+丄/+...+2*5*..“栋T)严+... (3壮+1)1 13*4 级数收敛半径为 lim 1*4…(3*£—2)* 3伙+1)1 ■ (3*灯1 巳im|(3R+3)(3R+2)|=oo 1*4…(3*伙+1)-2) 2*5*・・.(3机—1)*(3*伙+1)+1” ~(3*k+l)l-2*5*...(3*伙+1)-1) 二! im|(3R+3)(3R+4)1=8 所以,该级数的收敛半径为oo a3k "3(如1)+1 lim kT8 5、在v|z| 31/11l^zl/111 展开式中出现无限多个负幕次项,但展开中心5=0本身却不是函数的奇点(奇点在2=±1) —、孤立奇点的分类 1、如果洛朗级数没冇正幕项,无限远点称为f(z)的可去奇点。 2、如果洛朗级数只有有限个正幕项,无限远点称为f(z)的极点。 3、如果洛朗级数有无限个止幕项,无限远点称为f(z)的本性奇点。 P49二、数学物理方程分类P134 1、线性二阶偏微分方程 XZ知%+E叽+cu+u°其中是Xi",…心的函数,就叫做线性的方程。 2、两个自变数的方程分类 (1)双川1型方程a122-^u«22>0 (2)抛物型力程aj—Q]禺22=0 (3)椭圆型方程aI22-aua22<0 3、多自变数方程的分类 (1)双曲型、椭圆型、抛物型、超双曲型 4、常系数线性方程 三、解析延拓 是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。 替换函数在原定义域上与替换前函数和等,无 论用何种方法进行解析延拓,所得到替换两数都完全相同。 课本例题 (z-1) 6、在Z。 =1的邻域上将函数f(z)=展开为洛朗级数。 解: 先W(^)分解为分项 /(z)=;——=2-&丄,第二项只有一个奇点z=-1,因此,在s=啲邻域|z-l|<2 (z+l)(z—1)2^—12z+l 上可以展开为泰勒级数,利用(3.2.7)即得, 于是 这个展开式岀现-1次幕项 7、在s=0的邻域上将e: 展开 8]111 解: 引用: 工万/=1+—Z+—-z2+石Z’+...(IZ|<°°)r=0k! 1! 2! 3. 将z全换成丄即得, 1()1 即,l=£—L_/(|z|>o),这个展开式出现无限多负幕项U(-k)!
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