工程力学天津大学第11章答案.docx
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工程力学天津大学第11章答案
第十一章
梁弯曲时的变形
11-1用积分法求下列简支梁
A、B截面的转角和跨中截面C点的挠度。
A—E^C—
卜一1/2—I—1/2
Me
rB
Me
AS—
I—1/2
(b)
曰rB
LJ
1/2
解:
(a)取坐标系如图所示。
弯矩方程为:
M=
ex
l
挠曲线近似微分方程为:
Ely"=
Me
ex
l
积分一次和两次分别得:
Ely'=-
Me2_
-eX2+C,
2l
(a)
EIy=-
如X3+Cx+D
(b)
习题11-1图
y=0.
Me
亍J
边界条件为:
x=0时,y=0,x=l时,
代入(a)、(b)式,得:
C=Mel,
6
梁的转角和挠度方程式分别为:
-1/Me2
y=一(X
EI21
D=0
归,
3EI
Me3
——x
6l
Mel2
ycP
lx)
(b)取坐标系如图所示。
Me
M=ex1l1
矩方
(2兰X2兰l)
AC段弯矩方程为:
BC段弯
Me
M=——Me
l
(0兰X1兰2)
程为
Me
EI
~C
j^l/2叠'l/2一
两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为:
AC段:
Ely1=-
xi
Elyl一
21
2
X1+C1,
(a)
61
3
x1+Cn+D1(b)
BC段:
Ely;=
X2+M
Eiy2一
2l
2
X2
+Me+C2,
(c)
6l
3
X2
+Mex2+C2X2+D2
(d)
边界条件为:
xi=0时,yi=O,X2=l时,y2=0.
变形连续条件为:
X1=X2=2时,y1=y2.
y1=y2
代入(a)、(b)式、c)、(d)式,得:
Ci=
24
l,
C2
11M
24
l2,
梁的转角和挠度方程式分别为:
AC段:
EI
(-
2l
X1
Mel
24
y1
EI
6l
X1
24
BC段:
y2=
EI
2l
x|+MeX2
UMel
24
y2=
EI
6l
X2
UM
X2
24
lX2
Mel
所以:
Ba=
Mel
24EI
24EI
l,yc
=0
11-2用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。
Me
EI
th
EI
(a)
习题11-2图
解:
(a)取坐标系如图所示。
弯矩方程为:
n
TTTTTT^.
EI
IZi
X
4—
—l
B
q
A
(a)
挠曲线近似微分方程为:
E|yWx2
6
所以:
Ba=-^qEp,yA
Me
El
E|y=24x4+Cx+D(b)
边界条件为:
x=l时,y=0,y'=0,代入(a)、(b)式,得:
C=--l3,DJql4
68
梁的转角和挠度方程式分别为:
-13-|3\1,q4-|3亠1,4\
八『舀」,),yP(24x-61^8ql)
^ql_l
"8EI
积分一次和两次分别得:
Ely,=—MeX+C
ElTx2+Cx+D(b)
边界条件为:
x=l时,y=0,y'=0,
代入(a)、(b)式,得:
C=Mel,
D=-1Mel2
2
梁的转角和挠度方程式分别为:
=^(-Mex+Mel)
y=丄(如:
2
El2
212
x2+Melx-尹』2)
Mel2yA一荷
所以:
Ba=皿』EI
11-3一悬臂梁在BC段受均布荷载作用,如图所示,端截面C的转角和挠度。
试用积分法求梁自由
a_Ei__Q_ZZZJ
a^^^bc
l/2一1
1/2
1/2
习题11-3图
解:
取坐标系如图所示。
E'yi—肖x^+l^q/xf+CM+D1(b)
BC段:
Ely;=_qlX2+3q|2+冷&2-丨);
28;2
q|2321|3
q_x2+3ql2X2+6q(X2-y3+C2
22.1/l4,
X224q(X^2)]
_41ql4
-,yc_0
384El
4HHIH山I丄Uc
+-ql
16
所以:
=诙’yC
11-4一外伸梁受均布荷载,如图所示,试用积分法求AB截面的转角以及C、D截面的挠度。
DEI工B
■■-O-
习题11-4图
—l——l—
解:
取坐标系如图所示。
3ql
AB段弯矩方程为:
M=—X1
4
-iqx2
BC段弯矩方程为:
M=3ql
19
X2qx2+—ql(X2-2l)(2l 424 两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为: AB段: Ely^-3qlx1 4 (a) +C1X1+D1(b) BC段: -1r3ql2y2肯盲X2 +如3 9 -8ql(x2-2l) y2=丄[-生x》+丄qx: El82242 91 --ql(x2-2l)3-ql3x2] 13 ql 所以: %=苕Bb7yC=8i? yD=12El 11-5用积分法求位移时,下列各梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程式? 试分别列出积分常数时所需的边界条件和变形连续条件。 L-I/2T v-1/2—1 (a) (b) 习题11-5图 解: (a)分三段。 AB、BC、CD段位移分别为y1、y2、 y3。 则边界条件B点: X1=X2=2时,y1=y2=0, C点: X2=X3=32 X1—X^—2时寸,y1—y2,X1—X2 (b)分两段。 AB、BC段位移分别为y1、y2。 则边界条件A点: x^i=0时,%=0, 变形连续条件为: yi=y2 B点: X2=X3=丨时,y1=y2=0, 变形连续条件为: X1=X2=I时,y1=丫2, 18号工字钢, 11-6一简支型钢梁承受荷载如图所示,已知所用型钢为 m,q=15kN/m,跨长l=3.26m。 试用积分法求此梁跨中 E=210GPa,M=8.1kN点C处的挠度。 2 解: 取坐标系如图所示。 Ely”=-gqlx+Me+2qx2 挠曲线近似微分方程为: 积分一次和两次分别得: 曰八#qlx2+MeX+gqx3+C(a) 边界条件为: x==O=l时,y=0 EI U—la— 11-9一悬臂梁受力如图所示,试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。 -q UU 11 LIU c ElX r*一l/2 亠 l/2一』 B A 习题11-8图 l/2 l/2 习题11-9图 解: yB儲沢=岛 48EI 4 所以: yc=yB+2‘馆二視曰 +2 .3_.4 ql_7ql X 48EI384EI =ql3 "48EI 11-10—外伸梁受力如图所示, 试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。 已知: F=ql/6。 EI B 彳*l/2* 习题11-10图 解: 对AB段,看作在均布荷载和力偶Fl/2作用下的简支梁, I3 ql 则,轴一24EI' MlFl2 bbm=6E I3 ql 36EI ql3 将BC段看作悬臂梁, 72EI 固定端处有转角 也,则 yc1 (L1-Fl3 ql4 F逗J"24EI"144EI,yC2=BB2 ql4 144EI 所以: yc =yc1+yc2=° ql 48EI 0B= ql ql 48EI 72EI _ql3 144EI, 11-11试用叠加法求下述悬臂梁自由端截面的挠度和转角 M=Fl A l/2 EI B l/2 B (b) 习题 11-11图 解: (a)当M单独作用时, VcM Ml Fl 2EI 2EI Q: m Ml EI Fl EI 当F单独作用时, yBF= 3EI rn3 I2丿 Fl Bbf= 2EI 叮8EI Fl 所以: VcF=yBF 十qf£ 5Fl 48EI' Fl 8EI 则: yc=yCM Fl 2EI 29Fl 48EI 48EI Fl EI 9Fl 8EI 8EI 解: (b)当C点处的F单独作用时, Fa3 此时 Vbi=Vc 4Fa3 Fa2 2EI 当D点处的F单独作用时, 此时 yB2=Vd 14Fa3 3EI Fa2 2EI F(2a)3 8Fa 3EI 3EI Qd F(2a)2 2Fa 2EI EI 2Fa2 EI 所以Vb 6Fa3 EI 5Fa2 2EI 11-12一工字钢的简支梁, 梁上荷载如图所示,已知: l=6m,M=4kNm, q=3kN/m, 400 工字钢为20a,钢材的弹性模量E=200GPa,试校核梁的 刚度。 EI l/2 EI l/2 习题11-12图 习题11-13图 5ql Ml max 384EI 16EI 20^10^237^10 ymax -8 5^3咒103咒64 32 4X103x42 =0.01448m=14.48mm 414 ,所以刚度满足要求。 11-13一工字钢的简支梁,梁上荷载如图所示,已知: l=6m,F=10kN,q=4kN/m,[-1]=丄,材料许用应力[切=150MPa,弹性模量E=200GPa,试 l250 选择工字钢的型号并校核梁的刚度。 解: 跨中最大弯矩为: 2 Mmax =9^+fL=1X4X62+空型马=33kN”m 8484 W=33106=0.12X10」m3=220cm3 bJ150x106 取I20a,则 43 ymax384EI48EI 1 则竿二^^亦讣“鸟^,所以刚度满足要求。 IF rrrn (a) (c) (d) (e) 解: (a)2次;(b)1次;(c)2次;(d)1次;(e)静定结构;(f)3次。 11-15试画出下列各超静定梁的弯矩图。 (b) 即补充方 (a) 11-1可查 解: (a)该梁为一次超静定梁,将B支座视为多余约束,解除该支座,并施加多余约束反力Frb。 根据该梁的变形条件,梁在B点的挠度应为零,程式为: yB=0 由叠加法: yB=yBM+ybf=o 式中: yBM为梁在力偶单独作用下引起的B点的挠度(图d),由表格得: _Ml2 yBM--■2EP yBF为梁在Frb单独作用下B点的挠度,同样由表格11-1可查得: 2Fl3 -2=-FrbI 6EI3EI 将(b)、(C)两式代入式(a),得: (d) 则M图为: (b)该梁为一次超静定梁,将B支座视为多余约束,解除该支座,并施加多余约束反力Frb。 根据该梁的变形条件,梁在B点的挠度应为零,即补充方程式为: yB=0 由叠加法: B支座视为多余约束,解除该支座,并施加多余约束反力Frb。 根据该梁的变形条件,梁在B点的挠度应为零,即补充方程式为: ye=0 由叠加法: 则M图为: (d)该梁为三次超静定梁,将A支座化为固定铰支座,解除该支座的转动约束,并施加多余约束反力Ma。 将B支座化为可动铰支座,解除该支座的转动约束和水平约束,并施加多余约束反力Mb和水平力Hb,由于水平支反力对位移的影响可忽略不计,所以先不考虑Hb,根据该梁的变形条件,梁在A点和B点的转角应为零,即补充方程式为: 0A—00B—0 由叠加法: 0A-0AF+0AMA+BaMB=0,0=BbF十^BMA+BbMB=0, (a)式中: Oaf和环为梁在F单独作用下引起的A点和B点的转角,由表格11-1可查得: 将(b)、(c)(d)式代入式(a),得: Fa2+ 3EI jAa 3EI 则M图如下: (e)该梁为一次超静定梁,将B支座视为多余约束,解除该支座,并施加多余约束反力Frb。 根据该梁的变形条件,梁在B点的挠度应为零,即补充方程式为: yB=0 (a) 由叠加法: yB=yBq+yRB=0 式中: yBq为梁在q单独作用下引起的B点的挠度,由表格11-1可查得: 22224 yBqx_(x^^-4^^q(2a)_(2a)^6(3a)^^3^2^34qa_yBq"口24EIt,6EI (b) 则M图为: 11-16一集中力F作用在梁AB和CD连接处,试绘出二梁的弯矩图。 知: EIi=0.8El2。 习题11-16图 解: 该梁为一次超静定梁,AC和CD梁的受力图如图所示,其中Fc为未知力。 由表格11-1可查得: yCD 代入上式解得: Fc=10F则弯矩图为: 已知横梁的弯曲刚度均为EI,竖杆的拉伸刚度均为 EA, 11-仃在下列结构中, 试求图示荷载作用下各竖杆内力。 l (b) (a) yBA=yBC 式中yBA为梁AB在q和拉力Fbc共同作用下,B端的挠度。 yBc为拉杆BC的伸长量。 yBA=yq+yFBC=gEi FBCyBc=—ayBcea 代入®式得: Fbc=8(a3A伫I) (a) (b)该结构为一次超静定结构,将EC杆的拉力Fec看作多余约束,变形方程为: yCE=yC 式中yc为梁AB在q和拉力Fec共同作用下,C点的挠度。 ycE为拉杆EC的伸长量。 5q4Fecl3 FEC yECEa 5Aql4 yc=yq+yFEC=384EIl-48EI 代入(a)式得: Fec=3 24(Al+16al) 11-18梁AB因强度、冈1」度不够,用同一材料和同样截面的短梁AC加固,试求: 二梁接触处的压力Frc。 加固前后梁AB的最大弯矩和B点的挠度各减少多少? A骨 1*1/2 C 41/2亠 习题11-18图 解: AB杆和AC杆的受力情况如图所示。 二梁在C点处的挠度相同。 即变形条件为: yCA=yCAB (a) 式中ycA为梁AC在Fc作用下C点的挠度。 yCAB为梁AB的在F和Fc共同作用下C点的挠度。 ycAB=y4+yFC=Fx(3l-x)-Fc(丄)3 ycAByFyFc6Er3EI2 Fcl3 yEc—3EI (2) 5Fl3Fcl3 48EI24EI 代入(a)式得: Fc=5F 4 力卩固前AB梁的最大弯矩在支座A处,弯矩值为B处,弯矩值为Fl/2,所以梁的最大弯矩减少50%。 Fl,加固后梁的最大弯矩在 加固前B点的挠度为 yBA= Fl 3EI 加固后B点的挠度为 yBA Fl 3EI -[ Fc 3EI(2 Fl 5Fl Fc 挠度减少: Fl 78Fl 3EI 384EI 11-1 (a) Mel 6EI (b) Mel 24EI ,日B 11-2 (a) ql 6EI yA 11-3 7ql 48EI yc 41ql 384EI 11-4 £a ql 6EI =0, yc= 11- yc =3.24mm 11- yc 11Fa 6EI 11- ql 40EI ql 30EI 11- ql 48EI yc 7ql 11- 10 ql 144EI 11- 11 (a)yc= 11- 12 ymax 11- 13 11- 17 3EI96EI =39% Mel 3EI Mel 24EI ql 8EI ql 8EI 384EI yc=0 29Fl 48EI yc yc (b) 9Fl 8EI =14.48mm 3 W—220Cm,ymax =23.73mm (a)Fn二 3Aql 8(AI3+3al) 22EI(2 Mel 16EI =0 yD 19ql 1920EI ;(b) (b)F Mel EI yB ql )2 12EI 6Fa3 EI 5Aql yA 24(AI3+16al) 78Fl 384EI Mel 2EI 5Fa 2EI 5 11-18Frc=-F。 挠度减少39%,弯矩减少50%。
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