全国高中数学联赛湖南预赛试题及答案(A卷).doc
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2015年湖南省高中数学竞赛(A卷)
(2015-06-27)
一、选择题(每个5分,共6题)
1.将选手的9个得分去掉1个最高分,去年1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示,则7个剩余分数的方差为
A. B. C. 36 D.
2.半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球,则小球半径r可能的最大值是
A. B. C. D.
3.已知数列{an}和{bn}对任意,都有,当时,数列{an}和{bn}的极限分别是A和B,则
A. B. C. D. A和B的大小关系不确定
4.对所有满足的m,n,极坐标方程表示的不同双曲线条数为
A. 6 B. 9 C. 12 D.15
5.使关于x的不等式有解的实数k的最大值是
A. B. C. D.
6.设,则对任意的整数n,形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中,不是M中的元素的数为
A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3
二、填空题(每个8分,共6题)
7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍,则该三角形的周长为:
8.对任一实数序列,定义△A为序列,它的第n项是,假定序列△(△A)的所有项都是1,且,则的值为:
9.满足使为纯虚数的最小正整数n=
10.将1,2,3,...,9这9个数字填在如图所示的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为:
11.记集合,将M中的元素按从大到小顺序排列,则第2015年数是:
12.设直线系,对于下列四个命题:
①M中所有直线均经过一个定点
②存在定点P不在M中的任一条直线上
③对于任意整数存在正n边形,其所有边均在M中的直线上
④M中的直线所能围成的三角形面积都相等
其中真命题的代号是:
(写出所有真命题的代号)
三、解答题(共4题,满分72分)
13.(本小题满分16分)
如图所示,AB为Rt△ABC的斜边,I为其内心,若△IAB的外接圆的半径为R,Rt△ABC的内切圆半径为r,求证:
.
14.(本小题满分16分)
如图,A,B为椭圆(a>b>0)和双曲线的公共顶点,P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点,且满足
求证:
(Ⅰ)三点O、P、Q在同一直线上;
(Ⅱ)若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别是k1、k2、k3、k4,则k1+k2+k3+k4是定值。
15.(本小题满分20分)
已知整数列,满足,,对于正整数n,定义函数,证明:
若存在某个有两个整数零点,则必有无穷多个有两个整数零点。
16.(本小题满分20分)
已知,函数。
(Ⅰ)经过原点分别作曲线和的切线和。
已知两切线的斜率互为倒数,求证:
(Ⅱ)设,当时,恒成立,试求实数a的聚会范围。
2015年湖南省高中数学竞赛答案(A卷)
BBBADC
7.158.8199.310.611.12.②③
13.
14.
15.
16.
7
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