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如何做方程
方程基础知识讲义
主讲:
陈杰
欢迎来到陈老师数学课堂
方程是解答应用题的一种重要方法。
那么,用方程法解应用题有哪些步骤,关键在哪,又有何技巧找到关键之处呢?
用方程法解应用题要做到“一读、二找、三列、四解、五检验、六答”。
“一读”就是读懂题意;“二找”就是找准主要等量关系;“三列”就是根据找到的等量关系,确定哪个未知量用x表示,并列方程;“四解”就是解方程,求出未知数x的值;“五检验”就是把x的值代入原方程,看方程左右两边是否相等;“六答”就是写出答案。
在这六步中,“二找”,也就是找准主要等量关系非常重要,是用方程法解应用题的关键所在。
那么,怎样才能找准题中主要等量关系,正确列出方程呢?
下面举例介绍几主要方法。
一.利用计算公式找准主要等量关系
例1.一个长方形周长是57.8厘米,长方形的长是23厘米,宽是多少厘米?
例2.一个梯形的面积是18平方厘米,它的上底是4.6厘米,下底是5.4厘米。
求这个梯形的高是多少厘米?
例3、一个三角形的面积是100平方厘米,它的底边上的高是25厘米,底边是多少厘米?
例4.用一根长
的铁丝围成一个宽8cm的长方形,这个长方形的面积是多少
?
二.题中可直接翻译的等量关系
例1.买2枝钢笔比买5枝水笔多花了0.8元。
已知每枝水笔的价钱是2.6元,每枝钢笔的价钱是多少元?
例2.小强的爸爸今年37岁,比他年龄的3倍还大4岁,小强今年是多少岁?
例3.一种墨水有两种包装规格,大瓶容量是1.5升,比小瓶容量的4倍少0.9升,小瓶容量是多少?
例4.某商店购进红毛衣49件,比购进的蓝毛衣的6倍少35件。
这个商店购进蓝毛衣多少件?
家庭作业:
1.解方程:
(1)1.4×8-2x=6
(2)6x-12.8×3=0.06(3)410-3x=170(4)18(x-2)=270
(5)91÷x=1.3(6)30÷x+25=85(7)5×3-x÷2=8(8)4(x-5.6)=1.6
1、体育室有羽毛球86个,比毽子个数的4倍少14个。
毽子有多少个?
2、一个三角形的面积是120平方厘米,它的底边上的高是20厘米,底边是多少厘米?
3、果园里有梨树3600棵,苹果树是梨树的3倍多1500棵,苹果树和梨树共有多少棵?
4.一个梯形的面积是20平方厘米,它的上底是4.6厘米,下底是5.4厘米。
求这个梯形的?
三.根据生活经验和常识找准主要等量关系
例1.图书小组原来有一些图书,借给3个班,每个班各借了28本后,还剩25本。
图书小组原来有图书多少本?
例2、张老师买了3个排球,付给营业员245元,营业员找回2元。
每个排球多少元?
例3.某学校买了20个足球和18个篮球,共付出870元钱,每个篮球24元,每个足球多少钱?
例4.修一段公路,已经修了8天,平均每天修125米,还剩800米没有修。
这段公路长多少米?
例5.某工地运来12车水泥,用了700袋后,还剩500袋,平均每车水泥多少袋?
例6.父亲现年50岁,儿子现年14岁,几年前父亲的年龄是儿子的5倍?
例7.水果店要运进水果2820千克,已经运进24筐,每筐重42.5千克,其余每筐重60千克。
还要运进几筐?
例8.小明家离学校有1200米。
一天,他要在30分钟内赶到学校,他先以每分钟20米的速度行了10分钟,那么后面他平均每分钟至少要行多少米才能及时赶到学校?
分析与解:
本题涉及的数量较多,有总路程、总时间、先行时间和速度、后行时间和速度。
题中隐含的主要等量关系是:
先行路程与后行路程的和等于总路程。
家庭作业:
一.根据题意,把题中的数量间的相等关系写完整,再列方程。
1.某工程队修一条长50千米的路,已经修了50天,平均每天修0.4千米,还剩下多少千米没修。
数量间相等的关系:
()+()=全长50千米
解:
设还剩下x米没修
列方程:
2.水果店有12筐梨和10筐苹果共卖了1080元,已知每筐梨40元,每筐苹果多少元?
梨的钱数+()=1080元
解:
设每筐苹果x元
列方程:
3.
列方程:
A:
二.用方程解下列各题
1.仓库里有一批化肥运走了4车,每车运7吨,运剩12.5吨,仓库里原有化肥多少吨?
2.一条水渠的横截面是梯形,上底宽20米,下底宽6米,横截面积是65平方米,这条水渠深多少米?
3.仓库里原有货物128.5吨,运走一部分后又运来97.8吨,这时仓库内有货物187.6吨,运走货物多少吨?
4.李师傅加工一批零件,如果每小时加工45个,24小时可以完成,如果每小时加工60个,多少小时可以完成。
5.一个长方形,长比宽多2分米,这个长方形的周长是16分米,求它的面积。
6、王老师在商店买了12支钢笔,付出100元,找回22元。
每支钢笔多少元?
四.通过一个未知数表示多个未知量
例1.五年级有少先队员62人去公园划船,大船每只坐6人,小船每只坐4人。
两种船共租13只正好合适,求大船和小船各租几只?
分析与解答:
根据题意可以知道,坐大船的人数与坐小船的人数加起来,正好应该是总人数62人。
所以这道题的等量关系是:
坐大船的人数+坐小船的人数=总人数
要想求坐大船的人数,就要知道每条大船坐几人和几条大船。
每条大船坐6人,题中已经告诉。
但有几条大船是未知数,因此把大船的只数设为
。
这样就可以用
表示坐大船的有多少人。
然后根据题意用
表示小船的只数,则
就可以用来表示坐小船的人数。
解:
设大船租
只,则小船租(
)只。
答:
大船租5只,小船租8只。
检验时要把得数代回原题,看是否符合题中的每一个条件。
这道题根据题意需要验证是否正好租13条船,还要验证是否正好是有62人划船,即:
(只)
(人)
例2.小明买了面额2元和面额0.8元的两种邮票共24枚,用去了30元钱。
这两种邮票小明各买了多少枚?
例3.一个长方形的周长是60厘米,长是宽的2倍,求这个长方形的面积。
例4.“果园里桃树和杏树一共有180棵,杏树的棵数是桃树的3倍。
桃树和杏树各有多少棵?
”
题目让我们求两个未知数,要列方程解,可是同学们只学了解一个未知数的方程,怎么办呢?
课本介绍了一种解法,很多同学感到不满足,他们问:
为什么两个未知数,要选择桃树棵数设为x,设杏树有x棵可以吗?
根据“杏树的棵数是桃树的3倍”列方程行吗?
回答是肯定的。
请看下面四种解法(解方程略):
解法1:
设桃树有x棵,则杏树有3x棵。
3x+x=180
解法2:
设杏树有x棵,则桃树有x÷3棵。
x÷3+x=180
解法3:
设桃树有x棵,则杏树有(18O-x)棵。
(180-x)÷x=3
解法4:
设杏树有x棵,则桃树有(180-x)棵。
x÷(18O-x)=3
我们看到,解法1与解法2都是用倍数关系表示两个未知数中的一个,然后根据两数和的关系列方程,区别只是未知数的选择不同;解法3与解法4都是用两数和的关系表示另一个未知数,然后根据两数的倍数关系列方程,区别也是未知数的选择不同。
比较四种解法,解法1最简便。
它的特点是根据倍数关系,选择看作一倍的未知数设为x,则另一个未知数是x的a倍,就可以表示为ax。
然后根据两数和的关系列方程。
原来,课本上介绍的是最简便的一种解法。
再来看下面两种解法,对吗?
为什么?
解:
设桃树有x棵,则杏树有(180-x)棵。
180-x+x=180
解:
设杏树有x棵,则桃树有x÷3棵。
x÷3×3=x
奇怪,两种解法看看都有道理,一种是根据两数和的关系列方程,一种是根据倍数关系列方程,可是化简后得到的却是“180=180”,“x=x”,这到底是怎么回事呢?
有位同学说得好:
“这两种解法,表示未知数和列方程都用同一个条件,结果当然是自己等于自己了”。
那么怎样避免出现“自己等于自己”这样的等式呢?
很简单,只要像上面四种解法那样,两个条件各派各的用处,即一个用来表示未知数,一个用来列方程就行了。
例5.用果园里有梨树和桃树共168棵,桃树的棵数是梨树的3倍。
果园里有梨树和桃树各多少棵?
家庭作业:
1.五年级一班有学生40人,都为抗击非典捐款,其中一部分同学捐款10元,其余的同学捐7元,一共捐370元,求捐10元和捐7元的学生各多少人
2.学校买来皮球和足球共60个,皮球的个数是足球的4倍。
学校买来皮球和足球各多少个?
3.有三条水渠总共长440米,第二条是第一条的3倍,第三条是第二条的2倍,三条绳子各长多少米?
画图提示:
4.小明买1元一张和2元一张的邮票共33张,这些邮票的面值共48元,每种邮票各多少张?
5.甲、乙、丙三个数之和是2320,甲是乙的一半,乙是丙的2倍,甲、乙各是多少?
五.多个等量关系,需要巧列未知数
例1.某邮递员要在规定的时间内把一封急件送到某地,如果骑自行车每小时可行24千米,但要晚到30分钟,如开小面包车去每小时行80千米,则可以提前75分钟到达。
求规定的时间是多少?
邮递员要走的路程是多少千米?
分析与解答:
根据题意可以知道,邮递员的两种走法所走的路程是相同的,这就是这道题的等量关系。
即:
骑自行车的路程=开小面包车的路程
求路程就要用“速度×时间”,两种是已知的,时间都不知道,可以用
来表示。
这里有三个时间,骑自行车的时间,开小面包车的时间,规定时间,设哪一个时间为
呢?
比较一下,可以看出设规定时间为
比较方便。
这样我们就可以用含有
的式子表示另外两个时间。
解:
30分=0.5小时,75分=1.25小时
设规定时间为
小时,骑自行车用
小时,开小面包车用
小时
(千米)
答:
规定时间是2小时,通信员走的路程是60千米。
例2.甲粮仓存粮112吨,乙粮仓存粮80吨,每天从两个粮仓各运走6吨粮食,多少天后,甲粮仓剩下的粮食是乙粮仓的2倍?
例3.今有四个数,取其每三个而相加,则其和分别为20,22,24和27,求这四个数各是多少?
分析与解答:
这题关键是如何设未知数。
如果设其中的一个数为
,另外三个数就很难用含有
的式子表示,如果每个数都用不同的字母表示,则需要列方程解,做起来比较麻烦。
解:
设这四个数的和为
。
则四个数分别是
例4.被除数除以除数商15余数是3,被除数、除数、商和余数的和是181,除数是多少?
例5.师傅织布的米数是徒弟的6倍,如果每人再织20米布,那么师傅织布的米数是徒弟的4倍,师徒原来各织布多少米?
例6.松鼠妈妈采松子,晴天每天可采20个,雨天每天可采12个,它一连采了112个松子,平均每天采14个,在这几天中有几天是雨天?
家庭作业:
1.王老师要在规定的时间内看一本书,如果每小时看18页,可以提前1.5小时看完,如果每小时看12页,则比规定时间晚1小时完成,规定时间是几小时?
这本书共有多少页?
2.甲水池存水40吨,乙水池存水66吨,每分钟从乙水池中抽出2吨水放入甲水池,多少分钟后,两水池的存水同样多?
3.有两支香,第一支长40厘米,第二支长30厘米,把它们同时点燃,两支香都是每分钟燃2厘米,多少分钟后,第一支香剩下的长度是第二支的3倍?
4.幼儿园的小朋友分糖,如果分给每人5块则多13块,如果分给每人6块,则缺7块,求有几个小朋友?
一共有多少块糖?
5.甲、乙两车间共有88人,如果从甲车间调15人到乙车间,那么乙车间人数是甲车间的3倍,两个车间原来各有多少人?
6.一架飞机执行喷洒农药任务,原计划每分钟飞行9千米,为了争取时间现将速度提高到每分钟12千米,结果比原计划早到30分钟,机场与空投的地点相距多少千米?
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