学年高中数学 选修11教师用书第1章 常用.docx
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学年高中数学选修11教师用书第1章常用
1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量词
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
1.理解全称量词和存在量词的意义.(重点)
2.能判定全称命题与存在性命题的真假.(难点)
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1 全称量词、存在量词与全称命题、
存在性命题
阅读教材P13,完成下列问题.
1.全称量词与全称命题
(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,通常用符号“∀x”表示“对任意x”.
(2)含有全称量词的命题称为全称命题,一般形式为:
∀x∈M,p(x).
2.存在量词和存在性命题
(1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,通常用符号“∃x”表示“存在x”.
(2)含有存在量词的命题称为存在性命题,一般形式为:
∃x∈M,p(x).
判断正误:
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )
(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( )
(3)全称命题一定含有全称量词,存在性命题一定含有存在量词.( )
(4)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反.( )
【解析】
(1)×.“有些”“某个”“有的”都表示部分,是存在量词.
(2)√.由全称量词与存在量词的定义可知
(2)正确.
(3)×.有些全称命题与存在性命题可能省略量词.
(4)√.命题p与其否定綈p真假性相反.
【答案】
(1)×
(2)√ (3)× (4)√
教材整理2 全称命题与存在性命题的否定
阅读教材P15例1以上部分,完成下列问题.
1.全称命题的否定
全称命题p
綈p
结论
∀x∈M,p(x)
∃x∈M,綈p(x)
全称命题的否
定是存在性命题
2.存在性命题的否定
存在性命题p
綈p
结论
∃x∈M,p(x)
∀x∈M,綈p(x)
存在性命题的
否定是全称命题
(2014·安徽高考改编)命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是________.
【导学号:
24830013】
【解析】 原命题为全称命题其否定为“∃x0∈R,|x0|+x
<0”.
【答案】 ∃x0∈R,|x0|+x
<0
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
________________________________________________________
解惑:
________________________________________________________
疑问2:
________________________________________________________
解惑:
________________________________________________________
疑问3:
________________________________________________________
解惑:
________________________________________________________
[小组合作型]
用量词表示命题
判断下列命题是否为全称命题或存在性命题,若是,用符号表示.并判断其真假.
(1)对任意实数α,有sin2α+cos2α=1;
(2)存在一条直线,其斜率不存在;
(3)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解;
(4)存在实数x0,使得
=2.
【精彩点拨】 判断全称命题还是存在性命题→用符号“∀”或“∃”表示
【自主解答】
(1)是全称命题,用符号表示为“∀α∈R,sin2x+cos2α=1”,是真命题.
(2)是存在性命题,用符号表示为“∃直线l,l的斜率不存在”,是真命题.
(3)是全称命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程ax+b=0都有唯一解”,是假命题.
(4)是存在性命题,用符号表示为“∃x0∈R,
=2”,是假命题.
1.有些命题不是典型的全称命题或存在性命题,却表达了相应的意义,这时可适当引入量词,用量词表示命题,准确体会命题的含义.
2.用符号“∀”“∃”表示含有量词的命题时,将存在量词改为“∃”,全称量词改为“∀”,注意必要时需引入字母来表达命题的含义.
[再练一题]
1.用符号“∀”与“∃”表示下列命题:
(1)实数的绝对值大于等于0;
(2)存在实数对,使两数的平方和小于1;
(3)任意的实数a,b,c满足a2+b2+c2≥ab+bc+ac.
【解】
(1)∀x∈R,|x|≥0.
(2)∃(x,y)∈R,x2+y2<1.
(3)∀a,b,c∈R,a2+b2+c2≥ab+bc+ac.
含有量词的命题的真假判断
判断下列命题的真假:
(1)若a>0且a≠1,则∃x0∈R,ax0>0;
(2)∀x∈R,都有x2-x+1>
;
(3)∃x0,y0∈N,使
x0+y0=3.
【精彩点拨】 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断.
【自主解答】
(1)∵a>0,∴当x=1时,ax=a>0,成立,∴
(1)为真命题.
(2)∵x2-x+1=
2+
≥
>
,∴x2-x+1>
恒成立,∴
(2)是真命题.
(3)当x0=0,y0=3时,
x0+y0=3满足题意,∴(3)是真命题.
全称命题与存在性命题真假判断的方法:
(1)对于全称命题“∀x∈M,p(x)”:
①要证明它是真命题,需对集合M中每一个元素x,证明p(x)成立;
②要判断它是假命题,只要在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立即可.(通常举反例)
(2)存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行,在限定的集合内,看能否找到相应的元素使命题成立,能找到,命题为真,否则为假.
[再练一题]
2.判断下列命题中的真假:
(1)∀x∈R,2x-1>0;
(2)∀x∈N*,(x-1)2>0;
(3)∃x0∈R,lgx0<1;(4)∃x0∈R,tanx0=2.
【解】
(1)命题“∀x∈R,2x-1>0”是全称命题,易知2x-1>0恒成立,故是真命题;
(2)命题“∀x∈N*,(x-1)2>0”是全称命题,当x=1时,(x-1)2=0,故是假命题;
(3)命题“∃x0∈R,lgx0<1”是存在性命题,当x=1时,lgx=0,故是真命题;
(4)命题“∃x0∈R,tanx0=2”是存在性命题,依据正切函数定义,可知是真命题.
含有一个量词的命题的否定
写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)p:
∀x∈R,x2-x+
≥0;
(2)q:
所有的正方形都是矩形;
(3)r:
∃x0∈R,x
+2x0+2≤0;
(4)s:
至少有一个实数x0,使x
+1=0.
【精彩点拨】 首先弄清楚所给命题是全称命题还是存在性命题,然后针对量词和结论两个方面进行否定.
【自主解答】
(1)綈p:
∃x0∈R,x
-x0+
<0,假命题.
∵∀x∈R,x2-x+
=
2≥0恒成立,∴綈p是假命题.
(2)綈q:
至少存在一个正方形不是矩形,假命题.
(3)綈r:
∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题.
∵∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立
∴綈r是真命题.
(4)綈s:
∀x∈R,x3+1≠0,假命题.
∵x=-1时,x3+1=0,∴綈s是假命题.
1.写一个命题的否定的步骤:
首先判定该命题是“全称命题”还是“存在性命题”,并确定相应的量词,其次把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词同时否定结论.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.
[再练一题]
3.写出下列命题的否定:
(1)p:
一切分数都是有理数;
(2)q:
有些三角形是锐角三角形;
(3)r:
∃x0∈R,x
+x0=x0+2;
(4)s:
∀x∈R,2x+4≥0.
【导学号:
24830014】
【解】
(1)綈p:
有些分数不是有理数;
(2)綈q:
所有的三角形都不是锐角三角形;
(3)綈r:
∀x∈R,x2+x≠x+2;
(4)綈s:
∃x0∈R,2x0+4<0.
[探究共研型]
全称命题与存在性命题的综合应用
探究1
(1)“∃x∈R,a=x2”的含义是什么?
(2)“∃x∈[1,2],a=x2”的含义是什么?
若上述两个命题是真命题,试分别求出a的取值范围.
【提示】
(1)“∃x∈R,a=x2”的含义是方程x2-a=0有实数根,所以其判别式Δ=4a≥0,解得a≥0;
(2)“∃x∈[1,2],a=x2”的含义是方程x2-a=0在[1,2]内有实数根,也就是函数y=x2,x∈[1,2]和函数y=a的图象有交点,因为x∈[1,2],所以x2∈[1,4],所以a的取值范围是1≤a≤4.
探究2
(1)“∀x∈[1,2],a<x2”的含义是什么?
(2)“∃x∈[1,2],a<x2”的含义是什么?
若上述两个命题是真命题,试分别求出a的取值范围.
【提示】
(1)“∀x∈[1,2],a<x2”的含义是对于所有的,一切在[1,2]内的x,不等式a<x2都恒成立,所以a要小于x2的最小值.因为x∈[1,2],所以x2∈[1,4],所以a<1;
(2)“∃x∈[1,2],a<x2”的含义是在[1,2]内至少有一个x,使不等式a<x2成立,此时只要a不大于x2的最大值即可.因为x∈[1,2],所以x2∈[1,4],所以a≤4.
(1)若命题p:
∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则实数a的取值范围是________.
(2)若“∃x0∈R,x
+2x0+2=m”是真命题,则实数m的取值范围是________.
【精彩点拨】
(1)转化为不等式的恒成立问题;
(2)转化为方程有实数根的问题.
【自主解答】
(1)ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,即不等式ax2+4x+a≥-2x2+1对∀x∈R恒成立,即(a+2)x2+4x+(a-1)≥0恒成立.
当a+2=0时,不符合题意.故有
即
解得a≥2.
(2)方法一:
由于“∃x0∈R,x
+2x0+2=m”是真命题,则实数m的取值集合就是二次函数f(x)=x2+2x+2的值域,即{m|m≥1}.
方法二:
依题意,方程x2+2x+2-m=0有实数解,
∴Δ=4-4(2-m)≥0,解得m≥1.
【答案】
(1)[2,+∞)
(2)[1,+∞)
应用全称命题与存在性命题求参数范围的常见题型
1.全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以代入,也可以根据函数等数学知识来解决.
2.存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.
[再练一题]
4.若存在x0∈R,使ax
+2x0+a<0,则实数a的取值范围是________.
【导学号:
24830015】
【解析】 当a≤0时,显然存在x0∈R,使ax
+2x0+a<0;
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