2000全国高中数学联赛试题及解答.doc
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2000年全国高中数学联赛冯惠愚
2000年全国高中数学联合竞赛试卷
(10月15日上午8:
00-9:
40)
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.设全集是实数,若A={x|≤0},B={x|10=10x},则A∩∁RB是()
(A){2}(B){-1}(C){x|x≤2}(D)Æ
2.设sina>0,cosa<0,且sin>cos,则的取值范围是()
(A)(2kp+,2kp+),kÎZ(B)(+,+),kÎZ
(C)(2kp+,2kp+p),kÎZ(D)(2kp+,2kp+)∪(2kp+,2kp+p),kÎZ
3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是()
(A)(B)(C)3(D)6
4.给定正数p,q,a,b,c,其中p¹q,若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0()
(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根
5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最小值是()
(A)(B)(C)(D)
6.设ω=cos+isin,则以w,w3,w7,w9为根的方程是()
(A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4-x3+x2-x+1=0
(C)x4-x3-x2+x+1=0(D)x4+x3+x2-x-1=0
二.填空题(本题满分54分,每小题9分)
1.arcsin(sin2000°)=__________.
2.设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则(++…+))=________.
3.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
4.在椭圆+=1(a>b>0)中,记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是,则∠ABF=_________.
5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是________.
6.如果:
(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};
(2)a¹b,b¹c,c¹d,d¹a;
(3)a是a,b,c,d中的最小值,
那么,可以组成的不同的四位数的个数是_________
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
1.设Sn=1+2+3+…+n,nÎN*,求f(n)=的最大值.
2.若函数f(x)=-x2+在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b].
3.已知C0:
x2+y2=1和C1:
+=1(a>b>0).试问:
当且仅当a,b满足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为顶点,与C0外切,与C1内接的平行四边形?
并证明你的结论.
2000年全国高中数学联赛二试题
(10月15日上午10∶00-12∶00)
一.(本题满分50分)
A
B
C
D
E
F
M
N
如图,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F,满足∠BAE=∠CAF,作FM⊥AB,FN⊥AC(M、N是垂足),延长AE交三角形ABC的外接圆于D.证明:
四边形AMDN与三角形ABC的面积相等.
二.(本题满分50分)
设数列{an}和{bn}满足a0=1,a1=4,a2=49,且
n=0,1,2,……
证明an(n=0,1,2,…)是完全平方数.
三.(本题满分50分)
有n个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意n-2个人之间通电话的次数相等,都是3k次,其中k是自然数,求n的所有可能值.
2000年全国高中数学联合竞赛试题解答
第一试
一.选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.设全集是实数,若A={x|≤0},B={x|10=10x},则A∩∁RB是()
(A){2}(B){-1}(C){x|x≤2}(D)Æ
解:
A={2},B={2,-1},故选D.
2.设sina>0,cosa<0,且sin>cos,则的取值范围是()
(A)(2kp+,2kp+),kÎZ(B)(+,+),kÎZ
(C)(2kp+,2kp+p),kÎZ(D)(2kp+,2kp+)∪(2kp+,2kp+p),kÎZ
解:
满足sina>0,cosa<0的α的范围是(2kp+,2kp+π),于是的取值范围是(+,+),
满足sin>cos的的取值范围为(2kp+,2kp+).故所求范围是(2kp+,2kp+)∪(2kp+,2kp+p),kÎZ.选D.
3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是()
(A)(B)(C)3(D)6
解:
A(-1,0),AB方程:
y=(x+1),代入双曲线方程,解得B(2,),
∴S=3.选C.
4.给定正数p,q,a,b,c,其中p¹q,若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0()
(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根
解:
a2=pq,b+c=p+q.b=,c=;
△=a2-bc=pq-(2p+q)(p+2q)=-(p-q)2<0.选A.
5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最小值是()
(A)(B)(C)(D)
解:
直线即25x-15y+12=0.平面上点(x,y)到直线的距离==.
∵5x-3y+2为整数,故|5(5x-3y+2)+2|≥2.且当x=y=-1时即可取到2.选B.
6.设ω=cos+isin,则以w,w3,w7,w9为根的方程是()
(A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4-x3+x2-x+1=0
(C)x4-x3-x2+x+1=0(D)x4+x3+x2-x-1=0
解:
ω5+1=0,故w,w3,w7,w9都是方程x5+1=0的根.x5+1=(x+1)(x4-x3+x2-x+1)=0.选B.
二.填空题(本题满分54分,每小题9分)
1.arcsin(sin2000°)=__________.
解:
2000°=180°×12-160°.故填-20°或-.
2.设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则(++…+))=________.
解:
an=3n-2C.∴==,故填18.
3.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
解:
q=====.填.
4.在椭圆+=1(a>b>0)中,记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是,则∠ABF=_________.
解:
c=a,∴|AF|=a.|BF|=a,|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2.
故有|AF|2=|AB|2+|BF|2.即∠ABF=90°.填90°.
或由b2=a2-c2=a2=ac,得解.
5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是________.
解:
取球心O与任一棱的距离即为所求.如图,AE=BE=a,
AG=a,AO=a,BG=a,AB∶AO=BG∶OH.
OH==a.V=πr3=πa3.填πa3..
6.如果:
(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};
(2)a¹b,b¹c,c¹d,d¹a;
(3)a是a,b,c,d中的最小值,
那么,可以组成的不同的四位数的个数是_________
解:
a、c可以相等,b、d也可以相等.
⑴当a、c相等,b、d也相等时,有C=6种;
⑵当a、c相等,b、d不相等时,有A+A=8种;
⑶当a、c不相等,b、d相等时,有CC+C=8种;
⑷当a、c不相等,b、d也不相等时,有A=6种;共28种.填28.
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
1.设Sn=1+2+3+…+n,nÎN*,求f(n)=的最大值.
解:
Sn=n(n+1),f(n)==≤Error!
Nobookmarknamegiven..(n=8时取得最大值).
2.若函数f(x)=-x2+在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b].
解:
⑴若a≤b<0,则最大值为f(b)=-b2+=2b.最小值为f(a)=-a2+=2a.即a,b是方程x2+4x-13=0的两个根,而此方程两根异号.故不可能.
⑵若a<0
当x=a或x=b时f(x)取最小值,①f(a)=-a2+=2a时.a=-2±,但a<0,故取a=-2-.由于|a|>|b|,从而f(a)是最小值.②f(b)=-b2+==2a>0.与a<0矛盾.故舍.
⑶0≤a
∴-b2+=2a.-a2+=2b.相减得a+b=4.解得a=1,b=3.
∴[a,b]=[1,3]或[-2-,].
3.已知C0:
x2+y2=1和C1:
+=1(a>b>0).试问:
当且仅当a,b满足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为顶点,与C0外切,与C1内接的平行四边形?
并证明你的结论.
解:
设PQRS是与C0外切且与C1内接的平行四边形.易知圆的外切平行四边形是菱形.即PQRS是菱形.于是OP⊥OQ.
设P(r1cosθ,r1sinθ),Q(r2cos(θ+90°),r2sin(θ+90°),则在直角三角形POQ中有r12+r22=r12r22(利用△POQ的面积).即+=1.
但+=1,即=+,
同理,=+,相加得+=1.
反之,若+=1成立,则对于椭圆上任一点P(r1cosθ,r1sinθ),取椭圆上点Q(r2cos(θ+90°),r2sin(θ+90°),则=+,,=+,,于是+=+=1,此时PQ与C0相切.即存在满足条件的平行四边形.
故证.
第二试
一.(本题满分50分)
如图,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F,满足∠BAE=∠CAF,作FM⊥AB,FN⊥AC(M、N是垂足),延长AE交三角形ABC的外接圆于D.证明:
四边形AMDN与三角形ABC的面积相等.
证明:
连MN,则由FM⊥AM,FN⊥AN知A、M、F、N四点共圆,且该圆的直径为AF.又ÐAMN=ÐAFN,但ÐFAN=ÐMAD,故ÐMAD+ÐAMN=ÐFAN+ÐAFN=90°.∴MN⊥AD,且由正弦定理知,MN=AFsinA.
∴SAMDN=AD·MN=AD·AFsinA.
连BD,由ÐADB=ÐACF,ÐDAB=ÐCAF,得⊿ABD∽⊿AFC.
∴AD∶AB=AC∶AF,即AD·AF=AB·AC.
∴SAMDN=AD·AFsinA=AB·ACsinA=SABC.
二.(本题满分50分)
设数列{an}和{bn}满足a0=1,a1=4,a2=49,且
n=0,1,2,……
证明an(n=0,1,2,…)是完全平方数.
证明⑴×7:
7an+1=49an+42bn-21,
⑵×6:
6bn+1=48an+42bn-24.
两式相减得,6bn+1-7an+1=-an-3,即6bn=7an-an-1-3.
代入⑴:
an+1=14an-an-1-6.故an+1-=14(an-)-(an-1-).
其特征方程为x2-14x+1=0,特征方程的解为x=7±4.
故an=α(7+4)n+β(7-4)n+,现a0=1,a1=4,a2=49.解得α=β=.
∴an=(7+4)n+(7-4)n+=(2+)2n+(2-)2n+
=[(2+)n+(2-)n]2.
由于[(2+)n+(2-)n]是整数,故知an是整数的平方.即为完全平方数.
三.(本题满分50分)
有n个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意n-2个人之间通电话的次数相等,都是3k次,其中k是自然数,求n的所有可能值.
解:
由条件知,统计各n-2人组的通话次数都是3k次,共有C=C个n-2人组,若某两人通话1次,而此二人共参加了C=C个n-2人组,即每次通话都被重复计算了C次.即总通话次数应为·3k次.
由于(n-1,n-2)=1,故n-2|n∙3k.
若n-2|n,故n-2|2,易得n=4,(n=3舍去)此时k=0.
由n-2|3k,n=3m+2,(m为自然数,且m≤k),此时
·3k=·3k=[3m+4+]·3k-m,即3m-1|6.
∴m=0,1.当m=0时,n=3(舍去),当m=1时,n=5.
又:
n=4时,每两个人通话次数一样,可为1次(任何两人都通话1次);当n=5时,任何两人都通话1次.均满足要求.
∴n=0,5.
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