(课标通用)2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测43理.doc
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课时跟踪检测(四十三)
[高考基础题型得分练]
1.给出下列四个命题:
①垂直于同一平面的两条直线相互平行;
②垂直于同一平面的两个平面相互平行;
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:
B
解析:
由直线与平面垂直的性质可知,①正确;正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面,而不平行,故②错;由直线与平面垂直的定义知,④正确,而③错.
2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况:
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两直径;④正六边形的两边.不能保证该直线与平面垂直的是( )
A.①③ B.②
C.②④ D.①②④
答案:
C
解析:
直线与平面垂直的条件是:
平面外的直线和平面内的两条交线垂直,故②④不能保证.
3.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
答案:
D
解析:
由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l.
4.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么( )
A.PA=PB>PC B.PA=PB C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC 答案: C 解析: ∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形, ∴BM=AM=CM. 又PM⊥平面ABC, ∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC, 故PA=PB=PC. 5.[2017·宁夏银川一模]设m,n为空间两条不同的直线,α,β为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若m∥α,m∥β,则α∥β; ②若m⊥α,m∥β,则α⊥β; ③若m∥α,m∥n,则n∥α; ④若m⊥α,α∥β,则m⊥β. 其中的正确命题序号是( ) A.③④ B.①② C.②④ D.①③ 答案: C 解析: ①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行,故①错误; ②若m⊥α,m∥β,则由平面与平面垂直的判定定理,得α⊥β,故②正确; ③若m∥α,m∥n,则n∥α或n⊂α,故③错误; ④若m⊥α,α∥β,则由直线与平面垂直的判定定理,得m⊥β,故④正确.故选C. 6.[2017·山东青岛质检]设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是( ) A.a⊥α,b∥β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α∥β C.a⊂α,b⊥β,α∥β D.a⊂α,b∥β,α⊥β 答案: C 解析: 对于C项,由α∥β,a⊂α可得a∥β,又b⊥β,得a⊥b,故选C. 7.[2017·江西九江模拟]如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是( ) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 答案: C 解析: 因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,又BE∩DE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故选C. 8.如图,PA⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB.给出下列结论: ①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中真命题的序号是________. 答案: ①②④ 解析: ①AE⊂平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA⇒AE⊥BC,故①正确;②AE⊥PC,AE⊥BC,PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB,AF⊥PB,EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB,故②正确;③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC,则AF∥AE,与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确. 9.设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若a∥α且b∥α,则a∥b; ②若a⊥α且a⊥β,则α∥β; ③若α⊥β,则一定存在平面γ,使得γ⊥α,γ⊥β; ④若α⊥β,则一定存在直线l,使得l⊥α,l∥β. 上面命题中,所有真命题的序号是________. 答案: ②③④ 解析: ①中a与b可能相交或异面,故不正确. ②垂直于同一直线的两平面平行,正确. ③中存在γ,使得γ与α,β都垂直. ④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以. 10.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 答案: DM⊥PC(或BM⊥PC) 解析: 连接AC,BD,则AC⊥BD. ∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥BD. 又PA∩AC=A, ∴BD⊥平面PAC, ∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD. 而PC⊂平面PCD, ∴平面MBD⊥平面PCD. 11.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为________. 答案: 解析: 设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF. 由已知可得A1B1=, 设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h. 又2×=h, 所以h=,DE=. 在Rt△DB1E中,B1E==. 由面积相等得×=x,得x=. 即线段B1F的长为. [冲刺名校能力提升练] 1.[2017·吉林实验中学模拟]设a,b,c是空间的三条直线,α,β是空间的两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是( ) A.当c⊥α时,若c⊥β,则α∥β B.当b⊂α时,若b⊥β,则α⊥β C.当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若b⊥c,则a⊥b D.当b⊂α,且c⊄α时,若c∥α,则b∥c 答案: B 解析: A的逆命题为: 当c⊥α时,若α∥β,则c⊥β.由线面垂直的性质知,c⊥β,故A正确; B的逆命题为: 当b⊂α时,若α⊥β,则b⊥β,显然错误,故B错误; C的逆命题为: 当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若a⊥b,则b⊥c.由三垂线逆定理知,b⊥c,故C正确; D的逆命题为: 当b⊂α,且c⊄α时,若b∥c,则c∥α.由线面平行判定定理知,c∥α,故D正确. 2.[2017·河北衡水中学模拟]如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H.则以下命题中,错误的是( ) A.点H是△A1BD的垂心 B.AH垂直于平面CB1D1 C.AH延长线经过点C1 D.直线AH和BB1所成角为45° 答案: D 解析: 对于A,由于AA1=AB=AD,所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1,B,D的距离相等,即点H是△A1BD的外心,而A1B=A1D=BD,故点H是△A1BD的垂心,命题A是真命题; 对于B,由于B1D1∥BD,CD1∥A1B,故平面A1BD∥平面CB1D1,而AH⊥平面A1BD,从而AH⊥平面CB1D1,命题B是真命题; 对于C,由于AH⊥平面CB1D1,因此AH的延长线经过点C1,命题C是真命题; 对于D,由C知直线AH即是直线AC1,又直线AA1∥BB1,因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角,即∠A1AC1,而tan∠A1AC1==,因此命题D是假命题. 3.[2017·江西上饶质检]已知m,n是两条不相同的直线,α,β是两个不重合的平面,现有以下说法: ①若α∥β,n⊂α,m⊂β,则m∥n; ②若m⊥α,m⊥β,n⊥α,则n⊥β; ③若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β; ④若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n; ⑤若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n. 其中正确说法的序号为________. 答案: ②③ 解析: 对于①,注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行,可能是异面直线,因此①不正确; 对于②,由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知α,β平行;由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面”得知,n⊥β,因此②正确; 对于③,由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线,则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知,③正确; 对于④,分别平行于两个垂直平面的两条直线未必垂直,因此④不正确; 对于⑤,m与n有可能平行,因此⑤不正确. 综上所述,正确的说法有②③. 4.[2017·甘肃兰州质检]如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是________.(写出所有正确说法的序号) ①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC; ②不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE; ③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB; ④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD. 答案: ①②④ 解析: 由已知,在未折叠的原梯形中,AB∥DE,BE∥AD,所以四边形ABED为平行四边形, 所以BE=AD,折叠后如图所示. ①过点M作MP∥DE,交AE于点P,连接NP. 因为M,N分别是AD,BE的中点, 所以点P为AE的中点,故NP∥EC. 又MP∩NP=P,DE∩CE=E, 所以平面MNP∥平面DEC, 故MN∥平面DEC,①正确; ②由已知,AE⊥ED,AE⊥EC, 所以AE⊥MP,AE⊥NP, 又MP∩NP=P,所以AE⊥平面MNP, 又MN⊂平面MNP, 所以MN⊥AE,②正确; ③假设MN∥AB,则MN与AB确定平面MNBA, 从而BE⊂平面MNBA,AD⊂平面MNBA,与BE和AD是异面直线矛盾,③错误; ④当EC⊥ED时,EC⊥AD. 因为EC⊥EA,EC⊥ED,EA∩ED=E, 所以EC⊥平面AED,AD⊂平面AED, 所以EC⊥AD,④正确. 5.[2017·贵州七校联考]如图,几何体EF-ABCD中,CDEF为边长为2的正方形,ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°. (1)求证: AC⊥FB; (2)求几何体EF-ABCD的体积. (1)证明: 由题意,得 AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D, ∴AD⊥平面CDEF,∴AD⊥FC. ∵四边形CDEF为正方形,∴DC⊥FC. ∵DC∩AD=D,∴FC⊥平面ABCD,∴FC⊥AC. 又∵四边形ABCD为直角梯形, AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4, ∴AC=2,BC=2, 则有AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC, 又BC∩FC=C,∴AC⊥平面FCB,∴AC⊥FB. (2)解: 如图,连接EC,过B作CD的垂线,垂足为N, 易知BN⊥平面CDEF,且BN=2. ∵VEF-ABCD=VE-ABCD+VB-EFC =S梯形ABCD·DE+S△EFC·BN=, ∴几何体EF-ABCD的体积为. 6.[2017·湖北八校联考]如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=2AB=2,且BC1⊥A1C. (1)求证: 平面ABC1⊥平面A1ACC1. (2)设D是A1C1的中点,在线段BB1上是否存在点E,使DE∥平面ABC1? 若存在,求三棱锥E-ABC1的体积;若不存在,请说明理由. (1)证明: 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, 有A1A⊥平面ABC,∴A1A⊥AC. 又∵A1A=AC,∴A1C⊥AC1. 又∵BC1⊥A1C,AC1∩BC1=C1, AC1,BC1⊂平面ABC1,∴A1C⊥平面ABC1. ∵A1C⊂平面A1ACC1, ∴平面ABC1⊥平面A1ACC1. (2)解: 存在,E为BB1的中点. 取A1A的中点F, 连接EF,FD. 则EF∥AB,DF∥AC1. ∵EF∩DF=F,AB∩AC1=A, ∴平面EFD∥平面ABC1. ∵DE⊂平面EFD,∴DE∥平面ABC1. VE-ABC1=VC1-ABE=××1×1×2=. 10
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- 通用 2018 年高 数学 一轮 复习 课时 跟踪 检测 43