关于非欧几何黎曼积分爱因斯坦与波尔.docx
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关于非欧几何黎曼积分爱因斯坦与波尔
关于非欧几何黎曼积分(爱因斯坦与波尔)
大都所知的几何是欧几里得几何,其关于“无穷”的问题有其深刻的解释,最近看了关于“第五公设”的资料,再联想自己所知的知识(我认为还是把“知识”看成“假设”的好,毕竟科学仅是最合理的假设),便随便找了个地方发发感想~第五公设:
平面上如果一条线段与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两直角,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角的一侧相交(也称“平行公设”)。
在十多个世纪的漫长过程中,涌现了许多杰出的数学家,提出了很多的证明方法,每一个最终都陷入一种无穷循环的证明中而不得不承认无法证明,现在认为它是一种独立体系,无法从其他理论中得到证明(呵呵,这让我想到了康托的超限基数,都被承认为独立系统,都有连续无穷论证这一个大难题)。
我看了网上各种有兴趣的人发表的证法,其中让我们这代人比较容易搞混的是用“三角形内角和为180”来证第五公设,我在此先说明,三角形内角和为180是在第五公设的基础上发展来的,所以不能用它论证。
说到三角形内角和,我又不得不提一下非欧几何。
在尝试对第五公设的证明者中,罗巴切夫斯基运用反证法的证明过程中,发现了许多有违常识,但在逻辑上是完全对的结论,其与第五公设是相反的:
平面上过直线外一点,有无数条直线与之不相交。
最终经过多位数学家的努力,发展成现在被认可了的罗氏非欧几何。
我个人偏向于非欧几何,可能是因为我较早了解到时空曲率这一概念(其实我现在知道爱因斯坦的相对论是建立在罗氏非欧几何与黎曼几何的上的,相对论是用几何语言来描述重力场,稍后再说相对论)。
罗氏非欧几何的一种图像表示方法
(这是我找的中最通俗易懂的)
1826年,俄国数学家罗巴切夫斯基(Лобачевский)建立了一种不同于传统的欧几里德几何的新的几何体系,被称为“罗氏非欧几何”。
罗氏几何与欧氏几何的主要不同在于:
欧氏几何中的第五公设——平行公设,在罗氏几何中,是不成立的。
在欧氏几何中,过一条直线外的一点,能作而且只能作一条与这直线不相交的平行线;而在罗氏几何中,过一条直线外的一点,能作无数条与这直线不相交的直线。
在欧氏几何中,三角形的内角和总是等于;而在罗氏几何中,三角形的内角和总是小于。
在欧氏几何中,,,
两条平行线之间的垂直距离,处处相等;而在罗氏几何中,不可能作出垂直距离处处相等的两条平行线。
人们自然会产生怀疑:
这样的罗氏非欧几何,有可能成立吗,罗氏非欧几何本身,会不会存在不可克服的矛盾,
下面,我们介绍一种罗氏非欧几何的图像表示方法。
在这种表示方法下,罗氏几何可以得到完全的实现,不会产生任何矛盾,足以消除人们对罗氏几何的种种疑问。
作一个半径为1的单位圆。
用这个单位圆内部的圆面,代表整个罗氏几何的平面。
这个圆的任何一条弦,代表罗氏几何的直线。
这个圆的任何两条弦的交点,就是罗氏几何中两条直线的交点。
圆中三条两两相交的弦,中间围成的一个三角形,就是罗氏几何三角形。
下面说明,在这种图像表示法中,怎样求两个罗氏几何点之间的罗氏几何距离,怎样求两条罗氏几何直线之间的罗氏几何夹角。
以单位圆心为坐标原点,建立平面直角坐标系。
设、是(x,y)(x,y)O1122单位圆内两点的坐标,这两点对应的两个罗氏几何点之间的罗氏几何距离定义为
1,xx,yy1,1212cosh。
d*,22221,x,y1,x,y1122
1其中,是反双曲余弦函数。
本来,反双曲余弦有正负两个值,因coshx
为距离总是正的,所以这里的反双曲余弦函数只取正值,即有
12。
coshx,ln(x,x,1)
设、是单位圆的两条相交的弦的直线方ax,by,c,0ax,by,c,0111111
程,这两条弦代表的两条罗氏直线之间的罗氏几何夹角定义为
aa,bb,cc121212。
arccos,*,222222a,b,ca,b,c111222
其中,是反余弦函数。
当时,是一个锐角,当arccosxx,0arccosx
时,是一个钝角,锐角、钝角都可以看作是这两条直线的罗氏x,0arccosx
几何夹角。
当时,是一个直角,这时,这两条直线在罗氏几何x,0arccosx
中互相垂直。
下面,我们来看一下,在这样的图像表示方法和定义下,可以得到哪些结论。
r
(一)设在图像表示中是单位圆的圆心,是到圆心距离为O(0,0)P(r,0)
的一点。
按照定义,两点之间的罗氏几何距离为O,P
,1,0,r,0,011111,,,,cosh,coshr*,,ln,,12,,222222r1,1,0,01,r,01,rr1,,,
11,r1,r,1。
ln,ln,tanhr221,r1,r
反过来,图像表示中的距离,也可以用罗氏几何距离表示为rr*
x,xe,e(其中是双曲正切函数,)。
tanhx,r,tanhr*tanhxx,xe,e
例如,设是到圆心的罗氏几何距离为P,P,P,P,?
O1234
的点,在图像表示中,它们到点的距离为0.2,0.4,0.6,0.8,?
O
。
从上图可以看出,这些按照罗氏几何来tanh0.2,tanh0.4,tanh0.6,tanh0.8,?
说是等距的点,在图像表示中是不等距的,越接近于单位圆的P,P,P,P,?
1234
圆周,点与点之间的距离就越小,点的排列就越紧密。
(二)设、是单位圆周上的两点,弦表示一条罗氏PQP(x,y)Q(x,y)1122
几何直线。
按照定义,这条直线的罗氏几何长度,也就是两点之间的罗氏P,Q几何距离为
1,xx,yy1,1212cosh。
d*,22221,x,y1,x,y1122
22因为、是单位圆周上的点,有,P(x,y)Q(x,y)1,x,y,0112211
22,所以,之间的罗氏几何距离P,Q1,x,y,022
1,xx,yy1,1212cosh。
,d*,22221,x,y1,x,y1122
这说明:
在罗氏几何中,直线的长度都是无穷大。
这一结论,与欧氏几何是相同的。
(三)设是单位圆的一条弦,它表示一条罗氏几何中的直线,设是直PMN
线MN
外的一点。
从上图可以看出,过P点可以作无数条与不相交的弦,在罗氏几何MN
中,这些弦就是与不相交的直线。
由此可见:
在罗氏几何中,过直线外一MN
点,可以作无数条与这条直线不相交的直线。
这一结论,显然与欧氏几何中的“平行公设”不同。
(四)
设、是相交于单位圆心点、夹角为一个锐角的两条弦,PQMNO,设它们的方程为:
和:
。
在罗氏几何中,它们代表y,0PQy,xtan,MN
两条直线,按照定义,这两条直线之间的罗氏几何夹角为
0,tan,1,(,1),0,0,*,arccos2222220,1,0tan,,(,1),0
11。
arccos,arccos(),arccos(cos,),,2sec,tan,1,
可见:
交于单位圆心点的两条罗氏几何直线,它们的罗氏几何夹角,O
就等于它们在图像表示中的夹角。
(五)
设是通过单位圆心的弦,也就是单位圆的直径,是与PQMNOMN垂直的弦,设它们的方程为:
和:
。
在罗氏几何中,它y,0PQMNx,c
们代表两条直线,按照定义,这两条直线之间的罗氏几何夹角为
01100(),,,,,,c,*arccosarccos0。
,,,222222201010(),,,,,c
可见:
两条弦中如果有一条是直径,那么当它们在图像表示中互相垂直时,这两条弦代表的罗氏几何直线,在罗氏几何中也互相垂直。
(六)
如上图所示,设、、是单位圆的3条弦,它们的方程为:
PQMNSTMNy,0,PQ:
x,y,c()和:
。
在罗氏几何中,它们代0,c,1STx,0
表3条两两相交直线,围成了一个罗氏几何三角形。
下面,我们来求这AOB个罗氏几何三角形的内角和。
因为与是交于单位圆心的两条罗氏几何直线,它们在罗氏MNSTO
几何中的夹角,就是图像表示中与的夹角,所以,AOB*MNST,AOB
*。
,AOB,,AOB,2
与之间的罗氏几何夹角,也就是另外,按照定义,罗氏几何直线PQMN
为,ABO*
0,1,1,1,0,(,c)1,ABO*,arccos,arccos。
22222220,1,01,1,(,c)2,c罗氏几何直线与之间的罗氏几何夹角,也就是为PQST,OAB*
1,1,1,0,(,c),01,OAB*,arccos,arccos。
22222221,1,(,c)1,0,02,c
1122因为,,,所以0,c,12,c,2,,2222,c
12,**arccosarccos。
,ABO,,OAB,,,2242,c
所以,罗氏几何三角形的内角和AOB
,,。
,AOB*,,ABO*,,OAB*,,,,,244
由此可见,罗氏几何三角形的内角和小于。
这个结论,显然与欧氏几何,
完全不同。
(七)
设、是垂直于单位圆直径的两条弦,方程为:
和y,0MNSTMN
:
(),在罗氏几何中,它们是两条永不相交的平行直线。
设PQy,d0,d,1
P是上任意一点,从向作垂线,设垂足是点。
P(x,d)Q(x,0)STMN
因为是单位圆直径,所以,当图像中时,在罗氏几何中,PQ,MNPQMN
也与直线垂直。
MN
按照定义,到直线的罗氏几何垂直距离,即到的罗氏几PPQMN
何距离为
21,x,x,d,01,x11,,cosh,coshd*,2222221,x,d1,x,01,x,d
1d11,,,cosh。
tanh2d1,x21,()21,x
我们可以看到,这个垂直距离不是固定不变的。
当时,即在的PPx,00
1位置时,到的罗氏几何垂直距离最近,为;当时,PMNd*,tanhdx,0不管在的左方还是右方,到的罗氏几何垂直距离都会变大。
PPPMN0
由此可见,在罗氏几何中,不可能作出垂直距离处处相等的两条平行线。
这也是罗氏几何与欧氏几何的一个不同之处。
(八)
如上图所示,如果我们在一条罗氏几何直线上,取一系列在罗氏几何MN
中等距的点,然后过每一个点作的垂直线,在垂直线上取到的罗氏MNMN几何垂直距离等于一个定值的点,再把这些到垂直距离相等的点连接起MN
来。
从图中可以看出,这些连线并不连成一条直线,而是成为一条折线。
上述事实再一次说明:
在罗氏几何中,不可能作出垂直距离处处相等的两条
平行线。
好了,我觉得罗氏几何中最有意思的是越接近于单位圆的圆周,点与点之间的距离就越小,点的排列就越紧密,取其极限值,发现直线是无限长的(看起来是有限长的)。
这一点上便与我们的宇宙有联系了,现在流行的说法宇宙是有界无限的。
后来发现很多宇宙现象都与非欧几何有联系,欧式几何在其上的用处便受到了限制(尽管它的确很有用)。
关于有界无限的理解,一种是想宇宙大爆炸,一种是想宇宙黑洞化。
在我们黑洞视界边界内,我们永远落不到黑洞中心,因为越靠近中心,其对时空弯曲的程度越大,时间与空间变的越来越长,我们观察到的宇宙射线也就红移的越来越厉害了(这一种关于现在宇宙的解释其实还是很有道理的)。
所以有人称非欧几何为星空几何,它与星际空间的联系密切啊~(数学家托里努力斯证明了虚半径球面上成立的公式刚好是星空几何中所成立的)
相对论
(部分摘自文献,我们图书馆有《时空的大尺度效应》《薛定
谔的猫》)
相对论改变了世人对引力的概念(太厉害了,爱因斯坦还是位小提琴大师,有人笑谈相对论是在小提琴上拉出来的)。
爱因斯坦起初我是不大接受的。
我先给大家看两个资料:
1.水星的岁差是第一个证明广义相对论是正确的证据
2.1919年爱丁顿在非洲趁日蚀的时候量测星光因太阳的重力场所产生的偏折,和广义相对论所预测的一模一样。
我记得用爱因斯坦方程得出的光线弯曲程度是牛顿经典力学得出结果的2倍,经事实证明,爱因斯坦是对的。
广义相对论是爱因斯坦于1916年发表的用几何语言描述的引力理论,它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。
广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中,并在此基础上应用等效原理而建立的。
在广义相对论中,引力被描述为时空的一种几何属性(曲率);而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系,其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程(一个二阶非线性偏微分方程组,呵呵,这我们刚学完)。
从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同,尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题,例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。
广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论,它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。
不过,仍然有一些问题至今未能解决,典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来(当年老爱跟小波争执的差点打起来,更差点把小薛(薛定谔)气死),从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。
爱因斯坦的广义相对论理论在天体物理学中有着非常重要的应用:
它直接推导出某些大质量恒星会终结为一个黑洞——时空
中的某些区域发生极度的扭曲以至于连光都无法逸出。
有证据表明恒星质量黑洞以及超大质量黑洞是某些天体例如活动星系核和微类星体发射高强度辐射的直接成因。
光线在引力场中的偏折会形成引力透镜现象,这使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。
广义相对论还预言了引力波的存在,引力波已经被间接观测所证实,而直接观测则是当今世界像激光干涉引力波天文台这样的引力波观测计划的目标。
此外,广义相对论还是现代宇宙学膨胀宇宙模型的理论基础。
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- 关于 几何 黎曼积分 爱因斯坦 波尔