数值计算课后答案.docx
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数值计算课后答案
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习题四解答
1、设兀=0必=1,写出fM=e^的一次插值多项式厶(X),并估计插值误差。
解:
根据已知条件,有
X
0
1
y
1
e~l
设插值函数为厶(羽=小・+/儿由插值条件,建立线性方程组为
axO+b=\
<
axi+b=e^
解之得严亠1
b=\
则厶(X)=(€-1-1)X+1
因为y'M=-e-\y\x)=e-x
所以,插值余项为
心)=/(a)-p(x)=—^―/(n+1>(^)^(x)
G+1)!
二昇⑵(舸⑴
•⑵(§)(—如)(―和
=|e-4(x-O)(x-l)(§e(0,l))
所以
lr(x)l-|sk'1slx(x_1)l
1-o11°
=—xex—=-
248
2、给定函数表
X]
fW
选用合适的三次插值多项式来近似计算f和fo
解:
设三次插值多项式为/(X)=q+g+Cy2+y3,由插值条件,建立方程组为
a0+a}x(-0.1)+a2x(-0.1)2+a3x(-0.1)'=0.995
a0+a}x0.3+a,x0.32+a3x0.3'=0.995
a0+a}x0.7+a2x0.72+a3x0.7、=0.765
5+qx1・1+a?
x1・1,+$x1・1"=0.454
即
—O.k/j+0.0la2—0.00la3=0.995
0・4q+0.0&4+0.02&$=0
0.8«|+0.4802+0.344&3=1.76
0・4q+0.72a2+0.988©=-0.311
a0-O.k/j+0.0102一O.OOk^=0.995a0+0・3坷+0.09&2+0・027°3=0.995a0+0.7®+0・49。
2+0・343他=0.765a0+l.k/j+1.2la2+1.33la3=0.454
d()-0.k/j+0.0k/-,—0.00lu3=0.9950.4a.+0.0&你+0.02&“=0
=><'
0.32&2+0・288°3=1.76—0.3846=—3・831
解之得
a0=0.41
a}=—6.29
<
ch=—3.48
4=9.98
则所求的三次多项式为/(a)=0.41-6.29x-3.48x2+9.98x3。
所以
f(0.2)=0.41-6.29x0.2-3.48x0.22+9.98x0.23=-0.91
f(0.8)=0.41-6.29x0.8-3.48x0.0+9.98x0.83=-l.74
3、设召0=0,1,2,…丿)是n+1个互异节点,证明:
(1)乞€厶(尤)=•?
伙=0,1,2,.・.,“);
/-()
91
(2)工(旺一切第(x)=0伙=0丄2,…丿)o
/-<)
证明:
(1)由拉格朗日插值定理,以Xo,Xt,X2,・・・Xn为插值节点,对y=f(x)=xk作n次插值,插值多项式为
n
PnM=^liMyi,
r-0
而yi=Xjkr
所以几(x)==丸(x)£
/-0f-o
同时,插值余项
心=八P”⑴=缶f叫级⑴=為X)厂P)=°所以$>©)#=*
1-0
结论得证。
(2)取函数/(a)=(x-0\^=0,1,2,...,«
对此函数取节点兀0=0,1,2,…皿),则对应的插值多项式为
几(力=乞(兀一『九3,
/-()
由余项公式,得
心)=(x-t)k~X(xi一叽(x)=一f"%)兀(X)=―{x-t)kzg)=0所以
卷⑺+1)!
(”+1)!
彳
(x-r)"=工(旺-/)*/心)
—
令t二X,
£(兀-切“)=0
/-()
4、给定数据(f(X)=y[x)
f(X)
(1)试用线性插值计算f的近似值,并估计误差;
(2)试用二次Ne毗on插值多项式计算f的近似值,并估计误差。
解:
用线性插值计算f,取插值节点为和,则相应的线性插值多项式是
p(x)=1.48320+
1.54919-1.48320
2.4-2.2
(x—2.2)
=1.48320+0.32995(%-2.2)
用x二代入,得
/(2.3)«1.48320+0.32995x(2.3-2.2)=1.450205
(2)作差商表如下
X
f(x)
一阶差商
二阶差商
三阶差商
根据定理乙
f(x)=f(Xo)+f[xo,Xi](x-xo)+f[xo,Xi,X2](X-Xo)(x-xj+…
+f[x°,xH…,xn](x-x0)(x-xt)(x-xn-t)
+f[xo,Xi,…,xn,x]n(x)o
以表中的上方一斜行中的数为系数,得
f=+XXX
指出:
误差未讨论。
5、给定函数表
X0
1
24
5
y0
16
4688
0
试求各阶差商,并写出牛顿插值多项式和插值余项。
••…WORD格式••可编辑••专业资料解:
作差商表如下
X
f(x)
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
0
0
16
1
16
7
30
5
2
2
46
-3
7
~6
21
_25
4
88
109
3
-88
5
0
根据定理乙以表中的上方一斜行中的数为系数,得
57
/?
(x)=0+16x+7x(x一1)一一—l)(x-2)-—x(x一l)(x一2)(x—4)。
26
指出:
余项未讨论。
5*、给定函数表
X07234
y01646880
试求各阶差分,并求等距节点插值。
解:
由已知条件,显然9Xq—0,h—1,x二to
作差分如下
X
f(x)
一阶差分
二阶差分
三阶差分
四阶差分
0
0
16
1
16
14
30
-2
2
46
12
-140
42
-142
4
88
-130
-88
5
0
根据等距节点插值公式,
x(—140)
,八-r(r-l)…/(/一1)(/一2)小一1)(/一2)(—3)
p„(x0+th)=pn⑴=°+/X16+-?
|X14+X(-2)+
=16『+7/(『_1)_"/_以'_2)_竺『«_])(/_2)(/_3)
36
指出:
在本题这种情况下,实际上几⑴=几(£,也就是说,在这样的条件下,t的多项式就是X的多项式,可以直接转换。
一般情况下,把t的关系转换为x的关系需要根据x=x0+th,将t用x表示,即将/=二勺代入得到的多项式。
11
6、给定数据表
X
f(x)
试用三次牛顿差分插值公式计算f及fo解:
所给节点是等距结点:
x0=0.125,A=0.125,兀=xo+ihj=0丄2,3,4,5。
计算差分得
X
f(x)
一阶差分
二阶差分
三阶差分
四阶差分
五阶差分
0.125
0.79618
0.250
0.77334
0・375
0.74371
0.500
0.70413
0.625
0.65632
0.750
0.60228
令x=x()+th(t=^^),根据等距结点插值公式,得h
p„(x0+th)=/?
„⑴=0.79618+fx(-0.02284)+斗卫x(-0.00679)
2!
+f(—l)(「)x(_o.oo316)+山T)(:
2)(一3)%o00488+Wp—x00460)3!
4*!
5!
则
/(0.1581)«pn(0.1581)=(0.125+0.2648/z)=0.790294822,
/(0.636)«/?
„(0.6363)=^,(0.125+4.088/?
)=0.651804826°
7、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数,且
/(-I)=1J(0)=2,广(0)=0J(3)=1,广⑶=1
(1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x),使其满足
/X-l)=/(-I)=7P(O)=/(0)=2,//(0)=广(0)=0丿(3)=/(3)=1,//(3)=广⑶=1
(2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。
解:
(1)由7*可以求出满足
P(o)=f(0)=2,以0)=广(0)=0,P⑶=/⑶=1,//(3)=广(3)=1
的三次埃尔米特插值多项式
57
H(x)=—x3--x2+2o
273
52
设PW=H(x)+a(x-3)2x2=—x3--x2+2+a(x-3)2x2,则p(x)满足
273
p(0)=/(0)=2,/7\0)=广(0)=0,p⑶=/⑶=1,//(3)=广(3)=1,由_/(-1)=1得
521
—x(-l)3一一X(-1)2+2+4(一1一3)2(-1)2=1=>°=,
273108
所以
p(x)=H(x)+a(x-3)2x2
嗚宀討+2-岛
_L/+12x3+_2x2+2
108544
(2)余项具有如下结构r(x)=f(x)-p(x)=Z:
(x)(x+1)x2(x-3)2作辅助函数
处)=f(t)+l)r(/-3)2
则显然©(/)在点如-1,0,3处有6个零点(其中0,3是二重零点),即
(p(x)=0,*1)=0,似0)=0,0(0)=0,强3)=0,0(3)=0,
不妨假设"(-1,0)。
由罗尔定理,存在盘e(-l,x),爲e(x,0)屋丘(0,3),
使得0(為)=0,0©)=0,0©)=0,
再注意到0(0)=0,0(3)=0,即0(f)有5个互异的零点盘v冬v0<區v3
再次由罗尔定理得,存在〃点©,<,),帀2e(<2,0),弘e(0,歹3),%已©,3),
使得矿(〃])=0,矿(弘)=0,0"(“3)=0,矿(久)=0
第三次应用罗尔定理得,存在尙€(〃2,773)'纟3已(〃3,〃4)
使得矿=0,)=0,0气务)=0,
第四次应用罗尔定理得,存在“,冬),“2已(徐知
使得0⑷(“J=O,0⑷(“2)=0,
第五次应用罗尔定理得,存在r€(//,,//,)
使得0⑸(0=0
注意到
0⑸(t)=r(5)(t)-5lk(x)=f(5)(t)-5!
k(x)
(r(t)=f(t)-p(t)中p(t)是4次函数,其5次导数为0)。
所以
严(,)卄卄)》心譬,
代入余项表达式,有
r(x)=f(x)-p(x)=-(X+l)x2(x一3)2o
指出:
本题是非标准插值问题,比较简单的求解方法有:
1求插值问题的基本方法是待定系数法。
以本题来说,有5个条件,可以确定一个4次的插值多项式,设为)="。
+"$+勺疋+他疋+〃3疋,将条件代入,建立一个5元的
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线性方程组,求出各参数,就可以求出插值多项式。
2求插值问题的第二种方法是基函数法,即根据给定条件设定插值多项式的结构和各基函数的结构,根据条件确定基函数即可。
具体方法与拉格朗日插值基函数构造和埃尔米特插值基函数构造相似。
3以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法,本题中,首先利用4个条件构造一个埃尔米特插值,在此基础上设定所求插值多项式的一般形式,保证其满足埃尔米特插值条件,代入未利用条件解方程(组),求出其中的未知参数,即可求出插值多项式。
本题也可以先利用p(-l)=/(-I)=-1,/?
(0)=/(0)=2,p(3)=f⑶=1构造一个2次插值多项式丛),以此为基础构造4次插值多项式Z;4(a),久(x)的结构是
p4(x)=p2(x)+(ax+b){x+1)x(a:
-3),
满足
P(-D=/(-I)=一1,〃(0)=/(0)=2,卩⑶=/⑶=1
再根据//(0)=/,(0)=0,/7⑶=门3)=1列出两个线性方程组成的方程组,求出a、b两个参数,即可求出所求的插值多项式。
求插值函数余项Hx)的常用方法是:
r(x)=f(x)-/?
(a)应具有如下形式(以本题为例)
r(x)=f(x)-p(x)=k(x)(x+l)x2(x一3)2
作辅助函数
处)=/(0+l)r(r-3)2
则©⑴在点x,-l,0,3处有6个零点(其中0,3是二重零点)。
反复应用罗尔定理,直到至少有一个reM,4),使得©⑸(门=0。
此时即有
代入余项表达式即可求出。
7*、设f(x)在[-4.4]有连续的4阶导数,且
/(0)=2,r(0)=0,/(3)=l,r(3)=l
试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H(x),使其满足
p(0)=/(0)=2,p'(0)=f(0)=0,p(3)=/(3)=1,//(3)=f(3)=1。
解一(待定系数法):
解:
设f/(x)=a0+a{x+a2x2+a3x3,则
H'(x)=旳+2a2x+3a3x2,
由插值条件得
2=H(0)=q
0=H'(0)=绚
1=H(l)=av+ax+a2+a3
1=⑴=ax+2a2+3©
z25
解之得=2宀=0宀=_亍佝
52
所以H(x)=——x3——x2+2o
273
解二(基函数法):
解:
设H3(x)=f(x0)aQ(x)+/(%!
)«!
(x)+/a))A)(x)+ya)0](x),
3-x
3-
X-Xx
=[1一2(x_x(J1
如一為I心一丙丿
=[1_2(x-0)-L-]
(3—x
0-33
27-9x2+2x
27
同理
a©)=[l+2C—G]二
人)一坷I州一心
由⑤得
/70(x)=(x-x0)
PM=(X-Xx)
=X
X
x-x}
-2x3
27-
则
气7
H(x)=—x3--x2+2o
273
8、设/(x)=e'(0 解: 设此二次式为p(x)=a+bx+cx21 因为f(x)=e\f(x)=ex,所以,由已知条件p(0)=/(0)=1,//(0)=广(0)=1,/XI)=/(I)=e将其代入/心)=a+bx+cx~,〃'(x)=h+2cx,得 a=1 a+b+c=e a=1b=\ c=e-2 所以,要求的二次多项式为 p(x)=1+x+(e-2)x2o 因为0是2重零点,1是1重零点,因此可以设余项具有如下形式: r(x)=f(x)-p(x)=K(x)(x-0)2(x-1), 其中K(x)为待定函数。 固定x,作辅助函数 因为线性拉格朗日插值基函数为/o(x)=2d=二 Xq—X]0—3 由④得豚Tir)占也) 0(r)=e_K(m_O)2(r_i) 显然 0(0)=0,0(0)=0,0(x)=0,祕1)=0,不妨假设.2(0,1)。 由罗尔定理,存在^e(0,x),^2e(x,l), 使得0©)=0,0©)=0, 再注意到0(0)=0 再次由罗尔定理得,存在71W(0,知U(0,1),“2e©,§)U(0,1), 使得0"(〃])=0,矿(〃2)=0 再次应用罗尔定理,存在弘(〃“2)U(0,1) 使得 化)=0。 注意到 矿⑴f5)—3! K(x)=厂⑴—3! K(x) (r(0=/(0-p(0中P(t)是2次函数,其3次导数为0)。 所以 矿(§)=/"@)-3! K(x)=OnK(x): =^2, 代入余项表达式,有 r(x)=/(%)-p(x)=-(x-0)2(x-1)=£-x2(a: -1)o 指出: 石瑞民《数值计算》关于余项讨论很清楚。 9、给出sinx在[0,n]上的等距结点函数表,用线性插值计算sinx的近似值,使其 截断误差为卜吹,问该函数表的步长h取多少才能满足要求? 解: 设忑伙=0丄…)为等距结点,步长为h,贝ljxk^=xk+h 当xw[母,gj时,作f(x)的线性插值 厶(X)=/(忑)+丄二J/(仏)兀一母+1无+1—忑 则有 /m-厶(X)=丄y(%-xk)(x一忑+i), 由此易知 ]]"2 |/⑴一厶(切|兰5I嚟‘I厂(x)ll(x一母)(x—不+1)|M㊁Xt,xe[忑,%]]因此 血)一厶(切|斗 4—<丄xiojwh<0.02o 82 指出: 关于最大值的计算与12题相同。 10、求fM=x4在区间[a,b]上的分段埃尔米特插值,并估计误差。 ..…WORD格式••可编辑••专业资料 解: 由分段三次埃尔米特插值多项式 H3W=yj[f(xi)ai(x)+fXxi)/3i(x)] r-0 则=x4的分段埃尔米特插值为 比(x)=X[/UX(x)+广(兀)A(%)] r-0 =£[易匕(x)+4兀Z(x)] 其中 [1+2(A~A;)] 和一齐 兀-] [i+2Cv~A;)i兀+i一兀 0,其他 (x_xr) a;_j X—V 0(兀)=彳(兀一齐)-―—,Xy 0,其他 其余项估计式为 心<托噩『%)卜紆4匸什。 1K已知数据表 ■ 1 0 1 2 兀 10 /(兀) ") 求三次样条插值函数。 解: 这是第一类边界条件,要求解方程组 r210、 @0、 “2人 = g] 【012, &丿 <^2> 其中 h{)=-x0=7.5-2.5=5 h}=x2—x{=10-7.5=2.5 //.=———=—=0.66667 儿+%3 人=1—“I=0.33333 go=? 、 6 &/? ! +/? 2h2h} A(Az2o_>/)=O.564 h\\ 〉‘2_比”_儿)=_1.12002 ^=r<>2-2v2l)=L6()8h2力2 将以上数据代入方程组 "210、 % 仏、 “2人 M. = gl (012, <^2> 解之得 】血=0.807339
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