九年级概率初步.docx
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九年级概率初步
概率初步
1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于E,点D在AB上,DE⊥AE,⊙O是Rt△ADE的外接圆,且交AC于点G
(1)求证:
BC是⊙O的切线
(2)若AC+GC=5,求直径AD的值
知识梳理
1.概率的定义:
某种事件在某一条件下可能发生,也可能不发生,但可以知道它发生的可能性的大小,我们把刻划(描述)事件发生的可能性的大小的量叫做概率.
2、事件类型:
必然事件:
有些事情我们事先肯定它一定发生,这些事情称为必然事件.
不可能事件:
有些事情我们事先肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件.
不确定事件:
许多事情我们无法确定它会不会发生,这些事情称为不确定事件.
必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生,或事先能肯定它们不会发生的事件,因此它们也可以称为确定性事件.
不确定事件都是事先我们不能肯定它们会不会发生,我们把这类事件称为随机事件。
3、概率的计算
①概率的计算方式:
概率的计算有理论计算和实验计算两种方式,根据概率获得的方式不同,它的计算方法也不同.
②如何求具有上述特点的随机事件的概率呢?
如果一次试验中共有n种可能出现的结果,而且这些结果出现的可能性都相同,其中事件A包含的结果有m种,那么事件A发生的概率P(A)=
。
在求随机事件的概率时,我们常常利用列表法或树状图来求其中的m、n,从而得到事件A的概率.
由此我们可以得到:
不可能事件发生的概率为0;即P(不可能事件)=0;必然事件发生的概率为1;即P(必然事件)=1;
如果A为不确定事件;那么0
【例题精讲一】随机事件
例1、1、事件A:
射击运动员射击一次,刚好射中靶心;事件B:
连续掷两次硬币,都是正面朝上,则()
A、事件A和事件B都是必然事件;B、事件A是随机事件,事件B是不可能事件;
C、事件A是必然事件,事件B是随机事件;D、事件A和事件B都是随机事件;
2、一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球,这些球的大小、质地完全相同,随机从袋子中摸出4个球,则下列事件是必然事件的是()
A.摸出的4个球中至少有一个球是白球B.摸出的4个球中至少有一个球是红球
C.摸出的4个球中至少有两个球是红球D.摸出的4个球中至少有两个球是白球
3、不透明袋子中有2个红球、3个绿球,这些球除颜色外其它无差别.从袋子中随机取出1个球,则()
A.能够事先确定取出球的颜色B.取到红球的可能性更大
C.取到红球和取到绿球的可能性一样大D.取到绿球的可能性更大
【课堂练习】
1、下列说法中正确的是()
A、“任意画出一个等边三角形,它是轴对称图形”是随机事件
B、“任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件
C、“可能性为万分之一的时间”是不可能事件
D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上的一定是5次
2、袋子中装有4个黑球和2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出三个球,下列事件是必然事件的是()
A.摸出的三个球中至少有一个球是黑球B.摸出的三个球中至少有一个球是白球
C.摸出的三个球中至少有两个球是黑球D.摸出的三给球中至少有两个球是白球
3、有两个事件,事件A:
掷一次骰子,向上的一面是3;事件B:
篮球队员在罚球线上投篮一次,投中,则()
A.只有事件A是随机事件B.只有事件B是随机事件
C.事件A和B都是随机事件D.事件A和B都不是随机事件
【例题精讲二】概率的意义
例2、1、如图,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,则灯泡发光的概率是( )
A.
B.
C.
D.
(第1题图)
(第2题图)
2、如图,已知点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点,连接任意两点均可得到一条线段.在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为
的线段的概率为()
A.
B.
C.
D.
3、如图,在3×3的方格中,A、B、C、D、E、F分别位于格点上,从C、D、E、F四点中任取一点,与点A、B为顶点作三角形,则所作三角形为等腰三角形的概率是 。
(第3题图)
4、现有两枚质地均匀的正方体骰子,每枚骰子的六个面上都分别标有数字、
、
、
、
、
.同时投掷这两枚骰子,以朝上一面所标的数字为掷得的结果,那么所得结果之和为
的概率是。
5、从分别标有数﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的七张没有明显差别的卡片中,随机抽取一张,所抽卡片上的数的绝对值不小于2的概率是。
6、甲乙两布袋都装有红、白两种小球,两袋装球总数相同,两种小球仅颜色不同.甲袋中,红球个数是白球个数的2倍;乙袋中,红球个数是白球个数的3倍,将乙袋中的求全部倒入甲袋,随机从甲袋中摸一个球,摸出红球的概率是。
【课堂练习】
1、如图,随机地闭合开关S1,S2,S3,S4,S5中的三个,能够使灯泡L1,L2同时发光的概率是 。
(第1题图)
(第3题图)
2、从分别标有数-3,-2,-1,0,1,2,3的七张卡片中,随机抽取一张,所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 。
3、如图,四边形ABCD是菱形,E、F、G、H分别是各边的中点,随机地向菱形ABCD内掷一粒米,则米粒落到阴影区域内的概率是__________。
4、甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影,甲没有站在中间的概率为。
1、有9张卡片,分别写有1~9这九个数字,将它们背面朝上洗匀后,任意抽出一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的不等式组
有解的概率为________。
2、从-2,-1,0,1,2这5个树种,随机抽取一个数记为a,则使关于x的不等式组
有解,且使关于x的一元一次方程
的解为负数的概率为_________。
7、如图,△ABC是一块绿化带,将阴影部分修建为花圃,已知AB=15,AC=9,BC=12,阴影部分是△ABC的内切圆,一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上,则小鸟落在花圃上的概率为( )
(第7题图)
【例题精讲三】频率估计概率
例3、1、色盲是伴X染色体隐性先天遗传病,患者中男性远多于女性,从男性体检信息库中随机抽取体检表,统计结果如下表:
根据上表,估计在男性中,男性患色盲的概率为(结果精确到0.01)
2、4件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品.
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,求抽到的是不合格品的概率;
(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测,求抽到的都是合格品的概率;
(3)在这4件产品中加入
件合格品后,进行如下试验:
随机抽取1件进行检测,然后放回,多次重复这个试验.通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出
的值大约是多少?
3、事件A发生的概率为
,大量反复做这种试验,事件A平均每100次发生的次数是。
4、在课外实践活动中,甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率,其实验次数分别为10次、50次、100次,200次,其中实验相对科学的是。
【课堂练习】
1、用频率估计概率,可以发现,某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9,下列说法正确的是()
A.种植10棵幼树,结果一定是“有9棵幼树成活”
B.种植100棵幼树,结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活”
C.种植10n棵幼树,恰好有“n棵幼树不成活”
D.种植n棵幼树,当n越来越大时,种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9
2、王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀,让若干学生进行摸球实验,每次摸出一个球(有放回)下表是活动继续中的一组统计数据:
(1)补全上表中的有关数据,根据上表数据估计从袋中摸出一个是黑球的概率是。
(2)估算袋中白球的个数;
(3)在
(2)的条件下,若小强同学有放回地连续两次摸球,用画树形图或列表的方法计算两次都摸到白球的概率。
【例题精讲三】概率综合计算
1、
(1)甲、乙、丙、丁四人做传球游戏:
第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人,从第二次起,每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人.求第二次传球后球回到甲手里的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程)
(2)如果甲跟另外n(n≥2)个人做
(1)中同样的游戏,那么,第三次传球后球回到甲手里的概率是_________(请直接写出结果).
2、在四张编号为A,B,C,D的卡片(除编号外,其余完全相同)的正面分别写上如图所示正整数后,背面朝上,洗匀放好,现从中随机抽取一张(不放回),再从剩下的卡片中随机抽取一张.
(1)请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A,B,C,D表示);
(2)我们知道,满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c成为勾股数,求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率.
3、阅读材料,回答问题:
材料
题1:
经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性的大小相同,求三辆汽车经过这个十字路口时,至少要两辆车向左转的概率
题2:
有两把不同的锁和三把钥匙,其中两把钥匙分别能打开这两把锁(一把钥匙只能开一把锁),第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次打开锁的概率是多少?
我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1:
在口袋中放三个不同颜色的小球,红球表示直行,绿球表示向左转,黑球表示向右转,三辆汽车经过路口,相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球
问题:
(1)事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件?
(2)设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2,请简要说明你的方案
(3)请直接写出题2的结果
4、有6张看上去无差别的卡片,上面分别写着1、2、3、4、5、6;
(1)一次性随机抽取2张卡片,用列表或画树状图的方法求出“两张卡片上的数都是偶数”的概率
(2)随机摸取1张后,放回并混在一起,再随机抽取1张,直接写出“第二次取出的数字小于第一次取出的数字”的概率
【课堂练习】
1、一个批发商从某服装制造公司购进了50包型号为L的衬衫,由于包装工人疏忽,在包裹中混进了型号为M的衬衫,每包中混入的M号衬衫数见下表:
M号衬衫数
0
1
4
5
7
9
10
11
包数
7
3
10
15
5
4
3
3
(1)一位零售商从50包中任意选取了一包,求“包中混入M号衬衫数不超过7”的概率
(2)若这位零售商一次性任意选取两包,直接写出“这两包中混入M号衬衫数都是0”的概率
2、有两个可以自由转动的质地均匀转盘A、B都被分成了3个全等的扇形,在每一扇形内均标有不同的自然数,如图所示.转动转盘A、B,两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上,当作指向下方的扇形).
(1)小明同学转动转盘A,小华同学转动转盘B,他们都转了30次,结果如下:
指针停靠的扇形内的数字
1
2
3
4
5
6
出现的次数
x
18
6
5
10
15
(i)求出表中x的值.
(ii)计算A盘中“指针停靠的扇形内的数字为2”的频率;
(2)小明转动A盘一次,指针停靠的扇形内的数字作为十位数字,小华转动B盘一次,指针停靠的扇形内的数字作为个位数字,用列表或画树状图的方法求出“所得的两位数为5的倍数”(记为事件A)的概率.
3、小红参加一次竞技活动,活动包括笔试和面试两个环节,都是以抽签答题的方式进行,笔试从A,B,C和D等四种类型的题目随机抽答一题,面试从E,F和G三种类型的题目随机抽答一题.
(1)用列表法或画树形图法求出参加一次活动可能抽答的所有结果;;
(2)小红对A和F两种类型题目很熟练,求“小红刚好抽答A和F两种类型的题目”的概率.
4、如图,转盘A的三个扇形面积相等,分别标有数字1,2,3,转盘B的四个扇形面积相等,分别有数字1,2,3,4.转动A、B转盘各一次,当转盘停止转动时,将指针所落扇形中的两个数字相乘(当指针落在四个扇形的交线上时,重新转动转盘).
(1)用树状图或列表法列出所有可能出现的结果;
(2)求两个数字的积为奇数的概率.
1、下列说法正确的是()
A.“打开电视,正在播放新闻节目”是必然事件
B.“抛一枚硬币,正面朝上的概率为
”表示每抛两次就有一次正面朝上
C.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是6的概率为
”表示随着抛掷次数的增加“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在
附近
D.为了解某种节能灯的使用寿命,选择全面调查
2、有6张卡片,每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数,从中任意抽出一张卡片,卡片上的数是3的倍数的概率是________。
3、现有两枚质地均匀的正方体骰子,每枚骰子的六个面上都分别标有数字、
、
、
、
、
.同时投掷这两枚骰子,以朝上一面所标的数字为掷得的结果,那么所得结果之和为
的概率是________。
4、从分别标有数﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的七张没有明显差别的卡片中,随机抽取一张,所抽卡片上的数的绝对值不小于2的概率是________。
5、一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4随机摸出一个小球,不放回,再随机摸出一个小球,两次摸出的小球标号的积小于4的概率是________。
6、个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.
(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球互为摸到白球的可能性是否相同?
(在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”)
(2)从袋中随机摸出1个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该实验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25,则n的值是;
(3)在一个摸球游戏中,所有可能出现的结果如下:
根据树状图呈现的结果,求两次摸出的球颜色不同的概率.
7、A、B、C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:
第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的接球者将球随机地传给其他两人中的某一人.
(1)求两次传球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次传球后,球恰在A手中的概率.
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