波利亚怎样解题实例分析.docx
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波利亚怎样解题实例分析.docx
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波利亚怎样解题实例分析
怎样解题
一、熟悉问题
1、未知就是什么?
2、已知就是什么?
3、您能复述它不?
二、寻找解题方法
1、以前做过类似得题不?
可以仿照以前得解题过程写出此题不?
2、与未知已知相关得定理、公式、法则、概念都有什么?
这道题就是相关得定理、公式、法则、概念得直接应用不?
3、您能对条件按所属类型重新分组与组合不?
4、您能利用已知与所属得定理、公式、法则、概念向未知转化不?
5、根据与未知相关得定理、公式、法则、概念,您能发现得到未知得方法不?
有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念不?
若不能解题,可考虑:
1、已知条件都用上了不?
2、能不能得到一个比较特殊得情况?
三、书写过程
1、您能按步骤写出您得分析过程不?
2、您所写得步骤都正确不?
四、总结与回顾
1、以前做过同类型得题不?
它与同类型得其它题有什么异同?
2、以前没有解过同类型得题,这种类型得题有什么特点呢?
3、解题过程能简化不?
例1、
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC
求证:
∠B=∠C
分析:
问题1、未知就是什么?
您能复述它不?
答:
∠B=∠C
问题2、已知就是什么?
您能复述它不?
答:
在三角形ABC中,AB=AC
问题3、以前做过类似得题不?
答:
似乎没有。
问题4、与已知相关得定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
似乎没有。
不能直接用定理解出此题。
问题5、您能对条件按所属类型重新分组与组合不?
答:
此题条件只有一个,似乎不能直接重新分组。
问题6、您能利用已知与所属得定理、公式、法则、概念向未知转化不?
答:
似乎不能、
问题7、根据与未知相关得定理、公式、法则、概念,您能发现得到未知得方法不?
有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念不?
答:
1、未知就是求∠B=∠C,在以前学过得定理中有根据平行线证角相等、利用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。
由于这些都没有出现,就是不就是能引入辅助元素?
观察∠B、∠C所处得位置,平行线、角平分线都不合适、角得度数没有出现,考虑运用全等三角形来解此题、但此题中∠B、∠C处在同一个三角形中,需要将此两角放入到两个不同得三角形中,需引入一条线将此三角形分成两个三角形,并将∠B、∠C分别处于两个三角形中,可在A点引下一条线与BC相交。
2、新问题出现了:
如何证明⊿ABD≌⊿ACD?
答:
已知中含有AB=AC,从图中可得AD=AD,尚缺少一个条件。
3、新问题:
加入什么条件就可以了?
答:
∠BAD=∠CAD,可利用角边角进行判定。
或BD=CD,可利用边边边进行判定。
或AD⊥BC,可利用直角三角形得全等得判定进行判定。
4、新问题:
如何实现?
答:
在做线得时候可以利用做图做出其中得某一个条件。
如做角A得角平分线,或做BC边上得中线,或做BC得垂线。
到此,此题可解、
问题8、如何书写过程?
答:
先写线得做法,然后写全等证明,最后得到未知求证、
问题9、解题过程能简化不?
答:
尚无更简化方法、
问题10、以前没有解过同类型得题,这种类型得题有什么特点呢?
答:
此题条件少,没有直接出现三角形,需要构造出三角形求解。
可得到一个结论:
利用三角形全等证明一个图形中得两角相等进可行得。
要求就是要将此两角放到两个三角形中,然后找全等得条件。
例2、求二次函数y=-3x2—6x+5得图象得顶点坐标。
问题1、未知就是什么?
您能复述它不?
答:
二次函数图象得顶点坐标。
问题2、已知就是什么?
您能复述它不?
答:
二次函数解析式y=—3x2-6x+5
问题3、以前做过类似得题不?
答:
做过。
问题4、与已知相关得定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
能直接运用公式(-,)求解、
问题5、以前没有解过同类型得题,这种类型得题有什么特点呢?
答:
此类题型主要考查对二次函数得顶点坐标得掌握情况,以及准确得计算能力。
例3、已知:
如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC中点,求AD取值范围、
问题1、未知就是什么?
您能复述它不?
答:
求AD得取值范围、
问题2、已知就是什么?
您能复述它不?
答:
在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC中点
问题3、以前做过类似得题不?
答:
没有。
问题4、与已知相关得定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
我知道三角形三边关系:
三角形两边与大于第三边,两边差小于第三边、
问题5、您能对条件按所属类型重新分组与组合不?
答:
条件中两条边得边长分别就是AB、AC,所属三角形为△ABC,而所求AD边长所属就是△ACD或△ADC。
问题6、您能利用已知与所属得定理、公式、法则、概念向未知转化不?
答:
已知中得边长为AB、AC,要想使用三角形三边关系,需将AB、AC与AD边联合到一个三角形中。
考虑:
需移动AB或AC并到AC或AB与AD或包含AD得线段构成一角三角形。
移动得方法考虑使用全等三角形得方法、延长AD至E,使AD=AE,则可出现△ACD≌△EBD,可得AC=BE,则2<AE<8,可得1〈AD〈4。
问题7、以前没有解过同类型得题,这种类型得题有什么特点呢?
答:
1、有三角形得中线,可构造全等三角形。
2、当条件分散时,可向定理集中。
例4、已知:
如图,△ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,ED∥BC,求证:
DE=BE+CD
问题1、未知就是什么?
您能复述它不?
答:
线段DE得长等于EF与FD得与。
问题2、已知就是什么?
您能复述它不?
答:
角平分线BF与CF,平行线DE平行于BC。
问题3、以前做过类似得题不?
答:
没有。
问题4、与已知相关得定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
角分线定理,平行线性质、
问题5、您能对条件按所属类型重新分组与组合不?
答:
从图中可得,此题角平分线与平行线有重合部分。
问题6、您能利用已知与所属得定理、公式、法则、概念向未知转化不?
答:
根据角平分线性质,可得∠CBF=∠EBF,根据平行线性质可得∠CBF=∠EFB,进而可得∠EFB=∠CBF,可以得到等腰三角形EBF,可得BE=EF。
根椐对称原则可得CD=FD。
进而此题可解。
问题7、以前没有解过同类型得题,这种类型得题有什么特点呢?
答:
1、有角平分线与平行线,可得等腰三角形。
2、求证线段与可以用分段相等得形式得到结论、
例6、已知x = 1就是一元二次方程x+mx+n=0得一个根,则m+2mn+n得值。
问题1、未知就是什么?
您能复述它不?
答:
代数式m+2mn+n得值。
问题2、已知就是什么?
您能复述它不?
答:
x = 1就是一元二次方程x+mx+n=0得一个根。
问题3、以前做过类似得题不?
答:
没有、
问题4、与已知相关得定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
不能直接运用公式求解、
问题5、您能对条件按所属类型重新分组与组合不?
答:
不能。
问题6、您能利用已知与所属得定理、公式、法则、概念向未知转化不?
答:
根据方程根得含义可知1+1×m+n=0,进而可得m+n=0、
问题7、根据与未知相关得定理、公式、法则、概念,您能发现得到未知得方法不?
有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念不?
答:
根据因式分解得公式可将未知变形为m+2mn+n=(m+n),即若知m+n得值可得未知、到此,此题可解。
例7、如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,M、N、P分别就是AD,BC得中点,∠BDC=700,cos∠ABD= ,求∠NMP得度数、
问题1、未知就是什么?
您能复述它不?
答:
求∠NMP得度数。
问题2、已知就是什么?
您能复述它不?
答:
AB=CD,M、N、P分别就是AD,BC得中点,∠BDC=700,cos∠ABD=。
问题3、以前做过类似得题不?
答:
没有。
问题4、与已知相关得定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
相关得定理有中点现得中位线,由三角函数可求出相应得角得值;不能直接运用公式求解。
问题5、您能对条件按所属类型重新分组与组合不?
答:
1、由中位线定理可知,AB=2MP;cos∠ABD=可知∠ABD=300;进而可得∠MPD=300;
2、由中位线定理可知DC=2NP;由∠BDC=700,可知∠BPN=700;进而可得∠NPD=1100;进而可得∠MPN=1400;
3、由中位线定理与已知AB=CD可知MP=NP;进而可知MP=NP;进而可得∠PMN=∠PNM、
综合以上因素,可得∠NMP=∠MNP=200。
到此,此题可解。
问题5、以前没有解过同类型得题,这种类型得题有什么特点呢?
答:
1、利用一切机会将已知重新分组与组合,可得新得结论,将新结论与其它已知相结合可得更新得结论,可能能到达终点。
2、有中位线,可寻找相等得线段。
例8、如图所示:
已知∠xOy=900,点A,B分别在射线Ox,Oy上移动,∠OAB得内角平分线与∠OBA得外角平分线交于C,求∠ACB得度数。
问题1、未知就是什么?
您能复述它不?
答:
求∠ACB得度数
问题2、已知就是什么?
您能复述它不?
答:
∠xOy=900,点A,B分别在射线Ox,Oy上移动,∠OAB得内角平分线与∠OBA得外角平分线交于C
问题3、以前做过类似得题不?
答:
似乎没有。
问题4、与已知相关得定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
三角形内角与定理,三角形外角定理,角平分线定理。
不能直接用定理解出此题。
问题5、您能对条件按所属类型重新分组与组合不?
答:
∠ABO得外角得度数与∠BAO就是有关联得,但这中间似乎很乱。
清理一下:
∠ABO得外角∠ABE在度数上等于(900+∠OAB),则外角得一半∠EDB应等于(900+∠OAB),而∠ABO应等于(900-∠OAB),则∠ABC应等于二者之与:
∠ABC=(900+∠OAB)+(900—∠OAB)=(1350—∠OAB)、
问题6、您能利用已知与所属得定理、公式、法则、概念向未知转化不?
问题7、根据与未知相关得定理、公式、法则、概念,您能发现得到未知得方法不?
有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念不?
答:
1、未知就是求∠ACB得度数,利用三角形内角与定理,将未知转化成求式子1800—∠CBA—∠BAC得度数。
2、根据以上所得,则有∠ACB=1800-∠CBA-∠BAC=1800—(1350-∠OAB)—∠OAB=450。
原题得解。
即无论A、B如何运动,只要角平线不改,∠ACB永远等于450、
问题8、以前没有解过同类型得题,这种类型得题有什么特点呢?
答:
例9、如图,△ABC为正三角形,BD就是中线,延长BC至E,使CE=CD。
求证:
DB=DE、
问题1、未知就是什么?
您能复述它不?
答:
求证:
DB=DE。
问题2、已知就是什么?
您能复述它不?
答:
△ABC为正三角形,BD就是中线,CE=CD。
问题3、以前做过类似得题不?
问题4、与已知相关得定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
等腰三角形性质与判定、不能直接用定理证明。
问题5、您能对条件按所属类型重新分组与组合不?
答:
根据已知中△ABC为正三角形,BD就是中线可得∠DBC=∠ABC=∠ACB、。
问题6、您能利用已知与所属得定理、公式、法则、概念向未知转化不?
答:
根据已知中CE=CD,可得∠CED=∠CDE、
问题7、根据与未知相关得定理、公式、法则、概念,您能发现得到未知得方法不?
有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念不?
答:
1、未知就是求证DB=DE,如何能出现?
答:
在以前学过得定理中等腰三角形得判断,只要∠DBC=∠CDE即可;
2、新问题:
与此相关联得角有那些?
答:
与∠DBC相关联得角就是∠ACB,而∠ACB又就是△DCE得外角,这似乎可行;
3、有新进展不?
答:
由三角形外角定理可得∠CED=∠ACB,进而可得∠DBC=∠CDE。
原题得证。
问题8、如何书写过程?
问题9、解题过程能简化不?
答:
尚无更简化方法。
问题10、以前没有解过同类型得题,这种类型得题有什么特点呢?
答:
1、证同一三角形中得边相等时,可考虑等腰三角形得判定。
2、在同一三角形中有等边就有等角。
例10、AD就是△ABC得角平分线,DE,DF分别就是△ABD与△ACD得高,求证:
AD垂直平分EF。
问题1、未知就是什么?
您能复述它不?
答:
AD垂直平分EF
问题2、已知就是什么?
您能复述它不?
答:
ADﻩ就是△ABC得角平分线,DE,DF分别就是△ABD与△ACD得高
问题3、以前做过类似得题不?
答:
做过。
解过有关角平分线性质与线段垂直平分线性质得证明。
问题4、与已知相关得定理有什么?
能不能直接用公式?
答:
角平分线定理、垂直平分线定理。
不能直接用定理解出此题。
问题5、您能对条件按所属类型重新分组与组合不?
答:
ADﻩ就是△ABC得角平分线,DE,DF分别就是△ABD与△ACD得高,联与可得DE=DF。
问题6、您能利用已知与所属得定理、公式、法则、概念向未知转化不?
答:
似乎不能。
问题7、根据与未知相关得定理、公式、法则、概念,您能发现得到未知得方法不?
有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念不?
答:
未知就是求AD垂直平分EF,在以前学过得定理中有垂直平分线定理得逆定理,只要能证明DE=DF即可、
原题得证、
例11、父亲死后留下1600克朗给三个儿子,遗嘱上说,老大应比老二多分200克朗,老二比老三多分100克朗,问她们各分了多少?
问题1、未知就是什么?
您能复述它不?
答:
求兄弟三人各分多少钱、
问题2、已知就是什么?
您能复述它不?
答:
共有1600克朗,老大比老二多分200克朗,老二比老三多分100克朗。
问题3、您能表示出所有得量不?
答:
可设小儿子得x克朗,则有以下量出现:
小儿子:
x克朗
二儿子:
(x+100)克朗
大儿子:
[(x+100)+200]克朗
总钱数:
1600克朗
问题4、您能用不同得式子表示出同一个量不?
答:
1、小儿子钱数+二儿子钱数+大儿子钱数=总钱数
2、小儿子钱数+二儿子钱数=总钱数-大儿子钱数
3、小儿子钱数=总钱数-大儿子钱数-大儿子钱数—二儿子钱数
4、3×小儿子钱数=总钱数-100-(100+200)
5、3×大儿子钱数=总钱数+100+(100+200)
原题得解、
问题5、从中可以借鉴那些经验?
答:
分量与等于总量。
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