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双曲线性质
双曲线性质
双曲线的性质112.6双曲线的性质
(1)2015.12高二数学一、学习目标:
1、会画双曲线的图;2、会通过双曲线的图来研究双曲线的性质;3、理解双曲线的性质来解决实际问题。
二、知识一览x2y2222设双曲线的标准方程为221(a0,b0,abc),则:
ab1、对称性:
坐标轴为双曲线的___________,原点是双曲线的_________,双曲线的_________叫做双曲线的中心。
2、顶点:
双曲线与对称轴的交点,成为双曲线的顶点,即为A1a,0,A2a,0,则成线段A1A2为双曲线的实轴,它的长等于___________,a叫做双曲线的________。
设B10,b,B20,b,线段B1B2称为双曲线的虚轴,它的长等于________,b叫做双曲线的_________。
3、范围:
双曲线在不等式__________与__________所表示的区域内。
4、渐近线:
把两条直线________________________________叫做双曲线x2y22221(a0,b0,abc)的渐近线。
22ab5、等轴双曲线:
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,方程为x2y2a2。
三、自学自研x2y21的顶点坐标是_______________,焦点坐标是1、双曲线25144____________,实半轴长为____________,虚轴长_____________,渐近线方程____________________。
2、过点(1,-1)且与双曲线x2y4有公共渐近线的双曲线方程是_______________________。
221x2y221的渐近线方程为yx,3、若双曲线则b等于___________。
24b四、双曲线几何性质双曲线的几何性质一、教学目标
(一)知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计双曲线的形状特征.
(二)能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能力.(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题.二、教材分析1.重点:
双曲线的几何性质及初步运用.(解决办法:
引导学生类比椭圆的几何性质得出,至于渐近线引导学生证明.)2.难点:
双曲线的渐近线方程的导出和论证.(解决办法:
先引导学生观察以原点为中心,2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线,再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线.)3.疑点:
双曲线的渐近线的证明.(解决办法:
通过详细讲解.)三、教学过程
(一)类比联想得出性质(性质1~3)椭圆:
范围、对称性、顶点、离心率
(二)问题之中导出渐近线(性质4)第1页共7页双曲线及其几何性质双曲线及其几何性质0浙江宁波市第三中学郑怡浙江宁波市鄞州区教师进修学校吴甬翔重点:
双曲线的定义、标准方程,双曲线的几何性质(如:
离心率、渐近线等).难点:
双曲线的渐近线与双曲线图形的关系。
直线与双曲线的位置关系等相关的综合问题.1.求双曲线标准方程的方法(两条对称轴,两条渐近线).两形(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形,双曲线上一点和两焦点构成为0,当二次项系数等于0时,方程为关于(或Y)的一元一次方程,有且(1)定义法:
①根据题设条件判断曲线是否满足双曲线的定义:
②直接求出口,b,c;③写出方程.(2)待定系数法:
①确定焦点的仅有一个解.直线与双曲线相交于一个交点,此时直线平行于双曲线的一的三角形)研究它们之间的相互关系3.双曲线的离心率(1)求双曲线离心率的常见方法:
一条渐近线.当二次项系数不为0时,考虑该一元二次方程的判别式△,有如位置;②设出待求方程;③确定相关系数;④写出方程.。
种是依据条件求出n,b,c,再计算口下结论:
△>O直线与双曲线相交于两个点:
A-0 ̄:
 ̄直线与双曲线相交于一个点:
△<O铮直线与双曲线无交点.(2)涉及求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题,常用的方程设法有:
+①若不能明确焦点的位置,可设双曲线的方程为懈+,矿=1(mn<O);②与双曲线..e=;另一种是建立关于参数n,b,c2一一工’y-=l有共同渐近线的双曲线方..的等式,进而转化为关于离心率e的方程。
最后求出e的值.(2)求离心率的范围时,常结合旷O‘2.上程可设为一=A(A≠0);③若已矿6‘条件建立关于参数n,b,c的不等式,进而转化为关于离心率e的不等式.最后解不等式得之.4.直线与双曲线的综合问题常用点差法求解,即通过设而不求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来.例..知渐近线的方程为mx+ny=0,则双曲线方程可设为m:
x2一nA(A≠0).2.双曲线的几何性质2.2(1)直线与双曲线位置关系的判定:
通常联立方程组,消去一个变量后转化为关于变量(或Y)的一元二次方程.首先考虑二次项系数是否如,若双曲线的方程为一去=1,点口‘扫。
A(xz,y),B(:
,Y2),AB的中点为M(xo,l2双曲线的几何性质实质上是围绕双曲线中的六点(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点),四线Yo),则A庐・.221.双曲线的定义和标准方程例1(1)(2014年高考全国卷)已知双曲线C的离心率为2,焦点詈,则双曲线的离心率的取值范围题中直线与双曲线只有一个公共点是变量的关系等式.值得注意的是,本的情况是相切而非与渐近线平行,思索因为焦点在轴上,所以因此要对消元后的一元二次方程的二次项系数的范围进行限定.为,,在Ct-.若II=21FetI,则c0sA嘲等于(A.B.)渐近线与轴的夹角的正切值为tan=,再利用c ̄=a2+b转化为。
,c确解(1)因为双曲线E的渐近L线分别为y=2x,Jy一2x,所以=2,即、/23之间的关系求解.破解由题意可得ta删=,故:
c.4T、1J.一2.故。
:
、/了口.从而双曲a(2)(2014年高考北京卷)设双’2-曲线C经过点(2,2),且与y一X2=14.1<<、/了,所以e=a0=\V/1+la-∈线E的离心率e:
=、/了.口J具有相同渐近线.则C的方程为——(、/,2).3.直线与双曲线的位置关系思索;渐近线方程为——.(1)涉及双曲线焦点三角形问题。
只要利用定义结合余弦倒3(2014年高考福建卷)已知双曲线E:
一o一八圈2定理求解即可;(2)利用与已知双曲,1(。
>0,6>0)线有共同渐近线设出C的方程.即y-一4=A(A≠0)来求解,可避免讨论焦点的位置.的两条渐近线分别为fl:
y=2x,12:
y=-2x.(1)求双曲线E的离心率.(2)如图l,0为坐标原点,动直线Z分别交直线Z。
,f2于A,曰两点(A,分别在第一、四象限)。
且/xOAB的面积恒为8.试探究:
是否存在总与(2)解法l:
由(1)知,双曲线E的方程为2一破解(1)因为双曲线G的离心Ⅱ率为2,所以e:
=2。
即c=2又点A4a2=1・设直线z与轴相在双曲线上,则lI—lF ̄Il=2a,又II=2IF ̄II,所以IFAI=4a,lFetI=2a,1列=2c,则畦蜡滋定理得co8厶4F2lF乱2+4c2_l64c ̄12a2c2_3直线z有且只有一个公共点的双曲线E?
若存在,求出双曲线E的方程;若不存在。
说明理由.交于点c.当Z上砖由时,若直线Z与双曲线脯且只有一个公共点,则locl=a,lABI一缸又因为AOAB ̄J面积为8,所以loci・IABI=8.咽此÷口・4a=8,解得0=2,此时双曲线E的方程为一:
1.4164a ̄3a2={.故选A.2=1具有相同渐近线A(A≠0).因4(2)与的双曲线方程为为双曲线过点(2,2),所以A=÷一22=4—Q/图1若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为X2一16=1.vT,T-i ̄-明:
当直线Z不与轴垂直时,双曲线E:
兰一:
1也满足条件.’4163,即双曲线方程为4=一3,化简思索(1)由渐近线方程可得到口,b,c的关系进而求出离心率.(2)解设直线Z的方程为,,=+m,依题得詈一毛=l,渐近线方程为y=±2.双曲线的几何性质法1先尝试特殊位置。
再进行一般情况的证明.体现了由特殊到一般的意,得>2或|j}<一2,则G(一詈,0).记。
例2已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在轴上,它的一条渐近线与砖由的夹角为.且4<<思想。
这也是我们处理不熟悉问题的常见思路:
解法2巧设直线方程,避免了对特殊情况的讨论:
解法3变换三角形面积的算法,最终殊途同归,都由韦达定理得到所设直线中’y2)-由{锄=;同理衙面2m由庐吉IDcI..y1.2m2mI:
=8’,重点突破Iy=kx+m,2t+即m414一kI=4(2-4)・由1Ax一:
l4162tl=8.所以l1_4mI=I,+f,1一_IOBJ・sin/AOB=8.又易知sinAAOB=4了,所以咏.4-k:
8,化得(4-k)。
一2kmx—m2_16=0.因为4一<0,所 ̄,XA--4kZm。
+4(4一k)(m+16)=一4(1—4m).由{,得(4m。
一la-q’41)yZ+8mty+4(t2-a2)=0.因为4m2-1<简得_4所以=4, ̄m/=4(k2-16(4kZ-m2-16).又因为m ̄-_.4(k2-4),4).由(1)得双曲线E的方程为X-一,所 ̄XA=0,即Z与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与Z有且只有一个公共点的双曲线E.且E的方程为一:
li416、0,直线Z与双曲线层有且只有一个公共点当且仅当△m2_16(4m2_1)(2_a2)=0,即4mZa2+f一a2=0,即4,n+『y=kx+m,4(1—4m)一=0,即(1—4m)(一4)=0,所以4.因此,存在总与Z有且只专_l,又曲{旷丢q(4一2kmx—m2—4a2:
0.因为4一k<0.直线Z解法2:
由(1)知,双曲线E的方有一个公共点的双曲线E.且的方程为一:
1.416与双曲线E有且只有一个公共点.当且仅当A_-4k2m+4(4一k)(m+4az)=0,即(2_4)(。
2_4)=O.所 ̄,Xa2=4,所以双曲线E的方程为一:
1.4l6程为一二:
1.设直线z。
。
的方程为。
’。
x=my+t,A(1,Y1),B(2,y2).依题意解法3:
33直_线f不与拼由垂直时.设直线Z的方程为y=kx+m,A(xl,y1),B(x2,Y2).依题意可得k>2或<一2.由得一<2m<.2由{Ixy=m2xy州’得…),:
2t当z上轴时.由△OAB的面积等于8可得Z:
:
2.又易知Z:
x=2与双曲4l6;同理得),=-2t.设盖线z与{一:
1有且只有一个公共点.得(4-k2mx_o.线E:
・又轴相交于点C,则C(t,0).由SAOAB=NN42<0’△>0,所以X ̄X2=综上所述,存在总与f有且只有一个公共点的双曲线E.且E的方程OCI・ly一Y2I=8,得II・因为△0A曰的面积为8,所以÷IOAI・为一:
1.1.设双曲线一=1(0)的渐近线方程为3x+..2y-O,则。
的值为(A.4B.3C.24.设,是双曲线c:
吾一吾=1(a>O,b>0)的两个焦点,P是C上一参考答案1.C2.A3.A)D.12.已知AABP的顶点A,B分别为双曲线G:
一=1的左、右焦点,169’’’点.若II+lPI=6a,且APF1F2的最小内角为30。
,则C的离心率为4.、/了5.(1)因为e=2,所以C=2a,b2:
czaZ=3a ̄,双曲线的方程为一0=.3a-顶点腋双曲线c上,则上的值等于(A.一^L5.已知双曲线一=1(6>n>0),0为坐标原点,离心率e=2,点1,即3乏_3因为点(x/5,、/3)在双曲线上,所以15—3=3a2所以n所以所求双曲线的方程为一:
1.(2)设直线DP的方程为Y=kx—)。
4、/7(、/了,、/了)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)若直线Z与双曲线交于P,Q两D.一54123-—k2‘(≠0),联立4一12l,得,C.4‘D.、/712k’y3.已知双曲线的两个焦点为点,且-0,求+赤所邮的值.Pl,loQ的(一、/10,0),(、/lO,0),是此双曲线上的一点,且满足窳.窳:
0,I窳I・I窳l=2,则该双曲线的方程是(A.方程为一},有l。
QI—12(1+1):
)一19B.:
19一3k21,所以IOPI+O’zQllz:
2+1目翻C.Ax一:
1D.:
l3-k2+3k21图312(k2+1)12@%1)24双曲线基本性质2的距离之差的绝对值等于定F2F1F2或射线F2F1;PF轨迹1PF22a时,l叫做双曲线的准线。
=2a,虚轴长2b,1F2A2F1caa2A1K2A2K1acb2a2,F1K2F2K1ccccyP222cAFb121122ab==2ePM1PM2A1K1A2K2aabx2y2yx0aa2b2②若渐近线方程为ybxyx0aabx2y2双曲线可设为22此时只要再ab有一个条件就可以确定的值。
2b2焦点到渐近线的距离:
虚半轴长b,通径长EF=,ab2b2焦准距F1K1F2K2,焦参数:
cax2y2x2y2③若已知某双曲线与221有公共渐近线,则可设此双曲线为22,此时再有一个条件abab就可求出值进而求出双曲线(>0焦点在x轴;<0焦点在y轴)。
④特别地当a=b时e2两渐近线互相垂直,分别为y=±x,此时双曲线为等轴双曲线,可设为x2y2;y五、双曲线的准线bbx,yxaaa2a2⑤准线:
l1:
x,l2:
xccx2y2x2y221⑥与双曲线221共焦点的双曲线可设其方程是:
2abakbk2.2.2双曲线的几何性质2.2.2双曲线的简单几何性质一、学习目标:
(1)通过对双曲线标准方程的讨论,掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质。
(2)了解双曲线中心、实轴、虚轴、渐近线等概念,以及它们的关系及其几何意义。
二、学习重点、难点:
学习重点:
双曲线的简单几何性质。
学习难点:
双曲线的离心率和渐近线。
三、学习方法:
自主探究合作交流四、学习思路:
通过类比椭圆的几何性质,然后利用双曲线的图象探究它的几何性质,再利用几何性质解决实际问题。
五、知识链接:
复习1:
双曲线的定义和标准方程是什么?
x2y2复习2:
椭圆有哪些简单几何性质?
以焦点在x轴上的椭圆2+2=1(a>b>0)ab为例。
六、自主学习:
思考:
如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线,那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢?
探究一:
双曲线简单的几何性质x2y2以方程221为例研究双曲线的简单几何性质ab
(一)范围问题1:
类比椭圆,从双曲线方程如何研究其范围?
(二)对称性问题2:
类比椭圆,能否证明其对称性?
(三)顶点问题3:
双曲线的顶点有几个?
坐标是什么?
新知:
双曲线的实轴:
线段A1A2,长为2a,半实轴长a;双曲线的虚轴:
线段B1B2,长为2b,半虚轴长b.实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,x2-y2=m(m=0)反思:
与椭圆比较,为什么B1(0,b),B2(0,b)不叫双曲线的顶点?
(四)渐近线b新知:
直线yx叫做双曲线的渐近线.a22xy练习:
(1)-=1的渐近线为:
___________________________43x2y2(2-___________________________=1的渐近线为:
22反思:
等轴双曲线的渐近线是什么?
(五)离心率:
eca问题4:
双曲线的离心率范围?
问题5:
椭圆的离心率刻画了椭圆的圆扁程度,双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性呢?
反思:
等轴双曲线的离心率等于多少?
总结两种标准方程的双曲线的几何性质,并填表。
例1已知双曲线的焦点在x轴上,中心在原点,如果焦距为8,实轴长为6,求此双曲线的标准方程及其离心率。
例2求双曲线16x9y144的实轴长和虚轴长,顶点坐标,焦点坐标及渐近线方程。
22六.当堂练习1.求下列双曲线的实轴长,和虚轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程:
(1)x2-y2=4
(2)-9x2+y2=81x2y2x2y21(4)1(3)251610064x2y21有共同的渐近线,且经过点A(3)的双曲线方程2.求与双曲线169七、链接高考(2010辽宁理)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为_____。
x2y2x2y21的焦点(2010北京卷)已知双曲线221的离心率为2,焦点与椭圆ab259相同那么双曲线的焦点坐标为______,渐近线方程为______。
双曲线的概念及性质双曲线的概念及性质一,定义:
平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|F1F2|)的轨迹问题:
(1)平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数(等于|F1F2|)的轨迹是什么?
(2)平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数(大于|F1F2|)的轨迹是什么?
(3)若a=0,动点M的是轨迹什么?
①当||MF1|-|MF2||=2a③当||MF1|-|MF2||=2a>|F1F2|时,M点的轨迹不存在。
④当||MF1|-|MF2||=2a=0时,M点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。
二,双曲线的标准方程首先建立起适当的直角坐标系,以F1,F2所在的直线为x轴,F1,F的垂直平分线为y轴,根据定义可以得到:
2aF1F2化简此方程得c2a2x2aya(ca),令ca2222222b得:
2x
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