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初三函数与不等式docx
辅导讲义
授课类型函数和不等式一次函数和不等式的实际运用函数和不等式的综合
授课日期及时段
教学内容
函数图像和不等式
—、同步知识梳理
不等式基础知识框架:
反比例崗数
,乂<**0>
h的符号
血>0
A<0
图象
y
丿
y
工
O
性质
当RAQ时•函数的图象在第一、三象限,在每个豪眼内,曲线从左向右下降,也就是:
在悔个象限内>随工的境大而减小
当左V0时,函数的图篆在第二、四象跟•在毎个篆限内,曲线从左向右上升•也就是在毎个篆限内Q随工的増大而堵大
-元二次方程.二次三项式■二次函数及一元二次不等式——“四个二次知的等价转换关系
△=以一
aa?
+6jt+c=0
3工0)
ax2+c
(。
工0〉
y=oj^+Acr+c
a>Q
ax2十血十c>0
ax2+6x4-c 有两个相异实数根 ax2+bx+c=a(jc—工])•(x—jC2) 图象有两 与工轴个交点y / X ) XiV工Vz2(•T]V工2) 工 4=0 有两个相等实数根b工1_工2=_2a ax2+&r+e ■ =a€r—xi,2)z 图象上唯一 \ 5乂轴有公共点 • 无解 4八工 △VO 无实数根 在实数范围内不能分解因式 图象在 \ 工轴上方 工取任 意实数 无解 O X 二、同步题型分析 例1: 如图,直线厶: 丿=兀+1与直线厶: 歹=加兀+/2相交于点P(a,2),则关于a•的不等式x+lN/nx+n的解集为分析: 本题可以理解为''当自变量兀在什么范围内取值吋,厶代表的函数值大于等于厶代表的函数值”,即“厶代表的 函数图像在人代表的函数图像的上方”,此时,对应的口变量x的取值范圉就是不等式的解集。 4r 解: 因为点P(a,2)在直线歹=尢+1上,所以a=2所以,关于兀的不等式尢+12处+/? 的解集为x>\ 方法总结: 对于此类题目的解答我们可以通过以下几个步骤去解答。 ⑴找“交点”。 求出函数图像的交点坐标 ⑵定“上下”。 过交点做兀轴的垂线,观察该直线两侧部分的函数图像所代表的函数值的大小(大的在上,小的在下)⑶写“范围”。 定好上下便可以准确写出自变量兀的取值范围,即为不等式的解集。 举一反三: 如图,直线y,=kx+b分别与直线y2=mx、y3=mx-2交于点P(1,m),Q(2,n)则不等式组mx>kx+b>mx—2的 解集是 解: 方法1: 把P点和Q点坐标带入直线y=kx+b 解出k=m-2,b=2且k<0 mx>kx+b>得2x>2即x>l kx+b>mx-2的4>2x即x<2 所以l 方法2: 结合图形直接找出y2>yl>y3. 例2: 如图所示,反比例函数必与正比例函数力的图象的一个交点是A(2,l),若儿则兀的取值范围在数 轴上表示为() 答案: 方法1: 结合图形找出y2>>0的x的取值范围。 x>2选D。 方法2: 求出两函数的解析式,列成不等式求解不等式。 举一反三 已知水-4,2)、B(2,-4)是一次函数尸kXb的图彖与反比例函数尸巴的图象的两个交点.。 则k^b<-的解集为 分析: 方法X求解函数解析式,直接解不等式。 方法2: 结合图形找出直线在双曲线上方的部分。 答案: -4VxV0,或者x>2. 例题3: 已知二次函数y=x2-2x-3,问: x为何值时,y大于0? x为何值时,y小于0? 分析: 利用二次函数与不等式的关系解题. 解: (1)画出函数y=x2-2x-3的图象,利用它的图象可知: 当x<-1或x>3时,y>0; 当x=-1或x=3时,y=0; 当-1 点评: 解一元二次不等式a? 十bx+c>0(或ax2+bx+cvO)实质就是求二次函数y=ax2+bx十c(aHO)的函数值y>0(或yvO)时的自变量x的取值范围,反映在图象上就是求抛物线在x轴上方(或下方〉时的x的取值范围。 举一反三 已知二次函数y=ax2+bx+c(a^O)的图象如图所示,当y<0时,x的取值范围是() A.・1 分析: 解一元二次不等式ax? +bx+cvO)实质就是求二次函数y=ax24-bx十c(aHO)的函数值yvO时的自变量x的取值范围,反映在图象上就是求抛物线在x轴下方吋的x的取值范围。 答案: Ao 例4: 已知二次函数y,=ax2+Z? x+c(gHO)与一次函数y2=kx^m伙工0)的图象相交于点A(-2,4),〃(8, 2)(如图所示),则能使必>旳成立的兀的取值范围是• 分析: 根据题意结合图像找出直线在抛物线下方的部分。 (该条件不足已确定二次函数解析式只能通过数学结合的思想) 答案: x<-2或者x>8. 举一反三 如图,抛物线y=x2+l与双曲线尸上的交点A的横坐标是1,贝IJ关于x的不等式上+x? +l<0的解集是() A.x>lB.x<-1C.0 分析: 不能作为不等式去求解,应当移项把左或者x? +l移到右边。 X 1: 把反比例移到右边不等式变为x2+l<•左 X。 相当于把反比例函数关于y轴对称。 交A1点的横坐标为・1.选Dk 2: 把二次函数移到右边不等式变为x<・(x? +l)。 相当于把二次函数关于x轴对称,选D。 答案: D 三、课堂达标检测 则关于x的不等式bx+a>0的解集是() bb 考点: 二次函数与不等式(组)。 分析: 由己知图象开口方向向下可以知道3<。 ,对称轴L护。 ,进-步得到b<。 ,从而可以确定不等式bx+a> 0的解集. 解答: 解: •••二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向向下,Aa<0, Ab<0, 故不等式bx+a>0的解集是XV-卫. b 故选A. 点评: 解答此题的关键是求出对称轴,判断开口方向,然后结合图象判断字母的符号,求不等式的解集,本题锻炼了学生数形结合的思想方法. 检测题2、如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=l,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可矢口,不等式ax2+bx+c>0的解集是. 考点: 二次函数与不等式(组)。 分析: 由抛物线与x轴的一个交点(3,0)和对称轴x=l可以确定另一交点坐标为(-1,0),又y=ax? +bx+c>0时,图象在x轴上方,由此可以求出x的取值范围. 解答: 解: •・•抛物线与x轴的一个交点(3,0) 而对称轴x=l ・••抛物线与x轴的另一交点(-1,0)当y=ax2+bx+c>0时,图象在x轴上方此时x<・1或x>3故填空答案: x<・1或x>3. 点评: 解答此题的关键是求出图象与x轴的交点,然后由图象找出当y>0吋,自变量x的范围,本题锻炼了学生数形结合的思想方法. 检测题3、二次函数y=ax~+bx+c(aHO)的部分对应值如右表,则不等式ax+bx+c>0的解集为 X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 考点: 二次函数与不等式(组)。 专题: 数形结合。 分析: 本题通过描点画出图象,即可根据图象在x轴上部的那部分得出不等式ax2+bx+c>0的解集.解答: 解: 通过描点作图如下,从图中可看出不等式ax2+bx+c>0的解集为x>3或x<-2. 654321 -6-5-4-3-S-^ 点评: 木题是一道设计精巧的数形结合题,学生如果通过描点画岀图象,即能作出解答.但本题得分率很低,其原因是一部份学生无从下手,一部份学生习惯性地由对应点求出解析式后也无法作答.数形结合是数学中的重要思想之一,解决函数问题更是如此,同学们要引起重视. (2)当x=时,yi=y2. (3)要使y2随x的增大而增大,x的取值范围应是 考点: 二次函数与不等式(组);二次函数的图象;二次函数的性质。 专题: 代数几何综合题。 分析: (1)由二次函数y2二ax2+bx+c与x轴的交点坐标为2、6;一次函数yl=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c交点的横坐标为1、8;即可得出; (2)由一次函数y1二kx+m和二次函数y2Fx2+bx+c交点的横坐标为1、8,解答出即可; (3)二次函数y2=ax2+bx+c的对称轴为x=4,结合图形,即可得出; 解答: 解: (1)如图, •.•二次函数y2=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为2、6, ・°・不等式ax2+bx+c<0的解集是: 2 : •一次函数yl二kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c交点的横坐标为1、8, kx+m>ax2+bx+c的解集是: 1VxV8; (2)・・•一次函数yl=kx+m和二次函数y2=ax2+bx+c交点的横坐标为1、8, ・••当x=l或8时,yl=y2; (3)・・•二次函数v2=ax2+bx+c的对称轴为x=4, ・••当x>4时,y2随x的增大而增大. 故答案为: (1)2 (2)1或8;(3)x>4. 点评: 本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质,体现了初中数学中的重要思想■■数形结合思想.检测题5、(I)请将下表补充完整; 判别式 △=b2-4ac A>0 A=0 A<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图彖 \ /\ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 -b-VA x1=2a, 有两个相等的实数根 xl=x2=-2a 无实数根 x2= b+VA 2a, (xl 使y>0的x的取值范围 x 不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 _bxH-2a 不等式ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 (II)利用你在填上表时获得的结论,解不等式・x2・2x+3<0; (III)利用你在填上表时获得的结论,试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式; (IV)试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c>0(aHO)时的解题步骤. 考点: 二次函数与不等式(组)。 分析: 解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a^O)实质上就是求抛物线图象在x轴上方时,自变量的収值范围,抛物线开 口方向及与X轴的交点情况就决定了函数值什么情况下大于0,即ax2+bx+c>0.解答: 解: (I) 判别式A=b2-4ac A>0 A=0 A 二次函数 2 y=ax+bx+c(a>0)的图象 V 一元二次方程 7z ax+bx+c=O(a>0) 的根 使y>0的x的取值范围 全体实数 不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 X 全体实数 不等式ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 X] 无解 无解 (II)由原不等式,得x2+2x-3>0,•••△=4+12>0, 解方程x2+2x-3=0,得不相等的两个实数根分别为xl・3,x2=l, *•*a=1>0,原不等式的解集为: x<-3或x>l; (若画出函数y=x2+2x-3的图象,并标出与x轴的交点坐标而得解集的,同样可以) (III)如x2+x+l>0等,(只要写出满足要求的一个一元二次不等式即可); (IV) (1)先把二次项系数化为正数; (2)求判别式的值; (3)求方程ax2+bx+c=0的实数根; (4)写出一元二次不等式的解集. 点评: 主要考查了二次函数的性质与一元二次不等式之间的关系,以及图彖与x轴的位置关系.这些性质和规律要求掌握. 一次函数与一元一次不等式(组)的综合应用 一、专题精讲 1、一次函数与一元一次不等式的综合应用 例1、一辆警车在高速公路的A处加满油,以每小时60千米的速度匀速行驶.已知警车一次加满油后,油箱内的余油量y(升)与行驶时间X(小时)的函数关系的图象如图所示的直线1上的一部分. (1)求直线1的函数关系式; 【答案】解: (3,42)两点,得 (2)如果警车要冋到A处,且要求警车中的余油量不能少于10升,那么警车可以行驶到离A处的最远距离是多少? k+b=45,nzil[k=-6,解得“3k+b=42b=60 ■ •: 直线1的解析式是: y=-6x+60o (2)由题意得: y=-6x+60$10 25| ・・・警车最远的距离可以到: 60x—x-=250千米。 32 【考点】一次两数和一元一次不等式的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】 (1)根据直线1的解析式是y二kx+b,将(3,42),(1,54)代入求出即可。 (2)利用y=-6x+60>10,求出x的取值范围,从而得出警车行驶的最远距离。 例2、某楼盘一楼是车库(暂不销售),二楼至二十三楼均为商品房(对外销售). 商品房售价方案如下: 第八层售价为3000元/米S从第八层起每上升一层,每平方米的售价增加40元; 反Z,楼层每下降一层,每平方米的售价减少20元.已知商品房每套而积均为120平方米.开发商为购买者 制定了两种购房方案: 方案一: 购买者先交纳首付金额(商品房总价的30%),再办理分期付款(即贷款). 方案二: 购买者若一次付清所有房款,则亨受8%的优惠,并免收五年物业管理费(已知每月物业管 理费为a元) (1)请写出每平方米售价y(元/米分与楼层x(2WxW23,x是正整数)Z间的函数解析式; (2)小张己筹到120000元,若用方案一购房,他可以购买哪些楼层的商品房呢? (3)有人建议老王使用方案二购买第十六层,但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算.你认为老王的说法--定正确吗? 请用具体的数据阐明你的看法。 【答案】解: (1)当2WxW8时,每平方米的售价应为: 3000-(8-x)X20=20x4-2840; 当9WxW23时,每平方米的售价应为: 3000+(x—8)・40=40x+2680。 ._(20x+2840(2 [40x+2680(8 (2)由 (1)知: ・・•当2WxW8时,小张首付款为 (20x+2840)・120・30%二36(20x+2840)W36(20・8+2840)二108000元<120000元 ・・・2〜8层可任选。 ・・•当9WxW23时,小张首付款为(40x+2680)・120・30%=36(40x+2680)元由36(40x+2680)<120000,解得: xW16丄。 3 ・・・x为正整数,・・・9WxW16。 综上所述,小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。 (3)若按方案二购买第十六层,则老王要实交房款为: yi=(40・16+2680)・120・92%-60a(元) 若按老王的想法则要交房款为: y2二(40・16+2680)・120・91%(元) Vy1—y2=3984—60a, 当yi>y2即刃一丫2>0时,解得0 此时老王想法正确; 当y】Wy2即幻一yzW0时,解得aN66.4。 此时老王想法不正确。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 【分析】 (1)根据题意分别求出当2WxW8时,每平方米的售价应为3000-(8-x)X20元,当9WxW23时,每平方米的售价应为3000+(x-8)-40元。 (2)由 (1)矢口: 当2WxW8吋,小张首付款为108000元V120000元,即可得出2〜8层可任选, 当9WxW23时,小张首付款为36(40x+2680)W120000,9WxW16,即可得出小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。 (3)分别求出若按方案二购买第十六层,则老王要实交房款为*按老王的想法则要交房款为y2,然后根据即yi~y2>0时,解得0Va<66.4,y)-y2^0时,解得a$66.4,即可得出答案。 2、一次函数与一元一次不等式组的综合应用 例1、“节能环保,低碳生活”是我们倡导的一种生活方式,某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台,三种家电的进价和售价如下表所示: 价格种类、\ 进价(元/台) 售价(元/台) 电视机 5000 5500 洗衣机 2000 2160 空调 2400 2700 (1)在不超出现有资金前提下,若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同,空调的数量不超过电视机的数量的3倍.请问商场有哪几种进货方案? (2)在“2012年消费促进月”促销活动期问,商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动.在 (1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出,商家预估最多送出消费券多少张? 【答案】解: (1)设购进电视机x台,则洗衣机是x台,空调是(40—2x)台, 40-2x<3x 十x>0 根据题意得: bec,解得: 8WxW10。 40-2x>0 5000x+2000x+2400(40-2x) •・・x是整数,从8到10共有3个正整数,.••有3种进货方案: 方案一: 购进电视机8台,洗衣机是8台,空调是24台; 方案二: 购进电视机9台,洗衣机是9台,空调是22台; 方案三: 购进电视机10台,洗衣机是10台,空调是20台; (2)三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700(40—2x), 即y=2260x+10800o Vy=2260x+10800是单调递增函数,.••当x最大时,y的值最大。 ・・・x的最大值是10,Ay的最大值是: 2260X10+10800=33400(元)。 ・・•现金每购1000元送50元家电消费券一张, A33400元,可以送33张家电消费券。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】 (1)设购进电视机x台,则洗衣机是x台,空调是(40—2x)台,根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍,且x以及40-2x都是非负整数,即可确定x的范围,从而确定进货方案。 (2)三种电器在活动期间全部售出的金额,可以表示成x的函数,根据函数的性质,即可确定y的最大值,从而确定购物卷的张数。 例2、温州亭有“中国笔都”之称,其产品畅销全球,某制笔企业欲将n件产品运往A,B,C三地销售,要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍,各地的运费如图所示。 设安排x件产品运往A地。 (1)当n=200时, 1根据信息填表: A地 B地 C地 合计 产品件数(件) X 2x 200 运费(元) 30x ②若运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元,则有哪几种运输方案? ②由题意,得 200-3x<2x 1600+56x<4000 z. 解得40WxW42—。 7 (2)若总运费为5800元,求n的最小值。 【答案】解: (1)①根据信息填表 A地 B地 C地 合计 产品件数(件) X 200-3x 2x 200 运费(元) 30x 1600-24x 50x 56x4-1600 Tx为整数,・・・x二40或41或42。 ・・・有三种方案,分别是 (i)A地40件,B地80件,C地80件; (ii)A地41件,B地77件,C地82件; (iii)A地42件,B地74件,C地84件。 (2)由题意,得30x+8(n-3x)+50x二5800,整理,得n=725-7x・ Tn—3x20,「•XW72.5。 又・・・xM0,・・・0WxW72.5且x为整数。 Tn随x的增大而减少,.••当x二72时,n有最小值为221。 【考点】一次函数的应用,一元一次不等式组的应用。 【分析】 (1)①运往B地的产品件数二总件数n-运往A地的产品件数一运往B地的产品件数;运费二相应件数X—件 产品的运费。 2根据运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元列出不等式组,求得整数解的个数即可。 (2)总运费二A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费,从而根据函数的增减性得到的x的取值求得n的最小值即可。 二、专题过关 1、一次函数与一元一次不等式的综合应用 1、荆门市是著名的“鱼米Z乡”•某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼(俗称黑鱼)共75千克,且乌鱼的进货量大于40千克.已知草鱼的批发单价为8元/千克,乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示. (1)请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y(元)与进货量x(千克)之间的函数关系式; (2)若经销商将购进的这批鱼当日零售,草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%,要使总零售量不低于进货量的93%,问该经销商应怎样安排进货,才能使进货费用最低? 最低费用是多少? 八批发单价(元) 24•八厂 II IIT2‘0io进货量徉克) 【答案】解: (1)批发购进乌鱼所需总金额y(元)与进货量x(千克)之间的函数关系式为尸『6xG°-x-40)。 [24x(x>40) (2)设该经销商购进乌鱼x千克,则购进草鱼(75・x)千克,所需进货费用为w元. 由题意得: 解得xM50° x>0 89%•(75-x)+95%x>93%•75 由题意得w二8(75-x)+24x二16x+600. ・・T6>0,・・・w的值随x的增大而增大。 .••当x二50时,75-x=25,W最小=1400(元)。 答: 该经销商应购进草鱼25千克,乌鱼50千克,才能使进货费用最低,最低费用为1400元。 【考点】一次函数和一元一次不等式的应用。 【分析】 (1)根据所需总金额y(元)是进货量x与进价的乘积,即可写出函数解析式。 (2)根据总零售量不低于进货量的93%这个不等关系即可得到关于进价x的不等式,解不等式即可求得x的范围.费用可以表示成x的函数,根据函数的增减性,即可确定费用的最小值。 2、小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分,然后以每份1元卖给读者,报纸卖不完,当天可退回报社,但报社只按每份0.2元退给小丁,如果小丁平均每天卖出报纸x份,纯收入为y元. (1)求y与x之间的函数关系式(要求写出自变量x的取值范围); (2)如果每月以30天计
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