最新高中不等式基础练习题优秀名师资料.docx
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高中不等式基础练习题
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高中不等式基础练习题
11(函数y,x,xx,0)的值域为(
A(
C([2,,?
)B(D(
a,b12(下列不等式:
?
a2,1,2a;?
2;?
x2,?
1,其中正确的个数是x,1ab
(
A(0B(1C(2D(3
3(若a,0,b,0,且a,2b,2,0,则ab的最大值为(
1A.2B(1C(D(4
4(若函数f,x,1在x,a处取最小值,则a,(x,2
A(1,2B(1,3C(3D(4
t2,4t,15(已知t,0,则函数y,的最小值为________(t
考向一利用基本不等式求最值
11?
已知x,0,y,0,且2x,y,1,则x,y的最小值为________;
当x,0时,则f,2x________(x,1已知x,1,则f,x,1的最小值为________(x,1
1/20
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2已知0,x,5y,2x,5x2的最大值为________(
若x,y?
且2x,8y,xy,0,则x,y的最小值为________(
考向二利用基本不等式证明不等式
bccaab?
已知a,0,b,0,c,0abca,b,c.
(
已知a,0,b,0,c,0,且a,b,c,1.
111求证:
a,b,c?
9.
考向三利用基本不等式解决恒成立问题
?
若对任意x,0,
________(
已知x,0,y,0,xy,x,2y,若xy?
m,2恒成立,则实数m的最大值是________(
考向三利用基本不等式解实际问题
?
某单位建造一间地面面积为1m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过m(房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为800元,如果墙高为m,且不计房屋背面的费用(当侧面的长度为多少时,总造价最低,
东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元(从今年起,工厂投入100万元科技成本(并计划以后每年比上一年多投
2/20
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入100万元科技成本(预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g与科技成本的投入次数n的关系是g,80.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f万元(n,1xa恒成立,则a的取值范围是x,3x,1求出f的表达式;
求从今年算起第几年利润最高,最高利润为多少万元,
1设a,b,0,则a2,abA(1B(2C(3D(4
双基自测
D(
答案C
2(解析?
?
不正确,?
正确,x2,112,1?
2,1,1.答案Bx,1x,11(a?
a,b?
13(解析?
a,0,b,0,a,2b,2,?
a,2b,2?
2ab,即ab?
2答案A
4(解析当x,2时,x,2,0,f,,
4,当且仅当x,2,1,2?
x,2?
x,2?
×12x,21x,2),即x,3时取等号,即当f取得最小值时,xx,2
3,即a,3.答案C
t2,4t,115(解析?
t,0,?
y,,t,tt,4?
2,4,,2,当且仅当t,1时取等
号(答案,2
3/20
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解析?
x,0,y,0,且2x,y,1,
112x,y2x,yy2xy2x?
x,y,x,y,3,x,y3,22.当且仅当xy
?
x,0,?
f,2x221,1?
2,1,当且仅当x,x,即x,1时取等号(答x,1x,x案3,21
(解析?
x,1,?
f,,1,1?
2,1,当且仅当xx,1
12,2时取等号(y,2x,5x2,x,5?
5x?
,?
0,x,55x,2,2,
1?
5x,2,5x?
2,1,?
y?
5x,2,5x,x,0,?
5x?
?
52?
?
1128即x,5时,ymax,5.由2x,8y,xy,0,得2x,8y,xy,?
y,x,1,
8y2x?
82?
4yx?
x,y,?
xy,10,xy10,2?
xy?
10,2×2×?
?
?
?
4yxxy,18,
4yx当且仅当xyx,2y时取等号,又2x,8y,xy,0,?
x,12,y,6,
?
当x,12,y,6时,x,y取最小值18.
1答案18
bcca证明?
a,0,b,0,c,0,?
a,b?
2
bcabcaab,2bacb,c?
cabcab,2c;aba,c?
caab?
bccaab?
,bc2a.以上三式相加得:
2?
abc?
?
2,即abca,b,c.
4/20
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111a,b,ca,b,c证明?
a,0,b,0,c,0,且a,b,c,1,?
a,b,c,aba,b,cbcacab?
ba?
ca?
cb?
a,b,?
ac,?
bc,3,caabbcc?
?
?
?
?
?
1?
3,2,2,2,9,当且仅当a,b,c,3
xx解析若对任意x,0?
a恒成立,只需求得y,的最大值即x,3x,1x,3x,1
可,因为x,0,所以y,x,x,3x,1111?
当且仅当x,1时取115x,x,3xx
?
1?
?
1?
等号,所以a的取值范围是?
5,,?
?
答案?
5?
?
?
?
?
解析由x,0,y,0,xy,x,2y?
2xy,得xy?
8,于是由m,2?
xy恒成立,得m,2?
8,m?
10,故m的最大值为10.答案10
12?
16解第n次投入后,产量为万件,销售价格为100元,固定成本为80元,科技成本投入为100n万元(所以,年利润为f,(由知f,?
100nn)?
n,1?
n,1?
?
?
9?
9n,1,?
520(当且仅当n,1,,1000,80?
,n,1?
?
n,1
即n,8时,利润最高,最高利润为520万元(所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元(
(正解?
a,0,b,0,且a,b,1,
5/20
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12?
12b2a?
a,b,?
a,b,1,2,ab?
3,?
?
b2aab,3,22.
a,b,1,?
?
当且仅当?
b2a?
?
ab?
a,2,1,12即?
时,ab3,22.?
b,2,2
11112尝试解答]a,ab,a,ab,ab,ab,a,a?
a,b?
a?
a,b?
11,ab,ab?
1a?
a,b?
,1abab,2,2,4.当且仅当a,1
a?
a,b?
且ab,1
aba,2b时,等号成立(答案
D
高中数学基本不等式的巧用
a,b
1(基本不等式:
ab?
2基本不等式成立的条件:
等号成立的条件:
当且仅当时取等号((几个重要的不等式
ba?
a,b?
2
;a2,b2?
2ab;a,b?
2;ab?
?
?
2?
a2,b2?
a,b?
2
(2?
?
?
2?
3(算术平均数与几何平均数
a,b
设a,0,b,0,则a,b的算术平均数为2ab,基本
6/20
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不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数((利用基本不等式求最值问题已知x,0,y,0,则
如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x,y有最小值是2p.p2
如果和x,y是定值p,那么当且仅当时,xy4简记:
和定积最大)一个技巧
运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a2,b2?
2ab逆用就是
2
技巧和公式等号成立的条件等(两个变形
222
?
ab;
这两个不等式链用处很大,注意掌握它们(三个注意
视(要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可(
“正”“定”“等”的条件(
应用一:
求最值例1:
求下列函数的值域
1
1
y,x,
y,3x,
7/20
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2xx
解题技巧:
技巧一:
凑项例1:
已知x?
技巧二:
凑系数例1.当
时,求y?
x的最大值。
5
,求函数y?
4x?
2?
1的最大值。
4x?
5
技巧三:
分离
x2?
7x?
10
的值域。
例3.求y?
x?
1
。
技巧四:
换元
技巧五:
注意:
在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数f?
x?
例:
求函数y?
a
的单调性。
x
2的值域。
练习(求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x的值.
11x2?
3x?
1
x?
x?
y?
2sinx?
y?
2x?
y?
8/20
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sinxx?
3x
2(已知0?
x?
1,求函数y?
的最大值.;3(0?
x?
2
,求函数y?
3
.
条件求最值
ab
1.若实数满足a?
b?
2,则3?
3的最小值是.
11
变式:
若log4x?
log4y?
2,求?
的最小值.并求x,y的值
xy
技巧六:
整体代换:
多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。
。
:
已知x?
0,y?
0,且
19
?
?
1,求x?
y的最小值。
xy
?
变式:
若x,y?
R且2x?
y?
1,求1?
1的最小值
x
9/20
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y
?
已知a,b,x,y?
R且a?
b?
1,求x
xy
?
y的最小值
1,y的最大值.
1
技巧七、已知x,y为正实数,且x,
y
2
1,求x
技巧八:
已知a,b为正实数,2b,ab,a,30,求函数y,
ab
的最小值.
技巧九、取平方
5、已知x,y为正实数,3x,2y,10,求函数W应用二:
利用基本不等式证明不等式
1(已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:
a
2
3xy的最值.
?
b2?
c2?
ab?
bc?
ca
10/20
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1)正数a,b,c满足a,b,c,1,求证:
?
8abc例6:
已知a、b、c?
R,且a?
b?
c?
1。
求证:
?
应用三:
基本不等式与恒成立问题例:
已知x?
0,y?
0且
?
?
1?
?
1?
?
1?
?
1?
?
?
1?
?
?
1?
?
?
a?
?
b?
?
c?
19
?
?
1,求使不等式x?
y?
m恒成立的实数m的取值范围。
xy
应用四:
均值定理在比较大小中的应用:
例:
若a?
b?
1,P?
1
1
a?
lgb,Q?
1a?
b,R?
lg,则P,Q,R的大小关系是.2
解:
y,3x,
?
2x
1
3x?
2x
?
值域为,+?
)
当x,0时,y,x,?
x
1
11/20
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x?
2;x
1
x=,x
11
当x,0时,y,x=,?
2
xx?
值域为
解:
因4x?
5?
0,所以首先要“调整”符号,又
1
不是常数,所以对4x?
2要进行拆、凑项,x?
5
511?
?
x?
?
5?
4x?
0,?
y?
4x?
2?
?
?
?
5?
4x?
?
?
3?
?
2?
3?
14x?
55?
4x?
?
当且仅当5?
4x?
1
,即x?
1时,上式等号成立,故当x?
1时,ymax?
1。
?
4x
知,
,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子
评注:
本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
解析:
由
积的形式,但其和不是定值。
注意到2x?
?
8为定值,故只需将y?
x凑上一个系数即可。
当
12/20
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,即x,2时取等号当x,2时,y?
x的最大值为8。
评注:
本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值。
解析一:
本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有的项,再将其分离。
当
即
时,y?
5?
解析二:
本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=x,1,化简原式在分离求最值。
2?
7?
A
?
B,
g恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。
g
1
?
t?
t2
?
t
,则y?
?
因t?
0,t?
?
1,但t?
解得t?
?
1不在区间?
2,?
?
?
,故等号不成立,考虑单调性。
因为y?
t?
在区间?
1,?
?
?
单调递增,
13/20
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所以在其子区间?
2,?
?
?
为单调递增函数,故y?
所以,所求函数的值域为?
?
?
?
。
分析:
“和”到“积”是一个缩小的过程,而且3?
3定值,因此考虑利用均值定理求最小值,解:
和3都是正数,3?
3?
23a?
3b?
23a?
b?
6
ababab
当3?
3时等号成立,由a?
b?
2及3?
3得a?
b?
1即当a?
b?
1时,3?
3的最小值是6(
a
b
1
t1t
1t5。
?
5?
2?
?
abab
不等式综合练习题
?
?
?
;常用不等式有:
a、b、c?
R,a?
b?
c?
ab?
bc?
ca
若a?
b?
0,m?
0,则?
。
aa?
m
1111111
常用的放缩技巧有:
?
?
?
2?
?
?
nn?
1nnnn?
1n
14/20
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?
?
?
1、对于实数a,b,c中,给出下列命题:
?
若a?
b,则ac2?
bc2;?
若ac2?
bc2,则a?
b;?
若a?
b?
0,则a2?
ab?
b2;?
若a?
b?
0,则?
若a?
b?
0,则
11
?
;ab
ba
?
;?
若a?
b?
0,a?
b;ab
ab11
?
?
若c?
a?
b?
0,则;?
若a?
b,?
,则a?
0,b?
0。
c?
ac?
bab
其中正确的命题是______
2、已知a?
b?
c,且a?
b?
c?
0,则
3、设a?
0且a?
1,t?
0,比较
4、设a?
2,p?
a?
5、比较1+logx3与2logx2的大小
21
,q?
2?
a?
4a?
2,试比较p,q的大小a?
2
c
的取值范围是______a
1t?
1logat和loga的大小2
6、下列命题中正确的是
15/20
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12A、y?
x?
的最小值是B
、y?
的最小值是2
x4
C、y?
2?
3x?
的最大值是2?
x4
D、y?
2?
3x?
的最小值是2?
x
xy
7、若x?
2y?
1,则2?
4的最小值是______
8、正数x,y满足x?
2y?
1,则
11
?
的最小值为______xy
9、如果正数a、b满足ab?
a?
b?
3,则ab的取值范围是_________
222222
10、已知a?
b?
c,求证:
ab?
bc?
ca?
ab?
bc?
ca;
已知a,b,c?
R,求证:
a2b2?
b2c2?
c2a2?
abc;已知a,b,x,y?
R?
,且
11xy
?
x?
y,求证:
?
;abx?
ay?
b
若a、b、c是不全相等的正数,求证:
a?
bb?
cc?
a
16/20
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?
lg?
lg?
lga?
lgb?
lgc;22
222222
已知a,b,c?
R,求证:
ab?
bc?
ca?
abc;
lg
*
若n?
N?
n;
|a|?
|b||a|?
|b|
?
;
|a?
b||a?
b|
111
求证:
1?
2?
2?
?
2?
2。
23n
2
11、解不等式?
0。
已知|a|?
|b|,求证:
12、不等式、g的定义域都是R,且f?
0的解集为{x|1?
x?
2},g?
0的解集为?
,则不等式fg?
0的解集为______
14、要使满足关于x的不等式2x?
9x?
a?
0的每一个x的值至少满足不等式x?
4x?
3?
0和x?
6x?
8?
0中的一个,则实
17/20
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数a的取值范围是______.
15、解不等式
16、关于x的不等式ax?
b?
0的解集为,则关于x的
不等式17、|2?
2
2
2
5?
x
?
?
1
x2?
2x?
3
ax?
b
?
0的解集为x?
2
31x|?
2?
|x?
|2
18、|x|?
|x?
1|?
3
19、若不等式|3x?
2|?
|2x?
a|对x?
R恒成立,则实数a
的取值范围为______。
20、若loga
2
?
1,则a的取值范围是__________
ax2
?
x1、解不等式
ax?
1
18/20
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n?
1
22、若不等式a?
2?
对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是_____
n
n
2
23、若不等式x?
2mx?
2m?
1?
0对0?
x?
1的所有实数x都成立,求m的取值范围.
参考答案:
1、?
?
?
?
?
2、?
?
2,?
?
时取等号);当0?
a?
1时,
?
?
1t?
11?
3、当a?
1时,logat?
loga)、p?
q244
5、当0?
x?
1或x?
时,1+logx3,2logx2;当1?
x?
时,1+logx3,2logx2;
33
4
当x?
时,1+logx3,2logx26、C
、8
、3?
、?
9,?
?
?
3
19/20
精品文档
11、{x|x?
1或x?
?
2}12、{x|x?
3或x?
?
1}13、14、
1.正切:
[7,
23.5—3.11加与减
(一)4P4-12[2,?
?
))
一.锐角三角函数81
)15、16、?
17、x?
R
5.圆周角和圆心角的关系:
42
18、19、{20、a?
1或0?
a?
)
1、20以内退位减法。
3
面对新的社会要求,教师与学生应首先走了社会的前边,因此我们应该以新课标要求为指挥棒,采用所有可行的措施,尽量体现以人为本,培养学生创新,开放的思维方式。
另一方面注意处理好内容与思想的衔接,内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础,思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合11
3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识,体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论,是人类文明的结晶,体会数学与人类历史的发展是息息相关。
a?
0时,a?
0时,a?
0时,{x|x?
或x?
0};{x|?
x?
0}或
x?
0}){x|x?
0};21、
(2)相切:
直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.aa
31
(2)抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
22、[?
2,))3、m?
?
)
定义:
在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即;22
20/20
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