人教版初二上数学整式乘除运算全部教案.docx
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人教版初二上数学整式乘除运算全部教案
整式乘除全部教案
第35节同底数幂的乘法
(一)
教学目的
1.使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上,掌握幂的运算性质(或称法则),进行基本的运算;
2.在推导“性质”的过程中,培养学生观察、概括与抽象的能力.
教学重点和难点
幂的运算性质既是重点,又是教学难点.
教学过程
一、新问题的提出
引例一个长方形鱼池的长比宽多2米,如果鱼池的长和宽分别增加3米,那么这个鱼池的面积将增加39平方米.问这个鱼池原来的长和宽各是多少米?
说明:
借助实际问题,可以说明学习整式乘除法的必要性,比较自然地由方程、不等式的内容过渡到整式乘除的研究,又希望引起学生的兴趣.
二、复习提问
1.什么叫乘方、幂、底数、指数?
2.试研究下面的7个运算应叫什么?
运算的结果又叫什么?
(1)3x-2y+x;
(2)42;
(3)2a×3b;(4)(x+3)(x+5);
(5)*32·23;(6)*(23)4;
(7)*(a·b)3.
说明:
1.复习与本节有关的概念.
2.对于某些数的表示形式培养学生能从运算式和运算结果两层意义去认识.如|a|,既可以表示对一般数a求绝对值的运算式,又表示对一般数a求绝对值的结果.an既被看作对a乘n次方的运算式,也被看作对a乘n次方的运算结果,|a|、an都是数的一种表示形式.
3.对于带星号的题目是希望在学生思考后的基础上给出正确名称,分散后面几节的教学难点.
4.若学生的实际水平较低,
(2)题也可以给出题目的答案,让学生进行选择填空.
三、新课
提问:
请同学们观察23×22、103×22是什么运算?
观察其结果会怎样?
说明:
1.在复习概念的基础上希望学生能说出以上计算是“同底数幂相乘”.观察的要点是看到代数式的两个特征:
幂的乘法;同底数幂的乘法.由此引入本节新课,给出全课标题.
2.运算的结果采用先猜后证的方法,使学生对运算规律的趋形能有较好地理解.
103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义)
=10×10×10×10×10(乘法结合律)
=105.(幂的意义)
说明:
第二步也可以解释为乘法结合律的逆向应用.
在板书演算的基础上,说明当底数是其它一般数时,数量间的关系——运算规律仍然成立,由此可进行第一次概括,得
a3·a2=a5.
例1计算:
(3)(3)3·(3)5;
(4)b3·b9.
使用刚刚推出的性质a3·a2=a5不能完成例1后两个小题的计算,例题的作用仍然是在先猜后证的格局下得到幂的运算性质
=am+n.
小结:
1.同底数幂的乘法性质是经过对底数和指数的两次抽象概括而得的.
2.引导学生剖析规律:
(1)公式左边是什么运算、结果又作什么运算?
(2)等号两边的底数有什么关系?
(3)等号两边的指数有什么关系?
然后概括出性质的语言表达式:
“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.
3.推导法则、公式、性质时,是希望使用范围越广越好.
例2计算:
(1)107×104;
(2)x2·x5.
练习
1.计算
(1)105·106;
(2)a7·a3;(3)y3·y2;
(4)b5·b;(5)a6·a6;(6)x5·x5;
2.计算(口答且要有过程)
(1)10·108;
(2)b3·b8;
(3)am·a2;(4)x·x2·x4.
从练习中所遇到的新问题(计算x·x2·x4)着手,引导学生体会法则的语言表达式的深刻含义:
“只要是同底数幂相乘,幂的个数并不受限制”.由此也可以体会到性质数学表达式的简练、直观,文字表达式的准确、概括.
四、小结
1.小结同底数幂相乘的性质.
2.再一次明确作业的解题步骤.
3.本章所有的幂的指数都是正整数.
4.如果底数是一个具体的数,一般要求计算出结果,但以10为底的幂可以写成乘方形式,如
23×22=25=32
103×102=105
五、布置作业
1.阅读课文并抄写同底数幂相乘性质的数学表达式和语言表达式.
2.计算
(1)a3·a4;
(2)x3·x;
(3)y5·y3;(4)105·10·103;
(5)x7·x·x12;(6)y·y2·y3·y.
3.思考题
利用同底数幂相乘的性质进行计算与利用幂的意义进行计算相比较,有什么简便之处?
答:
化幂的乘法运算为指数的加法运算.
第36节同底数幂的乘法
(二)
教学目的
准确熟练掌握正整指数幂相乘的运算性质,正确分辨与它容易混淆的内容,进一步加深对字母表示数的理解.
教学重点和难点
重点是同底数幂的乘法性质,难点是“性质”中有关字母的广泛含义及“性质”的正确使用.
教学过程
一、复习提问
1.同底数幂相乘的性质的数学表达式及语言表达式是什么?
2.计算
(1)105·106;
(2)x3·x4;
(3)2a3·3a2;(4)2a3+3a3.
全体学生都动手做,之后请四位同学上讲台板演.在(3)的计算中,既使用旧知识乘法交换律,又灵活应用了同底数幂相乘的性质,对于能正确解题的同学应给予表扬.(4)是让学生能区别同底数幂相乘与合并同类项的差异.
讲解要点:
在复习代数式求值的基础上,向大家指出,
(1)代数式求值是一个由一般到特殊的过程;
(2)代数式的文字可以取不同的十进位数,也可以取表示“数”的其
解:
当x=m+9时
二、新课
上节课我们由103×102和23×22两个具体问题入手,经过对底数与指数的两次抽象概括,由特殊到一般地归纳出同底数幂乘法的性质,本节课我们主要研究这个性质的应用及应用中要注意的几个问题.
例1把下列各式化成(p+q)n或(s-t)n的形式.
(1)(p+q)3·(p+q)2;
(2)(s-t)2·(s-t)·(s-t)4;
(3)(p+q)m·(p+q)n.
分析:
把(p+q)或(s-t)看作底数a,就可运用同底数幂相乘的性质来进行计算.
小结1:
我们可以把性质的应用理解成性质中有关文字a、m、n代换成数或数的其它表示形式的过程.这也是由一般到特殊的过程.
例2计算:
(1)-a2·a6;
(2)(-x)·(-x)3;
(3)8m·(-8)3·8n;
(4)b3·(-b2)·(-b)4.
解:
(1)-a2·a6
=-(a2·a6)
=-a2+6
=-a8;
(3)8m·(-8)3·8n
=-8m·83·8n
=-8m+3+n
=-8m+n+3;
(4)b3·(-b2)·(-b)4
=-b3·b2·b4
=-b3+2+4
=-b9.
注意1:
在进行同底数幂乘法时,当底数的系数为-1时、指数为+1时要特别注意.
c=c1,
32·3m·3≠3m+2;
(-x)=(-x)1;
-a2≠(-a)2;
(a-b)2=(b-a)2.
(-3)n,当n为偶数时,幂的系数为正,当n为奇数时,幂的系数的负.
练习
1.计算:
(1)y12·(-y)6;
(2)x10·(-x);
(3)-(-x)3·x9;
(4)-102·10·(-10)5;
(5)y4·(-y)3·y2·y;
(6)x5·x6·x3.
2.下面的计算对不对?
如果不对,应怎样改正?
(1)b5·b5=2b5;
(2)b5+b5=b10;
(3)x5·x5=2x10;(4)x5·x5=x25;
(5)c·c3=c3;(6)m+m3=m4.
小结2:
法则的数学表达式也可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,即
am·an·ap=(am·an)·ap=am+n·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数).
若m=n=p时,有
暂时不讲←am·am·am→am+m+m→a3m.
为讲解幂的乘方作好知识上的准备.
注意2:
在综合练习中,要严格把握住同底数幂乘法与加法中合并同类项的区别.此时使用合并同类项的注意事项可归结为“合并同类项,系数变了样,指数不能加,千万不能忘!
”
例3计算:
(1)-(-a)3·(-a)2·a5;
(2)(a-b)3·(b-a)2.
解:
(1)-(-a)3·(-a)2·a5=(-1)·(-1)·a3·a2·a5=a3+2+5=a10.
-(-a)3·(-a)3·a5=(-a)3·(-a)2·(-a)5=(-a)3+2+5=(-a)10=a10.
(2)(a-b)3·(b-a)2=(a-b)3·(a-b)2=(a-b)3+2=(a-b)5.
小结3:
为了扩大“性质”的使用范围,对于一些不相同的底,利用其底数间的数量关系,可化为同底后使用“性质”.
三、小结
1.让学生重视课内所提的“三个小结”、“两个注意”.
2.再一次强调“性质”中的八个字:
同底、相乘、不变、相加.
第37节幂的乘方
教学目的
使学生理解掌握幂的乘方性质,并能熟练地运用性质进行计算;在法则推导过程中,培养学生使用文字概括的能力.
教学重点和难点
教学重点是幂的乘方性质及计算;难点是已学过的有关幂运算的两个性质间的联系和区别.
教学内容
一、新课引入
1.根据你自己的理解,说明(a4)3所表示的意义是什么?
这种运算叫什么好?
通过分析可引出:
(a4)3=a4·a4·a4.这种运算可叫幂的乘方,我们今天就学习它的性质,并板书课题:
“幂的乘方”.
2.猜猜(a4)3有无简便计算方法?
((a4)3=a3×4).
3.你能证明自己猜出的“方法”吗?
二、新课
现在我们证明(a4)3=a3×4.
证明:
设a4=y(即把a4看成一个底数).
则(a4)3=y3=y·y·y=a4·a4·a4=a3×4.
说明:
1.由相同的数相加,引入乘法,由相同因数相乘,引入乘方运算,现在又由多个相同幂相乘引入“幂的乘方”.
2.同底数幂相乘有am·an·ap=am+n+p的性质,当m=n=p时就得到幂的乘方性质(am)3=a3m.因此可看出两个性质间的联系和性质1推广的意义.
为了使性质有更广泛的应用,我们现在推证“幂的乘方性质”的一般表达式(am)n=amn(其中m、n都是正整数).
=amn(乘法定义)
即
小结:
(引导学生剖析规律)
1.从代数式变形的角度观察,幂的乘方性质是“双层”幂与“单层”幂相互变形的“工具”.
2.“双层”幂变换成“单层”幂的法则可表达为
例1计算:
(1)(107)2;
(2)(z4)4;(3)-(y4)3;(4)(am)4.(其中的
(1)与
(2)要用两种方法计算).
解:
(1)法一:
(107)2=107·107=107+7=1014(使用乘方定义及旧知识同底幂乘法性质解题).
法二:
(107)2=107×2=1014(使用幂的乘方性质解题)
(2)(法一)(z4)4=z4·z4·z4·z4=z4+4+4+4=z16.
(法二)(z4)4=z4×4=z16.
(3)-(y4)3=-y4×3=-y12.
(4)(am)4=am×4=a4m.
注意:
(a4)4≠a4+4.
练习
1.计算(其中
(1)、
(2)两题请用两种不同方法):
(1)(103)3;
(2)(x4)3;
(3)-(x3)5;(4)(a2)3·a5;
(5)(x2)8·(x4)4;(6)-(xm)5.
2.下面的计算对不对?
如果不对,应怎样改正?
(1)(a5)2=a7;
(2)a5·a2=a10;
(3)(x6)3=x18;(4)(xn+1)2=x2n+1.
小结:
将用底数幂的乘法性质和幂的乘方性质排列在一起,然后引导学生思考下列问题.
(1)两式左边am·an与(am)n在形式上有何异同?
所进行的计算有何异同?
(2)两式的右边am+n与am·n在形式上有何异同?
所进行的计算有何异同?
(3)在数值方面,am·an=am+n相当于多少个a连乘的积,(am)n=am·n相当于多少a连乘的积?
例2计算:
(1)(-x2)·(x3)2·x;
(2)[(x-y)3]4;
(3)[(103)2]4.
解:
(1)(-x2)·(x3)2·x=-x2·x3×2·x=-x2+6+1=-x9.
(2)[(x-y)3]4=(x-y)3·4=(x-y)12.
(3)[(103)2]4=(103)2×4=103×2×4=1024.
练习
在括号内填入正确数值:
(1)x3·x()=x6;
(2)[x()]3=x6;
(3)x12=x6·x()=x4·x()=(x())4=x3·x().
(4)(x5)()=x20;(5)x8=x7·x().
三、小结
使学生要严格区分同底数幂乘法性质与幂的乘方性质的不同,不能混淆.具体讲解可从下面两点来说明:
1.牢记不同的运算要使用不同的性质,运算的意义决定了运算的性质.
2.记清幂的运算与指数运算的关系:
(同底)幂相乘→指数相加(“乘”变“加”,降一级运算);
幂乘方→指数相乘(“乘方”变“乘法”,降一级运算).
了解到有关幂的两个重要性质都有“使原运算仅降一级运算”的规律,可使自己更好掌握有关性质.
四、布置作业
第38节积的乘方
教学目的
使学生理解掌握积的乘方性质,并能熟练地运用性质进行计算;在计算过程中,使学生了解性质、公式、法则可以逆向使用.
教学重点和难点
重点是理解并掌握积的乘方性质,难点是正确运用积的乘方性质进行计算.
教学过程
一、复习提问
1.叙述同底数幂乘法性质与幂的乘方性质.
2.判断正误(可把题目事先写在小黑板上):
(1)a3·a4=a12;
(2)(b4)3=b12;
(3)(cn)2=c2n;(4)[(1-a)3]2=a6;
(5)x3+x3=x6;(6)x3·x4=2x7;
(7)xm·x5=x5m;(8)(-2a2)3=-6a6.
解:
(1)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)是错的,
(2)、(3)计算正确.
说明:
1.有关幂的运算性质共有四个(已学习了两个),计算中都容易产生错误,因此可以讲这一段的学习要在反复运用公式并不断纠正错误中前进,尽量减少错误产生的一个好办法是“明确掌握性质的来胧去脉”.
2.第(8)小题相当于(ab)3这样一个计算.
这样的运算我们学习过吗?
请试计算.
(ab)3=(ab)·(ab)(ab)(乘方定义)
=(a·a·a)·(b·b·b)(乘法交换律和乘法结合律)
=a3·b3.(幂的定义)
所以(-2a2)3=(-2)3·(a2)3=-8a6.
小结:
本题是求“积的乘方”问题,今天我们就学习它的性质,并板书课题:
“积的乘方”.
二、新课
幂的乘方性质是用下面的关系式(数学表达式)来表达:
从作业中我们可以体会到,由于底数a与指数m、n可以“取”不同的数,给我们使用性质代来方便,看来“数”、“式”用文字m、n、a等进行抽象表示为性质的广泛应用创造条件.
大家猜猜“积的乘方性质”概括成数学表达式应写成什么样的关系式好?
(具体可以从底数、指数两方面考虑).
如果n是正整数,那么
=anbn.(幂的定义)
小结:
(引导学生剖析规律)
1.从代数式变形的角度观察,积的乘方性质是“积的幂”与“幂的积”相互变形的“工具”.目前由左(积的幂)向右(幂的积)使用的时候多.
2.积的乘方性质的文字表达式是:
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
例1计算:
(1)(-3x)3;
(2)(-5ab)2;
(3)(x·y2)2;(4)(-2x·y3z2)4.
解:
(1)(-3x)3=(-3)3·x3=-27x3.
(2)(-5ab)2=(-5)2a2b2=25a2b2.
(3)(xy2)2=x2·(y2)2=x2y4.
(4)(-2xy3z2)4=(-2)4x4(y3)4(z2)4=16x4y12z8.
注意:
1.强调注意系数的乘方.
2.若数学表达式中底数a是其它两数a1、a2的积,那么很容易使公式推广使用:
3.因数中若有幂的形式,要注意运算步骤,先进行积的乘方,后作因数幂的乘方.
练习
1.计算:
(1)(ab)6;
(2)(2m)3;
(3)(-xy)5;(4)(5ab2)3;
(5)(2×102)2;(6)(-3×103)3.
2.计算:
(1)(-2x2y3)3;
(2)(-3a3b2c)4.
3.下面的计算对不对?
如果不对,应怎样改正?
(1)(ab2)3=ab6;
(2)(3xy)3=9x3y3;
(3)(-2a2)2=-4a4.
例2计算:
(1)a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2;
(2)2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7.
练习
1.3(a2)4·(a3)3-(-a)·(a4)4+(-2a4)2·(-a)3·(a2)3.
2.(x4)2+(x2)4-x·(x2)2·x3-(-x)3·(-x2)2·(-x).
例3计算:
(1)(a2)3·(a5)3;
(2)(y3)5·(y2)5·(y4)5.
解:
(1)(法一)(a2)3·(a5)3=a6·a15(幂的乘方性质)
=a21(同底数幂乘法性质)
(法二)(a2)3·(a5)3=(a2·a5)3(积的乘方性质逆用)
=(a7)3(同底数幂乘法性质)
=a21(幂的乘方性质)
(2)(可引导学生用两个方法计算).
练习(填空)
1.m4n6=(m2n3)()=m2n2().
2.a4b12=(a2·b6)()=(ab3)()=a2b4().
三、小结
积的乘方要注意将每一个因式(特别是系数)都要乘方.
思考题:
(a·b)2与(a+b)2运算结果一样吗?
四、布置作业
第39节单项式的乘法
教学目的
使学生理解并掌握单项式乘法法则,并能运用法则正确地进行计算.
教学重点和难点
单项式的乘法运算是教学重点,单项式乘法法则有关系数和指数在计算中的不同规定,是教学难点.
教学过程
一、复习提问
1.复习有关“单项式”及“单项式次数”的概念.
2.下列单项式各是几次单项式?
它们的系数各是什么?
3.下列代数式中,哪些是单项式?
哪些不是?
4.复习乘法交换律及结合律.
例计算6×4×13×25
解:
6×4×13×25=(6×13)×(4×25)
=7800.
二、新课
引例计算:
(1)2x2y·3xy2;
(2)4a2x5(-3a3bx).
解:
(1)2x2y·3xy2=(2×3)·(x2·x)·(y·y2)
(乘法的交换律和结合律)
=6x3y3(数字乘法及同底数幂乘法性质)
(2)4a2x5·(-3a3bx)=______
=______.
小结:
1.在引例讲解的基础上先引导学生归纳单项式乘法有三项要点.
(1).积的系数等于各因式系数的积,这是有理数的乘法,应先确定符号,后计算绝对值.
(2).相同字母相乘,使用同底数幂的乘法性质.
(3).只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,不能把这个因式遗失.
2.然后再将三项要点概括成单项式乘单项式的运算法则:
例1计算
(1)(-5a2b3)(-3a);
(2)(2x)3(-5x2y)
练习
1.计算:
(1)3x5·5x3;
(2)4y·(-2xy3);
2.计算:
(1)(3x2y)3·(-4xy2);
(2)(-xy2z3)4·(-x2y)3.
3.下面的计算对不对?
如果不对,应当怎样改正?
(1)4a3·2a2=8a6;
(2)2x4·3x4=6x8;
(3)3x2·4x2=12x2;(4)3y3·5y4=15y12.
例2计算
(l).将(4×105)(5×106)(3×104)化成a·10n的形式(其中1≤a<10);
(2).光的速度每秒为3×105千米,太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒,地球与太阳的距离约是多少千米?
解:
(l)(4×105)(5×106)(3×104)
=(4×5×3)(105×106×104)
=60×1015=6×1016.
(2)(3×105)(5×102)
=15×107=1.5×108.
答:
地球与太阳的距离是1.5×108千米.
例3计算
(1)(-5an+1b)(-2a);
(2)(-3ab)(-a2c)2·6ab(c2)3;
(3)3a2b(x-y)2·2ac4(x-y).
解:
(1)(-5an+1b)(-2a)
=[(-5)×(-2)](an+1·a)·b
=10an+2b
(2)(-3ab)(-a2c)2·6ab(c2)3
=(-3ab)·a4c2·6abc6
=[(-3)×6]a·a4·a·b·b·c2·c6
=-18a6b2c8.
(3)3a2b(x-y)2·2ac4(x-y)
=[(-3)×2]a2·a·b·c4·(x-y)2·(×-y)
=-6a3bc4(x-y)3.
小结:
(1)注意指数是1的情况,相乘时有别于系数1,别忘记乘(即指数相加).
(2)两个单项式相乘的方法容易拓展到多个单项式相乘的方法.
(3)积的书写顺序按字母顺序排列,不一定按相同字母的积排在前,不同字母的积写在后.
(4)混合运算应待别注意运算顺序:
先做第三级运算(乘方),再算第二级运算(乘除),最后是第一级运算(加减).如果有括号就先算括号里面的.
练习
1.计算:
2.计算:
(1)(-3x)2·(2xy2)2;
3.一种电子计算机每秒可作108次计算,它工作5×102秒,可作多少次运算?
三、小结
1.单项式乘单项式的结果仍是一个单项式;
2.凡是在单项式出现过的字母在结果里应该全有,不能丢掉因式;
3.结果的次数应该等于两个单项式字母次数之和.
说明:
数学计算上的某些验算方法常常是根据恒等变形的必要条件,而非充要条件,这完全是为了验算在实用上的方便.如有关代数式运算的“数字代入验算法”,数字计算的“弃九验算法”等等,因此小结3也可以看作是一个验算的方法.
第40节单项式与多项式相乘
教学目的
使学生掌握单项式与多项式的乘法法则,并能熟练地进行计算.
教学重点
单项式与多项式相乘的法则.
教学过程
一、复习提问
1.复习乘法对加法的分配律:
5(a-2b+3c)=5a-l0b+15c.
说明:
乘法对加法的分配律是将单项式乘多项式(新知识)转化为单项式乘单项式(旧知识)的桥梁.务必使学生彻底领悟.
通俗地讲,题目中的括号可以看作箱子,括号外的数字可看作箱子的个数(乘法定义),括号内的“数”可以看作是不同物品的数量,去括号(乘法对加法的分配律)可看成全部去掉箱子后的统计方法.
2.分配律的数学表达式:
这个结果也可以从右图看出.
3.当法则中的m、a、b、c取较“复杂”的单项式时,这就是我们今天要研究的课题:
单项式与多项式相乘,并书写课题.
二、新课
例1计算:
(1)(-4x)·(2x2+3x-1);
小结:
1.单项式乘多项式的结果仍是多项式,积的项数与原多项式的项数相同(这句话也可以这样说:
一个单项式乘以n项的多项式的积,可以转化为求n个单项式的和);
2.特别要注意单项式系数的符号为负时的情况;
3.为了避免横式计算中漏项的错误,要注意运算的顺序:
(1)将多项式排列整齐;
(2)按下图步骤进行计算:
4.概括单项式与多项式相乘法则
练习
1.计算:
(l)(x-3y)(-6x);
(2)5x(2x2-3x+4);
2.化简:
(1)x(x2+3)+x2
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