18学高中数学第三单元三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦学案新人教B版必修4.doc
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3.1.2 两角和与差的正弦
学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f(x)=asinx+bcosx的函数的性质.
知识点一 两角和与差的正弦
思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式?
思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式?
梳理 两角和与差的正弦公式
内容
两角和的正弦
两角差的正弦
简记符号
Sα+β
Sα-β
公式形式
sin(α+β)=__________________
sin(α-β)=________________
记忆口诀:
“正余余正,符号相同”.
知识点二 辅助角公式
思考1 asinx+bcosx化简的步骤有哪些?
思考2 在上述化简过程中,如何确定θ所在的象限?
梳理 辅助角公式
asinx+bcosx=sin(x+φ)=cos(x-θ).其中cosφ=________,sinφ=________,sinθ=,cosθ=,φ、θ称为辅助角,它的终边所在象限由________决定.
类型一 给角求值
例1
(1)化简求值:
sin(x+27°)cos(18°-x)-sin(63°-x)·sin(x-18°).
(2)=________.
反思与感悟
(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小,化切为弦,统一函数名称,然后根据角的关系和式子的结构选择公式.
(2)解题时应注意观察各角之间的关系,恰当运用拆角、拼角技巧,以达到正负抵消或可以约分的目的,从而使问题得解.
跟踪训练1 计算:
(1)sin14°cos16°+sin76°cos74°;
(2)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).
类型二 给值求值(角)
例2 已知sin=,cos=,且0<α<<β<,求cos(α+β).
反思与感悟
(1)给值(式)求值的策略:
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)给值求角本质上为给值求值问题,解题时应注意对角的范围加以讨论,以免产生增解或漏解.
跟踪训练2 已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sinβ=-,求α的值.
类型三 辅助角公式
例3 将下列各式写成Asin(ωx+φ)的形式.
(1)sinx-cosx;
(2)sin(-x)+cos(-x).
反思与感悟 辅助角公式asinx+bcosx=·sin(x+φ)可以把含sinx、cosx的一次式化为Asin(ωx+φ)的形式,其中φ所在象限由点(a,b)决定,大小由tanφ=确定.研究形如f(x)=asinx+bcosx的函数的性质都要用到该公式.
跟踪训练3 已知函数f(x)=cos2x-sin2x,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期与值域;
(2)求f(x)的单调递增区间.
1.计算cos+sin的值是( )
A.B.2C.2D.
2.sin20°cos10°-cos160°sin10°等于( )
A.- B.
C.- D.
3.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于________.
4.化简:
cos+sin=________.
5.化简:
sincos-cos·sin.
1.公式的推导和记忆
(1)理顺公式间的逻辑关系
Cα-βSα+βSα-β.
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α-β),C(α+β)可记为“同名相乘,符号反”;
对于公式S(α-β),S(α+β)可记为“异名相乘,符号同”.
(3)符号变化是公式应用中易错的地方,特别是公式C(α-β),C(α+β),S(α-β),且公式sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,角α,β的“地位”不同也要特别注意.
2.应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用,尤其是公式的逆用,要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同,并积极创造条件逆用公式.
(2)注意拆角、拼角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式.
(3)注意常值代换:
用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相关公式,其中特别要注意的是“1”的代换,如1=sin2α+cos2α,1=sin90°,1=2cos60°,1=2sin30°等,再如:
0,,,等均可视为某个特殊角的三角函数值,从而将常数换为三角函数.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 sin(α+β)=cos=cos=coscosβ+sinsinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.
思考2 用-β代换β,即可得sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
梳理 sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ
知识点二
思考1
(1)提常数,提出得到
.
(2)定角度,确定一个角θ满足:
cosθ=,sinθ=(或sinθ=,cosθ=).一般θ为特殊角,则得到(cosθsinx+sinθcosx)(或·(sinθsinx+cosθcosx)).
(3)化简、逆用公式得asinx+bcosx=sin(x+θ)(或asinx+bcosx=cos(x-θ)).
思考2 θ所在的象限由a和b的符号确定.
梳理 点(a,b)
题型探究
例1
(1)解 原式=sin(x+27°)cos(18°-x)-cos(x+27°)·sin(x-18°)
=sin(x+27°)cos(18°-x)+cos(x+27°)sin(18°-x)
=sin[(x+27°)+(18°-x)]
=sin45°=.
(2)
跟踪训练1 解
(1)原式=sin14°cos16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)
=sin14°cos16°+cos14°sin16°
=sin(14°+16°)=sin30°=.
(2)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]
=sin90°=1.
例2 解 ∵0<α<<β<,
∴<+α<π,-<-β<0.
又∵sin=,
cos=,
∴cos=-,
sin=-.
∴cos(α+β)=sin
=sin
=sincos-
cossin
=×-×
=-.
跟踪训练2 α=
例3 解
(1)sinx-cosx=2(sinx-cosx)=2(cossinx-sincosx)=2sin(x-).
(2)原式=[sin(-x)+
cos(-x)]=[sinsin(-x)+coscos(-x)]
=cos(-x-)=cos(-x)
=sin(x+).
跟踪训练3 解
(1)
f(x)=-sin2x+cos2x
=-2
=-2
=-2sin,x∈R.
∴T==π,函数的值域为[-2,2].
(2)由2kπ+≤2x-≤2kπ+,
k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
∴函数的单调递增区间为(k∈Z).
当堂训练
1.B 2.D 3. 4.cosα
5.解 原式=sincos-sin·cos
=sin
=sin
=sincos-cossin
=×-×=.
8
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