学业水平考试数学浙江知识清单与训练25椭圆.docx
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学业水平考试数学浙江知识清单与训练25椭圆
选修2-1
§3椭
n知识条目排查梳理教材点点落实知识点一椭圆的概念
平而内与两个泄点鬥,尸2的距离的和等于常数(大于1尺尺1)的点的轨迹叫做.这两个左点叫
做椭圆的,两焦点间的距离叫做椭圆的•
集合P={MIIMF]l+IMF2l=2z小旧61=2。
,其中t/>0,c>0,且",c为常数.
(1)若,则集合P为椭圆;
⑵若,则集合P为线段;
⑶若,则集合P为空集.
知识点二椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2y2
“2+52—](">b>0)
”2丫2
^+^2=1(">0)
图形
y
AA2X
性质
范用
—“WxW"
—bWxWb
—bWyWb
对称性
对称轴:
坐标轴对称中心:
原点
顶点
Ai(—6/,0),A?
(仏0)
—B2(0,b)
A](0,~a),人2(0,a)
Bi(-hO),B2(bt0)
轴
长轴A1A2的长为:
短轴的长为
焦距
IF旧1=
离心率
6>=沪0,1)
b,c的关系
知识点三直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆位置关系判断的步骤
(1)联立直线方程与椭圆方程;
(2)消元得出关于x(或刃的一元二次方程:
⑶当£>0时,直线与椭圆相交;当£=0时,直线与椭圆相切;当4<0时,直线与椭圆相离.
2.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
涉及问题
处理方法
弦长
根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两交点)
中点弦或弦的中点
点差法(结果要检验)
注意:
弦长公式
IP1用=J1+£1\/(X】+恐)2—4门兀2=、y1+右7©1+户尸一4yp2.
例1
(1)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为设A为圆上任一点,且点M2.0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是()
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
⑵设P是椭圆£+£=1上一点,鬥,5是椭圆的焦点,若ZF,PF2=60°,则屮F2的面积为
2°
例2已知椭圆卡+糸=1(“”>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于儿B两点.若AB的中点坐标为(1,一1),则椭圆E的方程为()
y-
B-36+27=1
X2V2
A45+36=1
X2V2X2V2
C-27+18=1D.亟1
例3已知椭圆经过点(誓,羽)和点(军,1),则椭圆的标准方程为
例4
(1)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,求该椭圆的离心率.
(2)从椭圆亲+右=1("”>0)上一点P向a-轴作垂线,垂足恰为左焦点Fi,A是椭圆与x轴正半轴的交
点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB//OP(0是坐标原点),求该椭圆的离心率.
例5已知点A(-LO),直线AM.相交于点M,且加\・灯佃=一2・
(1)求点M的轨迹C的方程;
⑵过左点(0.1)作直线PQ与曲线C交于P,Q两点,
且IPQI=牢,求直线PQ的方程.
例6(2016年10月学考)设Fi,尺为椭圆手+£=1的左、右焦点,动点P的坐标为(T,加),过
点鬥的直线与椭圆交于A,B两点.
(1)求Fi,F2的坐标;
(2)若直线PA,PF2.PB的斜率之和为0,求加的所有整数值.例7(2016年4月学考)已知椭圆才+尸=1,P是椭圆的上顶点,过P作斜率为心H0)的直线/交椭圆于另一点设点A关于原点的对称点为B.
(1)求△PAB而积的最大值:
(2)设线段的中垂线与y轴交于点N,若点N在椭圆内部,求斜率£的取值范羽.
例8(2015年10月学考)设尺,尺分别是椭圆C:
,+尸=1的左,右焦点,过尺且斜率不为零的动宜线/与椭圆C交于A,B两点.
(1)求AAFiFz的周长;
(2)若存在直线/,使得直线FzA,AB,F出与直线^=一*分别交于P,Q,/?
三个不同的点,且满足
P、Q,R到x轴的距离依次成等比数列,求该直线/的方程.
一、选择题
1.到两左点鬥(一2,0)和F2(2.0)的距离之和为4的点M的轨迹是()
A.椭圆B.线段
C.圆D.以上都不对
2.如果方程牙+鸟=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数"的取值范用是()
A.(3,+°°)B.(—8,—2)
C.(3,+8)u(-8,-2)D・(3,+8)u(-6,-2)
3・若椭圆*+阳2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的两倍,则加的值为()
1-4
A
4•如图所示,已知椭圆£+£=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为
坐标原点,那么线段ON的长是(
A.2B.4C.8D.|
3
X2V2
D石+〒=1
5・焦点在x轴上,短轴长为&离心率为§的椭圆的标准方程是(
C-25+16=1
6.椭圆亲+荒=1(“”>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是Fi、F2,若lAFil,IF02I,IF1BI
成等比数列,则此椭圆的离心率为()
7.椭圆“用+"护=1与直线y=lr交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线的斜率为乎,则号的值是()
返2^3班n^3
/>•°d•32*-/•27
&已知椭圆C:
卡+$=l(">b>0)的左、右焦点为鬥、F1,离心率为零过尸2的直线/交椭圆C于
A、B两点,若MF\B的周长为4萌,则椭圆C的方程为()
A.y=1B.令+护=1
xv2
C.迈+討1
二、填空题
9.与椭圆亍+£=1具有相同的离心率,焦点在x轴上且过点(2,—回的椭圆的标准方程是•
10.已知P(m,椭圆^+f=l上的一个动点,则存+“2的取值范用是.
11.椭圆「:
吕+$=l(“>b>0)的左,右焦点分别为戸,E,焦距为2c.若直线y=*(x+c)与椭圆T
的一个交点M满足ZMF02=2ZMF2Fi,则该椭圆的离心率为.
三'解答题
12.已知椭圆的方程为/+号=1,直线/经过椭圆的焦点与椭圆交于A,B两点,若ZkAOB的而积为|,求直线/的方程.
13.如图,己知/”>1,直线/:
x—niy—^-=0,椭圆C:
和+护=1,F】、分别为椭圆C的左、右焦
答案精析
知识条目排查
知识点一
椭圆焦点焦距
(1)a>c
(2)a=c(3)a 知识点二 加2b2c*=“2 题型分类示例 例1 (1)B (2)乎 解析(DY点P在线段AN的垂直平分线上, : .\PA\=\PN\. 又AM是圆的半径, •••IPMI+\PN\=IPMI+IPAI=L4MI =6>IMNI, 由椭圆定义知,点P的轨迹是椭圆. 75 (2)由椭圆方程知,以=25,沪=亍, .? 25.5 */•c=2»2c=5・ 在△PFlF2中, IFiF2卩=IPFi卩+IPF2I2一2IPFillPFilcos60°, 即25=IPFiI2+IPF2I2-IPFiI-IPFzI.®由椭圆的定义得10=IPF】l+IPF2l,即1OO=IPF1I2+IPF212+2IPF1MPF2I.②由②一①,得3IPF1MPF2I=75, AIPFihlPF2l=25, /.SAFiPF2=ylPFillPF2l-sin60° 例2D 例3"+春=1 解析设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0.m^n)・因为点(晋,书)和点(晋,1)都在椭圆上, "(誓)2+小(萌)2=1,加(斗^)2+”・2=1, 所以所求的椭圆的标准方程为*+曽=1.例4解 (1)由題意得2b=“+c,: .4b2=(a+c)2, 又•.•“2=夕+ 2,.・.4(“2_c2)=a2+2“c+c2,即3a2—2ac•—5c2=Ot 巧-5・(护=0, 即5・(£)2+2・£一3=0, aa •c3 ••£=一=三・ a5 (2)由题意可设P(—c,)®)(c为半焦距),kop=—严,k: \B=一夕,由于OP//AB, ■•U •一7一一7爪一丁 把K_c,牛)代入椭圆方程得 例5解 (1)设M(x,y)9 •」一」一=“ ■> •W+号=i(xH±i). (2)当直线的斜率不存在,即P0是椭圆的长轴时,其长为2迈,显然不合题意,即直线P0的斜率存在・ 设直线P0的方程是y=kx+\.P(xnyj),Q(x29力),则yi—yi=k(x\—X2)9 联立 消去y得(疋+2)卫+2恋一1=0, V』=4后+4伙2+2)=8(Q+1)>0, ••MR •: \PQ\=t\l(X\—A*2)2+Gt1—J2)2=7(\+疋)[(*1+也)2—4xiX2]=°&L+1 -272肿+2, 3yf2厂Q+1 A\PQ\=2=2返疋+2‘ 疋=2,k=±yf29 •••直线P0的方程是y=±a/2.v+1. 例6解 (1)尺(一1,0),F2(l,0). (2)①当直线AB的斜率不存在时,由对称性可知,皿=0. ②当直线的斜率存在时,设直线的斜率为匕 A(・myi)>B(x29ya). 由题意得rH—1,X2H-1,直线AB的方程为y=kx-k. 直线PF2的斜率为一给 g—伙+加) A2+1 化简整理得(4k—〃】)X]X2—3〃? (jvi+q)—(4k+5皿)=0.(*)将直线AB方程y=k(x-V)代入椭圆方程,化简整理得 (4Q+3)*—8Qx+4Q—12=0. 由根与系数的关系得“+X2= 8Q 4后+3‘ 4112 代入(#)式并化简整理得16Q加+20£+加=0・ "十20斤 川W=_T6? +1- 当k=0时,m=0; ….20比1..201则5当诊°时'|〃戶碍^簪P 故加的所有整数值是一2,一1,0丄2・例7解 (1)由题意得椭圆的上顶点P(O,1). 设点A为(xo,yo), 因为B是A关于原点O的对称点, =2S匕pao=2X*IPOIIx()l=IaoL 因为一2WxoW2,所以当xo=±2时,S有最大值为2. (2)由⑴知P(0.1),B(—xg一对血H0且內工一1),所以直线PB的斜率为中,线段PB的中点为(一岁号巴于是PB的中垂线方程为 由题意,Xo= Ek_\-4k12一1+4心>,0=l+4F 1-(-悬)2_(务郑 -以$N=]_4p 2(E尹1) _12股 二—1+4T 因为点N在椭圆内部, 12启 所以一lv—yzp莎<1, 解得—%: 普. 又由已知EHO,所以斜率k的取值范围是(一乎,0)U(0,咨). 例8解⑴因为椭圆的长轴长2“=2辺, 焦距2c=2. 又由椭圆的定义得L4Fil+IAF2l=2n, 所以AAF,F2的周长为 IAFil+lAF2l+lFiF2l=2迈+2. (2)由题意得/不垂直于两坐标轴, 故设/的方程为y=k(x+l)(RHO), 1L 于是直线I与直线x=—㊁交点Q的纵坐标为yQ=j. 设Agyi),B(X2.yz)> 显然X2^1♦ 所以直线尸2人的方程为>==(兀一1), X]" 故直线恥与直线一技点P的纵坐标为k尹, 因为P,Q、R到x轴的距离依次成等比数列, 所以1〉词・1艸1=切|2, 整理得 9LV|X2+(X1+X2)+ll=LviX2—(XJ-|-X2)+11.(*)联立y=k(x+l)与椭圆方程,消去y得(1+2Q)W+4Rr+2Q—2=0, 代入(*)并化简#18^-11=9. 解得k=^, 经检验,直线/的方程为>'=±^(1-4-1).考点专项训练 1.B 2.D 3・A 4.B 5.C 6.B 7.A 8-A[•••△AFiB的周长为4伍•••滋=込戸, 离心率为習,・・・c=l, ・・・bfp二? =逗,・•・椭圆C的方程为¥+弓=1.] 9舟 解析由题意可设椭圆的方程为兰+丘=1 4加十3/7 将点(2,—护)代入椭圆方程,解得加=2, ・•・椭圆的标准方程为扌+£=】• 10.[1.2] 解析因为P(加,")是椭圆^+-|=1上的一个动点,所以协2十与=1,即宀2—加2, 所以/rr+? ? 2=2—/rr, 又一所以1W2—“FW2, 所以lW"*+“2£2. 11.y[3—1 解析由直线方程为y=V3(x+c), 知ZMF]F2=60。 ,又ZMF1F2=2ZA/F2Fh所以ZMF2Fi=3O% 所以MF】丄ME, 所以IMFil=c,IMF2I=V3c,所以IMF】I+IMF』=c+J5c=2a 即*=育=也—L 12.解由椭圆的方程W+号=1,得“2=2,b2=l,c2=l. 椭圆的焦点为Fi(O,-1),F2(OJ). 据题意,当直线/经过焦点F2(OJ)时, 可设其方程为y=kx+l9 y=kx+1, 建立方程组治* 消去”得伙2+2)W+2总一1=0. 二2迄伙2+1) =Q+2• 又原点0到直线/的距离为 S^A()s=^AB\d= 迈衣+] 疋+2 由已知,得 冋Q+1 Q+2 解得k=±\・ 所以经过焦点r2(O,l)时,直线/的方程为y=x+1或),=一x+1; 同理,经过焦点Fi(O,一1)时,直线/的方程为y=x-\或〉=—x—l. 13.解 (1)丁直线x—my——=0经过点F2(yjfn2—\90), 2 =牛.得m2=2. 又Tm>1♦・: m=逗・ 故直线/的方程为x-V2y-l=0. (2)设A(x\9yi),B(x29ya)* 由—8(丁一1)=—〃? 2+8>0, 知加2<8,且有yi+y2=_学,PJ2= 由于Fl(—c,0),F2(c,0),故0为鬥尸2的中点由G,H分别为△AF}F2.△BF]F? 的重心, IG吩色护+气型 设M是GH的中点,则M(斗呂公),由题意可知,2IMOklGHI, 、八Ji+y2、”_(xi—肥)2.(yi-yif6》+(—? -)-】<— 而“也+y『2=(wyi+牛)(〃M+今)+〉‘『2 又Vm>\且J>0t/.\ •••加的取值范围是(1.2)・ 1—yo_aoz|.切、 =_^TT(x+2)- [%2 令a=0,得N的纵坐标• 又直线/的方程为y=M+l, 将方程代入手+尸=1并化简得 (1+4W+8也=0.
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