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极值计算专题
全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)
专题04极值计算先判断,单调原则不能撼
【题型综述】
函数极值问题的常见类型及解题策略
(1)函数极值的判断:
先确定导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右
两侧的导数符号.
(2)求函数f(x)极值的方法:
①确定函数f(X)的定义域.
②求导函数r(x).
③求方程f'(x)=o的根.
④检查r(x)在方程的根的左、右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,
那么f(x在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得
极小值;如果r(x在这个根的左、右两侧符号不变,则f(x)在这个根处没有
极值.
(3)利用极值求参数的取值范围:
确定函数的定义域,求导数f'(x),求方程
f\x}=0的根的情况,得关于参数的方程(或不等式),进而确定参数的取值或
范围.
【典例指引】
例1.已知函数f(X)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x亡R),其中a亡R
⑴当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率;
2
⑵当a蔦时,求函数f(x)的单调区间与极值.
3
全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)
【解析】⑴当"00寸,八力=(P+2力45 所以曲线y=TXQfe点(1J⑴放h的切线的斜率为茲. ⑵f=+(£)+2)jc—2g^ 力二0,解得K-一2口,=d—2由d工彳知,-2a^a—2. 以下分两种情况讨论: ①若口>彳』则-2aJ-£当梵变化时』八型只司的娈化情况如下表: X (-00,-2^1) —2a (—2码a—2) 0-2 (*3-2,+00) + 0 — 0 + 极大值 极小值 Z 所以/(涎(TO,-加)血-2+g)rt是増函数,在(-2^,g-2例是碱函数. 函数=-泌取得极大值找-2心a/(-2^)=如血函数r(劝在*4—魂取得极才、值住-2>且-2)=(4-力)总Z 2 ②若a<-,则-2a>a-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 3 x (-处,a-2) a-2 (a-2,,2a) -2a (-24,+处) + 0 — 0 + 极大 值 极小 值 所以f(x)在(Y,a-2),(-2a,+比)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数。 函数f(X)在X=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-笑归心. 函数f(X)在X=-2a处取得极小值f(-2a),且f^2a^3a^^a. 2 例2.已知函数f(x)=a-21nx的图象在x=1处的切线过点(0,2-2a),a,^R. x 全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解) (1)若a+b=8,求函数f(x)的极值点; 5 (2)设X1X2X1X)是函数f(x)的两个极值点,若1今<1,证明: f(X2)-f(xj<1•e (提示e2俺7.40) 【思路引导】 2 ax2x+b,则f, (1)=a+b-2.又f (1)=a-b,曲线y=f(x)在x=1处 的切线过点(0,2-2a)利用斜率相等a—bT2—2aLa+b-2,可得a=b.,又a+b=E, 1-0 "c5 可得a=b=4,则厂(x)=2x2-5x+2=0,可得函数f(x)的极值点. 5 Xi 由〔牛灯,可得x^—>1,a: >0,二f(xi)是函数f(X)的极大值,f(X2)是函数e f(X1)-f(X2)=41x;1-1nX)? f(x)的极小值,.••要证f(X2)-f(X,)<1,只需f(X1)-f(X2)<1,计算整理可得 令t=X12,贝J」f et十12 数讨论函数h(t)的性质即可得证. 【解析】Tf(力=竺芋工…⑴=4+12-又才⑴M-4曲线尸f〔力在*1处的切线 X C1)Ta+b=£,・"・门=b=yJ令/*(兀)=0,彳專2x^—5jc+2=0, 解得二一或2」二/(兀)的极值点为一或2・ X上 全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解) 例3.已知函数f(X)=x3-2mx2-3nx+4m2在x=1处有极值10. (1)求实数m,n的值; (2)设a<^R,讨论函数f(x)在区间[a,a+l]上的单调性. 【思路引导】 ⑴根据题意得到关于讪勺方程组{ff: 鶯: 爲: 。 解方程组求得m'n即可; (2)先判断函数f(x)=x2+4x2-11x+16的单调性,然后根据a的取值情况分 类讨论判断函数f(x在区间[a,a+1]上的单调性. 全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解) 【解析】(1>/(兀)走义域为底fJ ■//(X)在蓝=1处有极倩10, 5)=0且/⑴=10, 眄3—4加—3科, 1-2耕—3科+4和2=10 3m=-2 «! =— 2或{11 «=—13 当蹿=丄』=—1时,/(X)=3;^-6x+3=3(x-lf>0,2 当iM=—2/=¥时,/(JC)=3壬+8兀一11=(£—1)(3工+11), : .fg在芷=1处有极值10时,m=-2.#l=y. (2)由 (1)可知f(x)=x3+4x2-11X+16, 二f'(x)=3x2+8x-11=(x—1X3X+11) 当X变化时,f\x},f(X)的变化情况如下表: X (11y V,3丿 11 3 (号〕 1 (1,址) f'(X) + 0 - 0 + f(X) 增 极大 减 极小 增 全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解) 6-¥)上单调递増,在区间(-¥卫+1]上 二①当口即时,/(力在E间[比4十1]上的单调递増,
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