研究主题铺砖汇总.docx
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研究主题铺砖汇总.docx
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研究主题铺砖汇总
研究主題-鋪磚
研究者:
李宗翰黃彥愷
研究動機
有一次,我們在暑假翻閱一本名為(名人趣題妙解)的書,剛好翻到這個問題,既容易了解又有一點深度,而且和我們比較有興趣的幾何學有關,所以便把它當作獨立研究的題目。
研究目的
1,找出鋪磚排法的規律
2,找出何種類型的長方形不可鋪磚
一:
研究主題-鋪磚問題
規則:
1,用磚塊鋪滿任何PXQ的長方形
(P為長,Q為寬,且P,Q可相等)
2,依照建築規則,不可有斷層
3,PXQ不可等於磚塊
例如:
證明P和Q不能同時為奇數
這一個證明其實很簡單。
因為P為奇數,且Q為奇數,則PQ亦為奇數,而2X1是偶數,若以磚塊鋪PQ,則為PQ除以2X1等於奇數除以偶數(無法整除)。
奇數除以偶數
(2n+1)
=(2n÷2n)+(1÷2n)
=1…1
證明P或Q不可等於1
因為必須用磚塊鋪滿大的長方形,若P或Q等於1,則長方形的長或寬便有斷層,因此不符合鋪磚問題的規則,所以P或Q絕對不能為1。
證明P或Q不可等於2
這一類長方形鋪磚問題的證明方法,有點類似證明P或Q不可等於1的方法,如果P或Q為2,便會形成斷層,所以P或Q為2的長方形依然無解。
證明P或Q不可等於3
此類長方形可以將所有可能畫出來:
若要使長方形無斷層,勢必會無限延伸下去,因此要排出無斷層圖形是不可能的。
證明P或Q不可等於4
此類長方形也要將所有可能畫出來:
所有此類的長方形,不是有斷層,就是會無限延伸下去,由此可證P或Q不可等於4。
證明P,Q不可同時等於6:
首先要證明格線必定穿過偶數個磚塊。
拿任何一條格線來看,其上下或左右邊的面積必為偶數。
我們觀察和格線相交的磚塊一定是偶數個,以下圖為例,格線左邊共有12格,減掉左邊完整磚塊總面積,必定是偶數減偶數,所以每條格線不可能只被1個磚塊蓋過,也就是至少要兩個磚塊蓋過它。
6X6正方形有10條格線,一個磚塊只能蓋住一條格線,而每條格線至少要被兩個完整磚塊蓋住,所以全部至少要20個磚塊。
但是6X6正方形只有18個磚塊(36÷2),因此不可能在無斷層的情況下排出6X6正方形。
我們發現可符合鋪磚規則的最小長方形為5X6,我們並將10X10以內的PQ長方形排出來,它們的鋪磚方法如下:
5X6
5X8
5X10
6X7
6X8
6X9
6X10
7X8
7X10
8X8
8X9
8X10
9X10
10X10
發現:
1.用鋪磚排出長方形時,先把需要用到的磚塊(面積除以2),三個三個排成如圖1的樣子,剩下的擺在一邊,即可以較快速的方法鋪滿長方形。
PS:
如果情形剛好為3的倍數,要將三個長方形先放在一邊,最後再鋪上去。
以5X6,5X8為例:
2.若長方形P1,Q1為長方形P2,Q2的倍數,可以以長方形P2,Q2的鋪磚方法擴展來鋪長方形P1,Q1。
反之,也可以將較大的長方形縮小鋪磚後再擴大。
以1個P=5,Q=6的長方形為例:
擴展完會發現:
長方形會有許多斷層,但是這些斷層並非沒有規律。
在每條斷層附近總會發現相似的圖形,只要把這些圖形移位,就可以去除斷層。
結論:
1.PQ必需≧5
2.PQ不可同時為奇數
3.所有PQ≧5的長方形中,除了PQ為奇數的長方形以外,只有6X6長方形不可鋪磚
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