文都教育常考题型线性代数题型总结.docx
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文都教育常考题型线性代数题型总结
线性代数局部
题型一:
行列式的性质
1.设α,β,γ1,γ2,γ3为四维列向量,A=(α,γ1,γ2,γ3),B=(β,γ1,3γ2,γ3),|A|=3,
|B|=21,求|A+B|。
解答:
A+B=(α+β,2γ1,4γ2,2γ3),
|A+B|=|α+β,2γ1,4γ2,2γ3|=|α,2γ1,4γ2,2γ3|+|β,2γ1,4γ2,2γ3|
=16|α,γ,γ,γ|+16
1233
|β,γ1,3γ2,γ3|=16⨯3+
⨯21=160。
3
2.设A,B都是三阶矩阵,A相似于B,且|E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0,求|B-1+2E|。
解答:
由|E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0,得A的特征值为λ1
=1,λ2
=1,λ
23
=1,
3
因为A~B,所以B的特征值为λ1
=1,λ2
=1,λ
23
=1,B-1的特征值为1,2,3,于是
3
B-1+2E的特征值为3,4,5,故|B-1+2E|=60。
2-5
3.设D=-37
5-9
4-6
解答:
12
-14
27,〔1〕计算D;〔2〕求M31+M33+M34。
12
2-5
〔1〕D=-37
5-9
4-6
122-51
-14=-120
27110
122-10
2
6=1⨯A=M
31313
0
-12
=11
2-1
6-1
3=0
00
26
39
312
=9。
〔2〕M31+M33+M34=1⨯A31+0⨯A32+1⨯A33+(-1)⨯A34
2-51
=-37-1
22-5
4=-37
-14
21=1⨯A=M
-5-14
-5-14
-5-14
-39
=721=37
21=3-309=-3⨯A12=33
-2=-63。
-6-36
-2-1230-2
4.设A,B为三阶矩阵,且A~B,且λ1=1,λ2=2为A的两个特征值,|B|=2,求
(A+E)-1O
解答:
O
。
(2B)*
因为A~B,所以A,B特征值相同,设另一特征值为λ3,
由|B|=λ1λ2λ3=2得λ3=1。
A+E的特征值为2,3,2,(A+E)-1的特征值为1,1,1,那么|(A+E)-1|=1。
23212
因为B的特征值为1,2,1,所以B*的特征值为|B|,|B|,|B|,即为2,1,2,
121
于是|B*|=4,|(2B)*|=|4B*|=43|B*|=256,
(A+E)-1
故
O
O
(2B)*
=|(A+E)-1||(2B)*|=
1⨯256=64。
123
题型二:
求矩阵方程
⎛120⎞
⎜⎟
*-12
1.设A,B都是三阶矩阵,A=⎜2
⎜
⎝
30⎟,且满足(A)
2⎠
B=ABA+2A
,求B。
解答:
|A|=-3,(A*)-1=(|A|A-1)-1=
1
|A|
A=-1A,
3
由(A*)-1B=ABA+2A2,得-1AB=ABA+2A2,注意到A可逆,那么
3
-1B=BA+2A,解得B=?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
题型三:
矩阵的秩
1.设A为n⨯m阵,B是m⨯n阵,且AB=E,证明r(B)=n。
解答:
由AB=E,得r(AB)=n,因为r(AB)≤r(B),所以r(B)≥n,又因为r(B)≤min{m,n}≤n,所以r(B)=n。
2.设A为n阶矩阵,证明:
r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β,使得
A=αβT。
解答:
设r(A)=1,那么A是非零矩阵且任意两行都成比例,故
⎛a1b1A=⎜a2b1
a1b2a2b2
La1bn⎞
,
La2bn⎟
⎜LLLL⎟
⎜
abab
⎟
Lab
⎛a1⎞
⎛a1⎞
⎛b1⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜a2⎟
⎜a2⎟⎜b2⎟T
于是A=⎜⎟(b1
b2L
bn),令α=⎜⎟,β=⎜⎟,故A=αβ
,显然α,β为非零向量。
⎜M⎟
⎜M⎟⎜M⎟
⎜a⎟
⎜a⎟⎜b⎟
⎝n⎠
⎝n⎠⎝n⎠
设A=αβT,其中α,β为非零向量,那么A为非零矩阵,于是r(A)≥1,
又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1,故r(A)=1。
题型四:
向量组的线性相关性
⎛1⎞⎛2⎞⎛t-1⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
1.设α1=⎜t+2⎟,α2=⎜-1⎟,α3=⎜1⎟线性相关,但任意两个向量线性无关,求参数t。
⎜3⎟⎜1⎟⎜-1⎟
⎝
解答:
⎛1⎞
⎠⎝
⎛2⎞
⎠⎝⎠
⎛t-1⎞
12t-1
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
α1=⎜t+2⎟,α2=⎜-1⎟,α3=⎜1⎟线性相关的充分必要条件是t+2-1
1=0,
⎜3⎟⎜1⎟
⎜-1⎟
31-1
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
⎛1⎞⎛2⎞⎛0⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
解得t=-5或t=1,当t=1时,α1=⎜3⎟,α2=⎜-1⎟,α3=⎜1⎟,显然任意两个向量不成
⎜3⎟⎜1⎟⎜-1⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎛1⎞⎛2⎞⎛-6⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
比例,故线性无关;当t=-5时,α1=⎜-5⎟,α2=⎜-1⎟,α3=⎜1⎟,显然任意两个向量
⎜3⎟⎜1⎟⎜-1⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
也不成比例,故t=-5或t=1。
2.设α1,α2,α3线性无关,证明α1+α2+α3,α1+2α2+3α3,α1+4α2+9α3线性无关。
解答:
⎛111⎞
⎜⎟
(α1+α2+α3,α1+2α2+3α3,α1+4α2+9α3)=(α1,α2,α3)⎜12
⎝3
4⎟,
⎟
⎠
111
⎛111⎞
⎜⎟
因为124=(3-1)(3-2)(2-1)=2≠0,所以⎜124⎟可逆,再由α1,α2,α3线性无
139⎜⎟
关,所以α1+α2+α3,α1+2α2+3α3,α1+4α2+9α3线性无关。
题型五:
向量组的线性表示
1.设向量α,β,γ线性无关,但向量β,γ,δ线性相关,证明:
δ可由α,β,γ线性表示。
解答:
因为α,β,γ线性无关,所以β,γ线性无关,又因为β,γ,δ线性相关,所以δ可由β,γ线性表示,于是δ可由α,β,γ线性表示。
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛2⎞
⎛1⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
2.设α1=⎜1⎟,α2=⎜0⎟,β1=⎜-1⎟,β2=⎜-1⎟,求出可由两组向量同时表示的向量。
⎜0⎟⎜1⎟
⎜3⎟⎜1⎟
⎝⎠⎝⎠
解答:
⎝⎠⎝⎠
令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0,
⎛112
⎜
1⎞⎛112
⎟⎜
1⎞⎛11
⎟⎜
21⎞
⎟
A=(α1,α2,β1,β2)=⎜10
-1-1⎟→⎜0
-1-3
-2⎟→⎜01
32⎟
⎛11
⎜
20⎞
⎟
⎝3⎟⎜
⎛10-10⎞
⎜⎟
131⎟⎜00⎟
→⎜01
30⎟→⎜0130⎟,
⎝00⎠⎜00⎟
⎛k1⎞⎛1⎞
⎜⎟⎜⎟
那么⎜k2⎟=k⎜-3⎟,所以γ=kα
-3kα=-kβ+0β。
⎜l⎟⎜1⎟
1212
l
⎜1⎟
⎝2⎠
⎜⎟
⎝0⎠
题型六:
方程组解的结构
1.设α1,α2,α3是四元非齐线性方程组
AX=b的三个解向量,R(A)=3,且
⎛1⎞⎛-2⎞
α+α
⎜⎟
1
=,α+α
⎜
=⎜4
⎟
⎟,求方程组AX=b的通解。
12⎜3⎟23⎜2⎟
⎜⎟⎜⎟
2-8
⎝⎠⎝⎠
解答:
因为R(A)=3,所以方程组AX=b的通解形式为kξ+η,
⎛-3⎞
⎛-1⎞
⎜⎟
⎜3⎟1
⎜⎟
⎜2⎟
其中ξ=α3-α1=(α2+α3)-(α1+α2)=⎜-1⎟,特解η=2(α2+α3)=⎜1⎟,
⎜⎟⎜⎟
-10-4
⎛-3⎞
⎝⎠⎝⎠
⎛-1⎞
⎜⎟
⎜5⎟
⎜⎟
⎜2⎟
所以原方程组的通解为X=k⎜-1⎟+⎜1⎟。
⎜⎟⎜⎟
-10-4
⎝⎠⎝⎠
2.设A为n阶矩阵,A的各行元素之和为0且R(A)=n-1,那么方程组AX=O的通解为
。
解答:
k(1,1,L,1)T,其中k为任意常数。
3.设A是m⨯n阶矩阵,那么以下命题正确的选项是[]
(A))假设m (B)假设m>n,那么方程组AX=b一定有唯一解; (C))假设R(A)=n,那么方程组AX=b一定有唯一解; (D) 假设R(A)=m,那么方程组AX=b一定有解。 解答: 选(D) 因为当R(A)=m时,一定有R(A)=R(A)=m,所以方程组AX=b一定有解。 题型七: 含参数的方程组的解的讨论 ⎧ax1+x2-x3=1 1.讨论⎪x-x+x=b的解的情况,在方程组有解时求出其解,其中a,b为常数。 ⎨123 ⎪2x+2x+bx=2 ⎩123 解答: ⎡a1-11⎤⎡a 1-11⎤⎡a 1-11⎤ A=⎢1-11 b⎥→⎢a+100b+1⎥→⎢2(1-a) 0b+20⎥ ⎢ ⎢⎣22 ⎥ b2⎥⎦ ⎢ ⎢⎣2-2a 0b+2 ⎥ 0⎥⎦ ⎢ ⎣⎢a+10 ⎥ 0b+1⎥⎦ 。 ⎡1 →⎢0 ⎢⎣0 -1 b+2 0 a2(-a)a+1 1⎤ 0⎥=Bb+1⎥⎦ 〔1〕当a≠-1,b≠-2时,方程组有唯一解; 〔2〕当a=-1,b≠-1时,因为r(A)≠r(A),所以方程组无解; 〔3〕当a=-1,b=-1时,方程组的同解方程组为 ⎧-x1+x2-x3=1 其通解为 ⎨ ⎩4x1 , +x3=0 ⎛1⎞⎛0⎞ ⎜⎟⎜⎟ k⎜-3⎟+⎜1⎟〔其中k为任意常数〕; ⎜-4⎟⎜0⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎡1-1a 1⎤⎡1-1a1⎤ 〔4〕当b=-2,a≠1时,A→⎢00 2(1-a) 0⎥→⎢002(1-a)0⎥, ⎢ ⎢⎣00 a+1 ⎥ -1⎥⎦ ⎢ ⎢⎣00 ⎥ 0-1⎥⎦ 因为r(A)≠r(A),所以方程组无解; ⎧x1+x2-x3=1 〔5〕当b=-2,a=1时,方程组的同解方程组为⎨ ⎩ 2x1 , =-1 其通解为 ⎛-1⎞ ⎜⎟ ⎛0⎞2 ⎜⎟⎜3⎟ k⎜1⎟+⎜⎟。 ⎜1⎟ ⎜2⎟ ⎝⎠⎜0⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 题型八: 求特征值与特征向量并讨论矩阵的可对角化 0 1.A为n阶可逆矩阵,假设A有特征值λ,那么(A*)2+3A*+2E有特征值。 解答: (|A|)2+3|A|+2。 λ0λ0 2.设A是3阶实对称阵,R(A)=1,A2-3A=O,设(1,1,-1)T为A的非零特征值对应的特 征向量。 〔1〕求A的特征值;〔2〕求矩阵A。 解答: 1 〔1〕A2-3A=O⇒|A||3E-A|=0⇒λ=0,3,因为R(A)=1,所以λ =3,λ2 =λ3 =0。 〔2〕设特征值0对应的特征向量为(x,x,x)T,那么x+x-x=0,那么0对应的特征向 123 ⎛1 TT⎜ 123 -11⎞⎛3⎞ ⎟-1⎜⎟ 量为α2=(-1,1,0) α3=(1,0,1) ,令P=⎜11 ⎜-10 0⎟,P ⎟ ⎠ AP=⎜0⎟, ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛3 ⎜ A=P⎜0 ⎜ ⎝ ⎞ ⎟-1 ⎟P 0 ⎟ ⎠ 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2 ,其对应的特征向量为α1,α2,α3,令 P=(3α,-α,2α),那么P-1AP等于[] (A) ⎝0⎠ ⎜-1⎟ ⎜-1⎟ ⎟ 。 ⎜-2⎟ 解答: (C) 4.设A是n阶矩阵,且A2+A-6E=O,证明A可对角化。 解答: 由A2+A-6E=O,得(2E-A)(3E+A)=O,于是r(2E-A)+r(3E+A)≤n;又r(2E-A)+r(3E+A)≥r[(2E-A)+(3E+A)]=r(5E)=n, 那么r(2E-A)+r(3E+A)=n。 〔1〕当r(2E-A)=0时,A=2E; 〔2〕当r(3E+A)=0时,A=-3E; 〔3〕当r(2E-A)>0且r(3E+A)>0时,因为r(2E-A)+r(3E+A)=n, 所以r(2E-A) 于特征值-3的线性无关的特征向量的个数为n-r(3E+A), 因为n-r(2E-A)+n-r(3E+A)=n,所以矩阵A可对角化。 5.设A为n阶非零矩阵,且存在自然数k,使得Ak=O,证明: A不可以对角化。 解答: 方法一 令AX=λX〔X≠O〕,那么有AkX=λkX,因为Ak=O,所以λkX=O,注意到X≠O,故λk=0,从而λ=0,即矩阵A只有特征值0。 因为R(0E-A)=R(A)≥1,所以方程组(0E-A)X=O的根底解系至多含n-1个线性无 关的解向量,故矩阵A不可对角化。 方法二 设矩阵A可以对角化,即存在可逆阵P,使得 1 ⎛λ ⎜ ⎜ P-1AP=⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ λ2⎟ ⎟, O⎟ λn⎠ 两边k次幂得 ⎛λk⎞ ⎜1⎟ -⎜λk⎟ P1AkP=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2⎟=O, O⎟ λk ⎟ n⎠ 从而有λ1=λ2=L=λn=0, 于是P-1AP=O,进一步得A=O,矛盾,所以矩阵A不可以对角化。 题型九: 二次型的标准型 1.三元二次型f =XTAX经过正交变换化为标准型f =y2+y2-2y2,且A*+2E非零 ⎛1⎞ 123 ⎜⎟ 特征值对应的特征向量为α1=⎜0⎟,求此二次型。 ⎜1⎟ ⎝⎠ 解答: 因为f =XTAX经过正交变换后的标准型为f =y2+y2-2y2,所以矩阵A的特征值为 123 λ=λ=1,λ =-2。 由|A|=λλλ =-2得A*的特征值为μ=μ=-2,μ =1,从而 123 123 123 1 A*+2E的特征值为0,0,3,即α为A*+2E的属于特征值3的特征向量,故也为A的属于特征值λ3=-2的特征向量。 ⎛x1⎞ ⎜⎟ 令A的数值特征值λ1=λ2=1的特征向量为α=⎜x2⎟,因为A为实对称矩阵,所以有 αTα=0,即x+x =0, ⎜⎟ x ⎝3⎠ 113 故矩阵A的属于λ1=λ2=1的特征向量为 ⎛0⎞⎛-1⎞ ⎜⎟⎜⎟ α2=⎜1⎟,α3=⎜0⎟。 ⎜0⎟⎜1⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎛0-11⎞ ⎛1⎞ 令P=(α α,α ⎜⎟⎜⎟ )=100,由P-1AP=1,得 231 ⎜ ⎜ ⎝ ⎛-1 ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠⎝ 0-3⎞ ⎟ -2⎟ ⎛1⎞⎜⎟ ⎜⎟-1⎜⎟ A=P⎜1⎟P=⎜010⎟,所求的二次型为 ⎜-2⎟ ⎜-3 0-1⎟ ⎝⎠ ⎝2⎠ f=XTAX=-1x2+x2-1x2-3xx。 2122313 2.设二次型f =2x2+2x2+ax2+2xx+2bxx+2xx 经过正交变换X=QY化为标 123121323 准型f=y2+y2+4y2,求参数a,b及正交矩阵Q。 123 解答: 二次型f =2x2+2x2+ax2+2xx+2bxx+2xx 的矩阵形式为 123121323 f=XTAX, ⎛21b⎞⎛x1⎞ ⎜⎟⎜⎟ 其中A=⎜121⎟,X=⎜x2⎟。 ⎜b1a⎟⎜x⎟ ⎝⎠⎝3⎠ ⎛1⎞ ⎜⎟ 因为QTAQ=B=⎜1 ⎜ ⎝ ⎟,所以A~B〔因为正交矩阵的转置矩阵即为逆阵〕, 4 ⎟ ⎠ 于是A的特征值为1,1,4。 而|λE-A|=λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2),所以有 λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)=(λ-1)2(λ-4),解得a=2,b=1。 当λ1=λ2=1时,由(E-A)X=0得 ⎛-1⎞⎛-1⎞ ξ=⎜⎟ξ⎜⎟; 1⎜1⎟, ⎜0⎟ 2=⎜-1⎟ ⎜2⎟ ⎝⎠⎝⎠ 当λ3=4时,由(4E-A)X=0得 ⎛1⎞ ξ=⎜⎟, 3⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝⎠ ⎛-1⎞ ⎛-1⎞ ⎛1⎞ 显然ξ,ξ,ξ 两两正交,单位化为γ ⎜⎟ 1,γ =1⎜-1⎟,γ 1⎜⎟ 1, 123 12⎜⎟2 6⎜⎟3 3⎜⎟ ⎜0⎟ ⎜2⎟ ⎜1⎟ ⎛-1-11⎞ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎜⎟ ⎜263⎟ 那么Q=⎜1-11⎟。 ⎜263⎟ ⎜21⎟ ⎜0⎟ ⎝63⎠ 题型十: 正定二次型的判断与证明 1.设A是n阶正定矩阵,B为n阶可逆矩阵,证明: BTAB是正定矩阵 解答: 因为(BTAB)T =BTAT(BT)T=BTAB,所以BTAB为实对称矩阵, 对任意的X≠O,XT(BTAB)X=(BX)TA(BX), 因为B可逆,所以方程组BX=O只有零解,假设X≠O,那么BX≠O,令BX=Y≠O,因为A正定,所以XT(BT
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