五年级最大公约数与最小公倍数应用.docx
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五年级最大公约数与最小公倍数应用.docx
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五年级最大公约数与最小公倍数应用
最大公约数与最小公倍数应用
(一)
一、知识要点:
1、性质1:
如果a、b两数的最大公约数为d,则a=md,b=nd,并且(m,n)=1。
例如:
(24,54)=6,24=4×6,54=9×6,(4,9)=1。
2、性质2:
两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数,并且a×b=[a,b]×(a,b)。
例如:
(18,12)=,[18,12]=(18,12)×[18,12]=
3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
3、辗转相除法
二、热点考题:
例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。
(运用性质2)
练一练:
甲数是36,甲、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。
例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77,求这两个自然数。
分析与解:
如果将两个自然数都除以7,则原题变为:
“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11,求这两个自然数。
”
例3已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。
分析与解:
因为12,15都是a的约数,所以a应当是12与15的公倍数,即是[12,15]=60的倍数。
再由[a,b,c]=120知,a只能是60或120。
[a,c]=15,说明c没有质因数2,又因为[a,b,c]=120=23×3×5,所以c=15。
练一练:
已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少?
例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。
例5已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。
习题四
1.已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。
2.已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数。
3.已知两个自然数的和为165,它们的最大公约数为15,求这两个数。
4.已知两个自然数的差为48,它们的最小公倍数为60,求这两个数。
5.已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数。
6.已知两个自然数的和为900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432,求这两个自然数。
7、五年一班去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6个,如果减少一条船,正好每船坐9人,这个班有多少人?
8、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几?
9、已知A与B的最大公约数为6,最小公倍数为84,且A×B=42,求B。
10、已知A和B的最大公约数是31,且A×B=5766,求A和B。
11、有一盘水果,3个3个地数余2个,4个4个数余3,5个5个数余4个,问这个盘子里最少有多少个水果?
家庭练习
1.拖拉机前轮直径64厘米,后轮直径96厘米,拖拉机开动后,前轮至少转多少圈,才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地?
2.现在有香蕉42千克,苹果112千克,桔子70千克,平均分给幼儿园的几个班,每班分到的这三种水果的数量分别相等,那么最多分给了多少个班?
每个班至少分到了三种水果各多少千克?
3、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几?
4、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。
5、两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。
满足条件的自然数有哪几组?
例1用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少?
分析与解:
因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
498-450=48,450-414=36,498-414=84。
所求数是(48,36,84)=12。
例2现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?
分析与解:
只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。
只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。
三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。
因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。
所以所求数是101。
练习:
1、在1000到2000之间,能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有几个?
2、三个连续偶数,它们分别是12、14、16的倍数,比它们大的这样三个偶数最小各是多少?
3、四个连续自然数,它们分别是6、7、8、9的倍数,比它们大的这样四个自然数最小各是多少?
4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步,甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米。
至少经过多少时间三人又同时从出发点出发?
5、两数的乘积是9000,它们的最大公因数是15,这个两数各是多少?
6、甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。
三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会?
7、两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数。
8、有一堆桔子,按每4个一堆分少1个,按每5个一堆分也少1个,按每6个一堆分还是少1个。
这堆桔子至少有多少个?
【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛,狐狸每次跳4.5米,袋鼠每次跳2.75米,它们每秒都只跳一次。
比赛途中,从起点开始,每隔12.375米设一个陷阱,当它们之中一个先掉进陷阱时,另一个跳了多少米?
【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体,至少需要多少块这样的长方体木块?
【例6】
(1)A、B两数的乘积是216,它们的最小公倍数是36。
A、B两数的最大公因数是多少?
(2)甲乙两数的最小公倍数是288,最大公因数是4,甲数是36,乙数是多少?
【例7】加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?
练习:
1.甲数是乙数的三分之一,甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少?
乙数是多少?
2.一块长方形地面,长120米,宽60米,要在它的四周和四角种树,每两棵之间的距离相等,最少要种树苗多少棵?
每相邻两棵之间的距离是多少米?
3.已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31.求这两个自然数。
4.有一队同学去野炊,吃饭时,他们两人一个饭碗,三个人一个菜碗,四个人一个汤碗,一共用了91个碗。
参加野炊的至少有多少同学?
带余数的除法
前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外,例如:
16÷3=5…1,即16=5×3+1.此时,被除数除以除数出现了余数,我们称之为带余数的除法。
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r。
当r=0时,我们称a能被b整除。
当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商).用带余除式又可以表示为a÷b=q…r,0≤r<b。
例1一个两位数去除251,得到的余数是41.求这个两位数。
分析这是一道带余除法题,且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解:
∵被除数÷除数=商…余数,
即被除数=除数×商+余数,
∴251=除数×商+41,
251-41=除数×商,
∴210=除数×商。
∵210=2×3×5×7,
∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
例2用一个自然数去除另一个整数,商40,余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933,求被除数和除数各是多少?
解:
∵被除数=除数×商+余数,
即被除数=除数×40+16。
由题意可知:
被除数+除数=933-40-16=877,
∴(除数×40+16)+除数=877,
∴除数×41=877-16,
除数=861÷41,
除数=21,
∴被除数=21×40+16=856。
答:
被除数是856,除数是21。
例3某年的十月里有5个星期六,4个星期日,问这年的10月1日是星期几?
解:
十月份共有31天,每周共有7天,
∵31=7×4+3,
∴根据题意可知:
有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
∴这年的10月1日是星期四。
例43月18日是星期日,从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日(第二天),15日(第三天),…)的第1993天是星期几?
解:
每周有7天,1993÷7=284(周)…5(天),
从星期日往回数5天是星期二,所以第1993天必是星期二.
例5一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数。
这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有:
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
”
关于这道题的解法,在明朝就流传着一首解题之歌:
“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.”意思是,用除以3的余数乘以70,用除以5的余数乘以21,用除以7的余数乘以15,再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105,那么就减去105,直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下:
方法1:
2×70+3×21+2×15=233
233-105×2=23
符合条件的最小自然数是23。
例5的解答方法不仅就这一种,还可以这样解:
方法2:
[3,7]+2=23
23除以5恰好余3。
所以,符合条件的最小自然数是23。
方法2的思路是什么呢?
让我们再来看下面两道例题。
例6一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小的自然数。
分析“除以5余3”即“加2后被5整除”,同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。
解:
[5,6]-2=28,即28适合前两个条件。
想:
28+[5,6]×?
之后能满足“7除余1”的条件?
28+[5,6]×4=148,148=21×7+1,
又148<210=[5,6,7]
所以,适合条件的最小的自然数是148。
例7一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合条件的最小自然数。
解:
想:
2+3×?
之后能满足“5除余3”的条件?
2+3×2=8。
再想:
8+[3,5]×?
之后能满足“7除余4”的条件?
8+[3,5]×3=53。
∴符合条件的最小的自然数是53。
归纳以上两例题的解法为:
逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后,为了再满足另一个条件,需做数的调整,调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。
解这类题目还有其他方法,将会在有关“同余”部分讲到。
例8一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个,最后剩1个;如果每次取5个或7个,最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个?
解:
2+[5,7]×1=37(个)
∵37除以3余1,除以5余2,除以7余2,
∴布袋中至少有小球37个。
例969、90和125被某个正整数N除时,余数相同,试求N的最大值。
分析在解答此题之前,我们先来看下面的例子:
15除以2余1,19除以2余1,
即15和19被2除余数相同(余数都是1)。
但是19-15能被2整除.
由此我们可以得到这样的结论:
如果两个整数a和b,均被自然数m除,余数相同,那么这两个整数之差(大-小)一定能被m整除。
反之,如果两个整数之差恰被m整除,那么这两个整数被m除的余数一定相同。
例9可做如下解答:
∵三个整数被N除余数相同,
∴N|(90-69),即N|21,N|(125-90),即N|35,
∴N是21和35的公约数。
∵要求N的最大值,
∴N是21和35的最大公约数。
∵21和35的最大公约数是7,
∴N最大是7。
例6甲乙两数的乘积是2700,甲乙两数的最大公因数是15。
甲乙两数各是多少?
练习
1、一张长方形纸,长72厘米,宽48厘米,把它裁成若干个相等的小正方形而没有剩余,要正方形尽可能大,可以裁多少个正方形?
2、当商取整数时,用某数去除410余5,去除242少1,去除550余10,这个数最大是多少?
3、两个数的和是836,其中一个数的末尾是0,如果把这个0抹去就与另一个数相等,这两个数各是多少?
4、两个数的最大公约数是6,最小公倍数是144,求这两个数是多少。
___学年度下学期五年级第二轮检测
语文
(考试时间:
150分钟满分:
100分)
一、基础知识(29分)
1、读拼音,写汉字。
(4分)
jǔjuéwǔrǔpáoxiàolǐmào
()()()()
2、下列各组词语中,加点字的读音全部正确的一组是()。
(2分)
A、好(hào)客似(sì)乎蒙(měng)古包妩媚(mèi)
B、清平乐(lè)亡(wáng)赖剥(bāo)皮系(jì)铃铛
C、应(yìng)变暖和(hé)情不自禁(jìn)没(mò)腿深
3、在没有错别字的一组词语后面打“√”。
(2分)(2分)
A、迫不及待昏迷不醒势不可挡淹淹一息()
B、不惜代价完好无损了如直掌实话实说()
C、运转自如随心所浴绞尽脑汁浑黄一体()
D、同归于尽始料不及废寝忘食杯水车薪()
4、下面句子语言不得体的一项是()。
(2分)
A、“我想有个家”。
(垃圾箱标语)
B、“我也有生命,请手下留情!
”(风景树标语)
C、“一定喝好,哪怕喝倒!
”(酒店标语)
5、按要求完成句子。
(6分)
(1)就像正要开放的花朵遭到严霜打击,霍金的人生面临着严峻的挑战。
这句话运用了修辞手法。
仿写:
(2)秦王不敢进攻赵国,就因为武有廉颇,文有蔺相如。
(改为“因为…所以…”的句式)
(3)每天早上妈妈都要早早地起床到市场买菜。
(改动句子顺序,使句子意思不变。
)
(4)世界各地到北京的游人都要到这儿观赏美景。
(改动句子顺序,使句子意思有所改变。
)
(5)司马迁每天忙着整理父亲留下的史料和自己走遍全国搜集来的资料。
缩句:
6、修改病句。
(3分)
(1)听了这个报告,我认识到学习文化知识。
(2)我昨天十分有趣的看了一本故事书。
(3)桌上摆放着纸、笔、书本、水杯、墨水等学习用品。
7、通过一段时间的学习,你一定积累了不少名言或诗句吧,现在就要来考考你!
(3分)
(1)关于珍惜时间方面:
(2)关于求索的道理:
(3)关于立志的道理:
8、你的班主任对工作很负责,对同学也非常关心,只是脾气急躁了一些。
(5分)
(1)请你用一句话委婉地向老师表达你希望他(她)耐心一些的意见。
(2分)
(2)同学们对班主任有情绪,请你以班长的身份,用一句话劝劝同学们。
(3分)
9、1——4单元中我比较喜欢的一篇是,我从中学到了
(2分)
二、古诗词。
(8分)
1、“最喜小儿亡赖,溪头卧剥莲蓬”一句出自宋朝词人的《清平乐·村居》,“清平乐”是。
(2分)
2、《牧童》一诗中最能展现牧童无牵无挂、自由自在形象的诗句是
,。
这首诗前两句的意思是
(3分)
3、先写出下列句子中加点字的意思,然后写句子意思。
(3分)
孔君平诣其父,父不在,乃呼儿出。
诣:
乃:
句子的意思是:
三、阅读(33分)
(一) 阅读《桥》选段,回答下列问题。
(14分)
桥
木桥前,没腿深的水里,站着他们的党支部书记。
那个全村人都拥戴的老汉。
老汉清瘦的脸上淌着雨水。
他不说话,盯着乱哄哄的人们。
他像一座山。
人们停住脚,望着老汉。
老汉沙哑地喊话:
“桥窄!
排成一队,不要挤!
党员排在后边!
”
有人喊了一声:
“党员也是人。
”
老汉冷冷地说:
“可以退党,到我这儿报名。
”
竟没人再喊。
一百多人很快排成队,依次从老汉身边奔上木桥。
水渐渐窜上来,(放纵放肆)地舔着人们的腰。
老汉突然冲上前,从队伍里(揪拖)出一个小伙子,(骂吼)道:
“你还算是个党员吗?
排到后面去!
”老汉凶得像只豹子。
小伙子瞪了老汉一眼,站到了后面。
木桥开始发抖,开始痛苦地(呻吟呼喊)。
水,爬上了老汉的胸膛。
最后,只剩下他和小伙子。
小伙子推了老汉一把:
“你先走。
”
老汉吼道:
“少废话,快走。
”他用力把小伙子推上木桥。
突然,那木桥轰地一声塌了。
小伙子被洪水吞没了。
老汉似乎要喊什么,猛然间,一个浪头也吞没了他。
1、“窜”字用音序查字法应查(),用部首查字法应查()部。
(1分)
2、在文中括号内选择恰当的词语,打上“√”。
(2分)
3、用“~~”画出文中的两个拟人句。
(2分)
4、文中“老汉似乎要喊什么”,请你联系上下文,老支书要喊什么呢?
(2分)。
5、你认为老汉是一个怎样的人?
(2分)
6、选文中老汉对小伙子的态度前后相同吗?
为什么?
(2分)
7、假如你在祭奠的现场,你有什么话对老支书说呢?
请写下来。
(3分)
(二)阅读短文,回答问题。
(19分)
离黄金只有3英尺
失败的一个最为普遍的原因,当人们被暂时挫折所压倒时就轻易地放弃。
每个人在某个时候或某种场合常会犯这种错误。
达贝的一位大叔在那些淘金热的日子里也得了“黄金病”,想到西部去采掘黄金发财。
他弄到一块矿区土地,带着锨和镐去工作。
几个星期辛勤劳动以后,他得到了报偿,找到了一块闪亮的矿石。
他需要机器把矿石挖到地面上来。
他悄悄地掩蔽护矿苗,返回老家马里兰州威廉姆堡,把这个发现告诉他的亲戚和少数邻居。
他们凑了钱,购置了所需的机器,并把它装运到矿区。
达贝和他的大叔也重返矿山工作。
第一车矿石采出来了,运到一个冶炼厂。
返回来的信息证明,他们找到了科罗拉多州含金量最丰富的矿藏。
只要再有几车矿石就能还清债务。
似乎垂手就可赚大钱。
越往下钻采,达贝和他大叔的希望愈为增长。
然而,发生了意外。
金矿的矿脉不见了,他们的希望就像天上的彩虹一样消失了。
幻想扑灭了,这一笔横财不翼而飞。
他们继续采掘,孤注一掷,想重新找到矿脉,但一切都是徒劳。
最后,他们终于撒手不干。
他们把机器卖给一个收破烂的人,只换得几百美元,然而丧气地回老家。
收破烂的人请了一位矿业工程师到矿里看了一下,再做了一点计算。
工程师说,上次失败的原因是不了解“断层线”的缘故。
计算结果表明,矿脉就在达贝停止钻采的地方在过去3英尺。
果然,就在那里重新找到了金矿﹗
收破烂的人从这个金矿赚了几百万美元,只是因为他想到了,在放弃之前应该找专家商议。
1、请借助词典理解下列词语的意思。
(2分)
不翼而飞:
孤注一掷:
2、给下列词语中加点的字选择正确的解释。
(2分)
(1)垂手A、下垂双手,表示容易B、双手下垂,表示敬意
(2)徒劳A、白白的B、仅仅
3、请仔细读一读课文,把你的理解填上去。
﹙1﹚达贝的大叔为淘金做了哪些工作?
请简要写一写。
(3分)
(2)大叔没有成功的根本原因是:
,
直接原因是:
。
收破烂人的
成功的原因是:
(请用原文中的语句回答)(6分)
(3)本文题目“离黄金只有3英尺”若改为“离黄金还有3英尺”好吗?
为什么?
(3分)
(4)将文中画“—”的句子反复读一读,然后将自己的感受和体会写下来。
(3分)
四、习作(30分)
1、你的身上一定有许多闪光点,这足以让你自豪,足以让你为自己喝彩!
请你以《为自己喝彩》为题写一篇400字以上的记叙文,选取生活中的一两件事夸夸自己,做到内容具体,语句通顺,叙述有一定的顺序,表达真情实感。
2、同学们,我们这个世界因为有“爱”而美丽,也因为有“爱”而精彩。
如果你是一个有爱心的孩子,一定能够发现那许多关于“爱”的故事。
请以“爱”为主题,写一篇400字以上的记叙文。
要求:
感情真实,内容具体,语句通顺,有一定的条理,不写错别字,正确使用标点符号。
3、材料:
王梅也来参加考试了,同学们都感到意外,她能这样做真不容易啊!
……
要求:
根据提供的材料自拟文题,抓住“感到意外”“这样做真不容易”展开合理想象,写一篇不少于400字的记叙文,要把事情的起因、经过写具体。
注意:
以上三个题目请任选一个进行习作。
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- 年级 最大公约数 最小公倍数 应用