振动和波动计算题及答案.docx
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振动和波动计算题及答案
振动和波动计算题
1..一物体在光滑水平面上作简谐振动,振幅是12cm,在距平衡位置6cm处速度是24cm/s,
求
(1)周期T;
(2)当速度是12cm/s时的位移.
解:
设振动方程为xAcost,则vAsint
(1)在x=6cm,v=24cm/s状态下有
612cost
2412sint
解得4/3,∴T2/3/2s2.72s2分
(2)设对应于v=12cm/s的时刻为t2,则由
vAsint
得
1212(4/3)sint,
2
解上式得sint0.1875
2
2
相应的位移为xcos1sin10.8cm3分
A
t2At
2
2.一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm.现把质量为4kg的物体悬挂在该弹簧的下端并
使之静止,再把物体向下拉10cm,然后由静止释放并开始计时.求
(1)物体的振动方程;
(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力;
(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5cm处所需要的最短时间.
解:
k=f/x=200N/m,
k/m7.07rad/s2分
(1)选平衡位置为原点,x轴指向下方(如图所示),t=0时,x0=
10Acos,v0=0=-Asin.
解以上二式得A=10cm,=0.2分
∴振动方程x=0.1cos(7.07t)(SI)1分
(2)物体在平衡位置上方5cm时,弹簧对物体的拉力
f=m(g-a),而a=-
2x=2.5m/s2
∴f=4(9.8-2.5)N=29.2N
3分
(3)设t1时刻物体在平衡位置,此时x=0,即
0=Acost1或cost1=0.
5cmO
∵此时物体向上运动,v<0
∴t1=/2,t1=/2=0.222s
x
1分再设t2时物体在平衡位置上方5cm处,此时x=-5,即
-5=Acost1,cost1=-1/2
3.一质点作简谐振动,其振动方程为
11
2t
x6.010cos()(SI)
34
(1)当x值为多大时,系统的势能为总能量的一半?
(2)质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少?
解:
(1)势能
1
2
WPkx总能量
2
E
1
2
2
kA
122
由题意,/4
kxkA,
2
A
2
x4.2410m2分
2
(2)周期T=2/=6s
从平衡位置运动到
A
xt为T/8.
2
∴t=0.75s.3分
11
4.一质点作简谐振动,其振动方程为x=0.24cos(t)(SI),试用旋转矢量法求出
23
质点由初始状态(t=0的状态)运动到x=-0.12m,v<0的状态所需最短时间t.
解:
旋转矢量如图所示.图3分
由振动方程可得
1
11分
π
,
3
2
t/0.667s1分
t
A
x(m)
-0.24O
0.120.24
-0.12
t=0
A
5.两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动.在振
动过程中,每当第一个物体经过位移为A/2的位置向平衡位置运动时,第二个物体也经
过此位置,但向远离平衡位置的方向运动.试利用旋转矢量法求它们的相位差.
解:
依题意画出旋转矢量图.3分
由图可知两简谐振动的位相差为
1
2
.2分
O
AA
/
x
2
A
6.
一简谐振动的振动曲线如图所示.求振动方程.
x(cm)
10
t(s)2
O
-5-10
解:
(1)设振动方程为xAcos(t)
由曲线可知A=10cm,t=0,x510cos,v010sin0
0
解上面两式,可得=2/32分
由图可知质点由位移为x0=-5cm和v0<0的状态到x=0和v>0的状态所需时间t=2s,
代入振动方程得
010cos2(2/3)(SI)
则有22/33/2,∴=5/122分
故所求振动方程为x0.1cos(5t/122/3)(SI)1分
7.一质点同时参与两个同方向的简谐振动,其振动方程分别为
-2-2
x1=5×10cos(4t+/3)(SI),x2=3×10sin(4t-/6)(SI)
画出两振动的旋转矢量图,并求合振动的振动方程.
-2
解:
x2=3×10
sin(4t-/6)-2
=3×10cos(4t-/6-/2)
-2cos(4t-2/3).
=3×10
作两振动的旋转矢量图,如图所示.图2分
由图得:
合振动的振幅和初相分别为
A=(5-3)cm=2cm,=/3.2分-2
合振动方程为x=2×10
cos(4t+/3)(SI)1分
A
1
A
xO
A
2
8.两个同方向的简谐振动的振动方程分别为
-2-2
11
x1=4×10
cos2(t)(SI),x2=3×10cos2(t)(SI)
84
求合振动方程.
-2
解:
由题意x1=4×10cos(2t)(SI)
4
y
-2
x2=3×10
cos(2t)(SI)
2
u
按合成振动公式代入已知量,可得合振幅及初相为
Ot=t′x
2324cos(/2/4)10
22
A4m
-2
=6.48×10
m2分
4sin(/4)3sin(/2)
arctg=1.12rad2分
4cos(/4)3cos(/2)
-2
合振动方程为x=6.48×10
cos(2t+1.12)(SI)1分
9.一平面简谐波沿x轴正向传播,其振幅为A,频率为,波速为u.设t=t'时刻的波形
曲线如图所示.求
(1)x=0处质点振动方程;
(2)该波的表达式.
解:
(1)设x=0处质点的振动方程为yAcos2(t)
由图可知,t=t'时yAcos(2t)01分
dy/dt2Asin(2t)01分
1
所以2t/2,2t
2
2分
1
x=0处的振动方程为yAcos[2(tt)]1分
2
1
(2)该波的表达式为yAcos[2(ttx/u)]3分
2
10.一列平面简谐波在媒质中以波速u=5m/s沿x轴正向传播,原点O处质元的振动曲线
如图所示.
(1)求解并画出x=25m处质元的振动曲线.
(2)求解并画出t=3s时的波形曲线.
y(cm)
2
24O
t(s)
解:
(1)原点O处质元的振动方程为
11
2t
y210cos(),(SI)2分
22
11
2tx波的表达式为)
y210cos((/5),(SI)2分
22
x=25m处质元的振动方程为
1
2t
y210cos(3),(SI)
2
振动曲线见图(a)2分
(2)t=3s时的波形曲线方程
2x
y210cos(/10),(SI)2分
波形曲线见图2分
y(m)
y(m)
-2
2×10
u
O510152025
x(m)
O
-2
-2×10
1
234
t(s)
(b)
(a)
11.已知一平面简谐波的表达式为y0.25cos(125t0.37x)(SI)
(1)分别求x1=10m,x2=25m两点处质点的振动方程;
(2)求x1,x2两点间的振动相位差;(3)求x1点在t=4s时的振动位移.
解:
(1)x1=10m的振动方程为
y
10t
0.13cos(1253.7)
x(SI)1分
x2=25m的振动方程为
y
x(SI)1分25125t9.
25125t9.
0.25cos(25)
(2)x2与x1两点间相位差
=2-1=-5.55rad1分(3)x1点在t=4s时的振动位移
y=0.25cos(125×4-3.7)m=0.249m2分
0.14如图,一平面波在介质中以波速u=20m/s沿x轴负方向传播,已知A点的振动方程为
2(SI).y310cos4t
(1)以A点为坐标原点写出波的表达式;
(2)以距A点5m处的B点为坐标原点,写出波的表达式.
u
Bx
A
解:
(1)坐标为x点的振动相位为
t4[t(x/u)]4[t(x/u)]4[t(x/20)]2分
2tx
波的表达式为y310cos4[(/20)](SI)2分
(2)以B点为坐标原点,则坐标为x点的振动相位为
x5
t4[t](SI)2分
20
2x
波的表达式为)]
y310cos[4(t(SI)2分
20
0.15一平面简谐波沿x轴正向传播,其振幅和角频率分别为A和,波速为u,设t=0时
的波形曲线如图所示.
(1)写出此波的表达式.
y
(2)求距O点分别为/8和3/8两处质点的振动方程.
u(3)求距O点分别为/8和3/8两处质点在t=0时的振动速度.
O
x
解:
(1)以O点为坐标原点.由图可知,该点振动初始条件为
y0Acos0,
L
v0Asin0
所以
1
2
P
O
x
1
波的表达式为]
yAcos[t(x/u)4分
2
(2)x/8处振动方程为
1
yAcos[t(2/8)]Acos(t/4)1分
2
x3/8的振动方程为
3/81
yAcos[t2]Acos(t/4)1分
2
1
(3)dy/dtAsin(t2x/)
2
t=0,x/8处质点振动速度
1
dy/dtAsin[(2/8)]2A/21分
2
t=0,x3/8处质点振动速度
1
dy/dtAsin[(23/8)]2A/21分
2
12.如图,一平面简谐波沿Ox轴传播,波动表达式为yAcos[2(tx/)](SI),
求
(1)P处质点的振动方程;
(2)该质点的速度表达式与加速度表达式.
解:
(1)振动方程yPAcos{2[t(L)/]}
Acos[2(tL/)]2分
(2)速度表达式vP2Asin[2(tL/)]2分
22AtL
加速度表达式aP4cos2[(/)]1分
13.某质点作简谐振动,周期为2s,振幅为0.06m,t=0时刻,质点恰好处在负向最大位
移处,求
(1)该质点的振动方程;
(2)此振动以波速u=2m/s沿x轴正方向传播时,形成的一维简谐波的波动表达式,(以
该质点的平衡位置为坐标原点);
(3)该波的波长.
2t
解:
(1)振动方程)
y0.06cos(0.06cos(t)(SI)3分
0
2
(2)波动表达式y0.06cos([tx/u)]3分
1
0.16cos[(tx)](SI)
2
(3)波长uT4m2分
14.Oxu如图所示,一平面简谐波沿轴的负方向传播,波速大小为,
若P处介质质点的振动方程为yAcos(t)
P
(1)O处质点的振动方程;
,求
P
Lu
O
x
(2)该波的波动表达式;
(3)与P处质点振动状态相同的那些点的位置.
L
解:
(1)O处质点的振动方程为cos[()]
yAt2分
0u
xL
(2)波动表达式为yAcos[(t)]2分
u
2u
(3)x=-Lk(k=1,2,3,⋯)1分
15.
如图所示,一平面简谐波沿Ox轴正向传播,波速大小为u,若P
处质点的振动方程为yAcos(t)
P,求
Lu
POx
(1)O处质点的振动方程;
(2)该波的波动表达式;
(3)与P处质点振动状态相同的那些质点的位置.
L
解:
(1)O处质点振动方程cos[()]
yAt2分
0
u
xL
(2)波动表达式yAcos[(t)]2分
u
2u
(3)(k=0,1,2,3,⋯)1分
xLxLk
16.图示一平面余弦波在t=0时刻与t=2s时刻的波形图.已知波速为u,求
(1)坐标原点处介质质点的振动方程;
(2)该波的波动表达式.
y(m)
A
A
t=0
2
80
O160
t=2s
20
x(m)
解:
(1)比较t=0时刻波形图与t=2s时刻波形图,
可知此波向左传播.在t=0时刻,O处质点0Acos,00Asin
v,
故
1
2
2分
1
又t=2s,O处质点位移为)
A/2Acos(4
2
所以
1
4
4
1
2
,=1/16Hz2分振动方程
1
为)
y0Acos(t/8(SI)1分
2
(2)波速u=20/2m/s=10m/s
波长=u=160m2分
tx1
波动表达式]
yAcos[2()(SI)3分
161602
17.如图所示,两相干波源在x轴上的位置为S1和S2,其间距离为d=30m,S1位于坐标
原点O.设波只沿x轴正负方向传播,单独传播时强度保持不变.x1=9m和x2=12m处
的两点是相邻的两个因干涉而静止的点.求两波的波长和两波源间最小相位差.
解:
设S1和S2的振动相位分别为1和2.在x1点两波引起的振动相位差
dx
1
[2
21
]
[
2
x
1
]
(2K
1)
d2x
1
即
(2)2(2K1)
1
①2分
在x2点两波引起的振动相位差
dx
2
[2
21
]
[
2
x
2
]
(2K
3)
d2x
2
即
(2)2(2K3)
1
②3分
②-①得4(x2x)/2
1
2(x2x1)6m2分
d2x
1
由①2(2K1)2(2K5)2分
1
当K=-2、-3时相位差最小211分
18.两波在一很长的弦线上传播,其表达式分别为:
12
y14.0010cos(4x24t)(SI)
3
12
y24.0010cos(4x24t)(SI)
3求:
(1)两波的频率、波长、波速;
(2)两波叠加后的节点位置;
(3)叠加后振幅最大的那些点的位置.
解:
(1)与波动的标准表达式yAcos2(tx/)对比可得:
=4Hz,=1.50m,各1分
波速u==6.00m/s1分
1
(2)节点位置4x/3(n)
2
1
x3(n)m,n=0,1,2,3,⋯3分
2
(3)波腹位置4x/3n
x3n/4m,n=0,1,2,3,⋯2分
xt
19.设入射波的表达式为y1Acos2(),在x=0处发生反射,反射点为一固定
T
端.设反射时无能量损失,求
(1)反射波的表达式;
(2)合成的驻波的表达式;
(3)波腹和波节的位置.
解:
(1)反射点是固定端,所以反射有相位突变,且反射波振幅为A,因此反
射波的表达式为ycos[2(//)]3分
2AxtT
(2)驻波的表达式是yy1y2
11
2Acos(2x/)cos(2t/T)3分
22
1
(3)波腹位置:
2x/n,2分
2
11
x(n),n=1,2,3,4,⋯
22
波节位置:
11
2x/n2分
22
x
1
2
n
n=1,2,3,4,⋯
20.如图所示,一平面简谐波沿x轴正方向传播,BC为波密媒质的反射面.波由P点反射,
OP=3/4,DP=/6.在t=0时,O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动.求
D点处入射波与反射波的合振动方程.(设入射波和反射波的振幅皆为A,频率为.)
B入射
x
解:
选O点为坐标原点,设入射波表达式为
ODP
反射
C
y1Acos2[(tx/)]
2分
OPDPx
则反射波的表达式是cos[2()]
yAt2分
2
合成波表达式(驻波)为y2Acos(2x/)cos(2t)2分
在t=0时,x=0处的质点y0=0,(y0/t)0,
故得
1
2
2分
因此,D点处的合成振动方程是
3/4/6
y2Acos
(2)cos(2t)3Asin2t2分
2
21.如图,一角频率为,振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播,设在t=0时该波在
原点O处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动.M是垂直于x轴的波密媒
质反射面.已知OO'=7/4,PO'=/4(为该波波长);设反射波不衰减,求:
(1)入射波与反射波的表达式;;
(2)P点的振动方程.
解:
设O处振动方程为y0Acos(t)
y
M
当t=0时,y0=0,v0<0,∴
1
2
OP
O′
x
1
∴)
y0Acos(t
2
2分
2
故入射波表达式为)
yAcos(tx2分
2在O′处入射波引起的振动方程为
27
y1Acos(t)Acos(t)
24
由于M是波密媒质反射面,所以O′处反射波振动有一个相位的突变.
∴y1Acos(t)Acost2分
227
反射波表达式()]
yAcos[tOOxAcos[t(x)]
4
2
Acos[tx]2分
2
22
合成波为yyy]
Acos[txAcos[tx]
22
2
2Acosxcos(t)2分
2
将P点坐标
713
x代入上述方程得P点的振动方程
442
y2Acos(t)2分
2
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