空间几何体重要结论总结.docx
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空间几何体重要结论总结
1.1空间几何体的结构
柱、锥、台、球的结构特征
知识总结:
1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较,如下表所示
结构特征
棱柱
棱锥
棱台
定义
两个平面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体称为棱柱
有一面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫
做棱台
底面
两底面是全等的多边形
多边形
两底面是相似的多边
形
侧面
平行四边形
三角形
梯形
侧棱
平行且相等
相交于顶点
延长线交于一点
平行于底面的截面
与两底面是全等的多边形
与底面是相似的多边
形
与两底面是相似的多
边形
过不相邻两侧棱的截面
平行四边形
三角形
梯形
2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较,如下表所示
结构特征
圆柱
圆锥
圆台
球
定义
以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台
以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一
周所形成的曲面称为球面,球面所
围成的几何体称为球体,简称球
底面
两底面是平行且半径相等的圆
圆
两底面是平行但半径不相等的圆
无
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
不可展开
母线
平行且相等
相交于顶点
延长线交于一点
无
平行于底
面的截面
与两底面是平行且半径相等的圆
平行于底面且半径不相等的圆
与两底面是平行且半径不相等的圆
球的任何截面都是圆
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
高中数学必修二空间几何体常考题型归纳
一,空间几何体的表面积与体积
1、空间几何体的表面积
①棱柱、棱锥的表面积:
2、空间几何体的体积
常考题型归纳
底面正方形面积
二面角的余切值代入数据,得:
ta心3V/S
S<(2^i=12,底面边长a朋,高h霍,
tan日=-h—
a/2O
6V
7s/2sTS12312
O
又。
必为锐角,所以日4O
二、长方体、正四棱柱、正方体、球内接长方体
(1)若长方体从一顶点出发的三条棱长分别为a、b、c,则对角线长为,全面积为,体积为
⑵若正四棱柱的底面边长为a,高为h,则对角线长为,全面积为,体积为
⑶若正方体的棱长为a,则对角线长为,全面积为,体积为
(4)球内接长方体(或正方体)的对角线长等于球的直径。
(5){正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{四棱柱}
⑹直角三角形斜边上的高等于两条直角边的积除以斜边。
(C)4^
练习:
1、(2006年福建卷)已知正方体外接球的体积是32,那么正方体的棱长等于
(B)空(C)4/2(D)4岳
333
2、(2006年广东卷)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
pa=pb=pc=a,则此球的面积为
三、关于三棱锥、侧棱两两互相垂直的三棱锥及正四面体
1三棱锥P-ABC中,若PA丄BC,PB丄AC,贝UPC丄AB;
2、三棱锥P-ABC中,若PA丄PB,PB丄PC,PA丄PC,则点P在底面△ABC内的射影是垂心,且
V-ABC=1/6*PA*PB*PC;
3、三棱锥P-ABC中,若PA=PB=PC,则点P在底面△ABC内的射影是外心;
ZPAB=NPAC=NBAC=60°,求此三棱锥的体积。
4.三棱锥P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a,
五、平行与垂直的判定方法
1、线线平行的判定:
a)一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
即a//平面a,au平面3,平面an平面3=b,贝Ua//b。
b)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行。
即平面a//平面3,anY=a,3nY=b,则a/b
c)垂直于同一平面的两条直线平行。
即a丄平面a,b丄平面3,则a/b
2、线面平行的判定:
a)平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
即a华平面a,b匚平面a,a/b,贝ya//平面a。
b)如果两个平面平行,则其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面。
即平面a//平面3,au平面a,则a//平面3
3、线面垂直的判定:
a)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
即a匸平面a,bu平面a,anb=O,c丄a,c丄b,贝Uc丄平面a
b)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直这个平面。
即a//b,a丄平面a,贝Ub丄平面a
c)两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
即平面a丄平面3,an3=ma匚平面a,a丄m,贝Ua丄平面3
4、面面平行的判定:
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
即aU平面a,bu平面a,anb=O,a//平面3,b//平面3,则平面a//平面3
5、面面垂直的判定:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
即面3,au平面a,则平面a丄平面3六、训练:
1、(2006年福建卷)对于平面列命题中真命题是(C)
a和共面的直线
(A)若m丄a,m丄n,贝Un//a
(B)若m//
a,n//a,
a丄平
m、n,下
则m//n
(C)若mua,n//Ct,则m//n
(D)若m、n与a所成的角相等,则m//n
2、(2006年北京卷)已知A,B,C三点在球心为
O,半径为R的球面上,AC丄BC,且A
R,那么
A,B
1
两点的球面距离为—-xR
—3
球心到平面ABC的距离为
3、.(2006年山东卷)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,
的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为.
4、(全国卷I)
(2)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为兀,
B
D是AiCi
B
则球的表面积为
(C)4屈
5、长方体ABCD—AiBiCiDi中,AAi=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是
面直线A1E与GF所成的角的余弦值是
DDi、AB、CCi的中点,则异
6、(2005北京卷)
如图,在直三棱柱ABC一A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点,
(I)求证:
AC丄BCi;
(II)求证:
AC1〃平面CDBi;
(III)求异面直线ACi与BiC所成角的余弦值.
解法一:
(I)直三棱柱ABC—AiBiCi,底面三边长AC=3,BC=4AB=5,
•••AC丄BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,aAC丄BC1;
(II)设CBi与CiB的交点为E,连结DE,v
D是AB的中点,E是BCi的中点,•••
DE//AC1,
•/DEU平面CDB1,AC^平面CDB1,A
ACi//
平面CDBi;
(III)•••DE//AC1,•/CED为AC1与B1C
的角,
1515
在^CED中,ED=—AC1=—,CD=-AB=—,
2222
3
CE=1CB1=272,
2
8
二cosNCED=
22425
2
•••异面直线AC1与B1C所成角的余弦值芈
(2005江西卷理第20题,文第20题,本小题满分12分)
如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AD上移动.
(1)证明:
D1E丄A1D;
(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离
(3)AE等于何值时,二面角D1—EC—D的大小为-.
4
解法
(一)
(1)证明:
•••AE丄平面AAiDDi,AiD丄ADi,二AiD丄DiE
(2)设点E到面ACD1的距离为^在^ACD1中,AC=CD尸J5,AD尸J2,
_1
二VD1_AEC=3S必EC'DD1
3
131
/.—X1=—Xh/.h=_.
223
(3)过D作DH丄CE于H,连D1H、DE,则DM丄CE,/./DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=X,贝UBE=2—x
在Rt心D1DH中FNDHD1=—,二DH=1.
4
打在Rt^ADE中,DE=(1+x2j在Rt也DHE中,EH=X,
在Rt心DHC中CH=力,在RtACBE中CE=Jx2—4x+5.+73=Jx2-4x+5=X=2-73.
/.AE=2-73时,二面角Dj-EC-D的大小为
4
解法
(二):
以D为坐标原点,直线da,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,
则Ai(1,0,1),Di(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)
(1)因为DA,D1E=(1,0,1),(1,x,—1)=0,所以DA丄DF
(2)因为E为AB的中点,贝yE(1,1,0),从而=(1,1,—1),AC=(—1,2,0),
»ffn*AC=0,
ADj=(—1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则{
[n-ADr=0,
f—a+2b=0fa
也即1,得J
l_a+c=0la
=2bf
,从而n=(2,1,2),所以点E到平面AD1C的距离为
=c
|D1En|2+1-2
h=
|n|
(3)设平面
D1EC的法向量n=(a,b,c),•CE=(1,x-2,0),D1C=(0,2,—1),DD1=(0,0,1),
由£
ln
DC=0,
—
「2b-c=0
CE=0,
a+b(x-2)=0.
令b=1,•••c=2,a=2—x,
•n=(2-x,1,2).
依题意cos—=_—
4|n|4DD1|2J(x-2)2+52
•-X1=2+J3(不合,舍去),X2=2-丁3.
辽
•••AE=2-43时,二面角D1—EC—D的大小为二.
4
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