高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第9讲函数模型及其应用Word格式文档下载.docx
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相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为
随x的增大逐渐表现为与
随n值变化而各有不同
与y轴平行
x轴平行
值的比较
存在一个xo,当x>
xo时,有logaxvxva
1•判断正误(在括号内打
或“X”)
诊断自测
精彩PPT展示
(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(X)
(2)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a^0,b>
0,b^l)增长速度越来越快的形象
比喻.(X)
(3)幕函数增长比直线增长更快.(X)
(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log次,当x€(4,)时,恒有h(x)vf(x)vg(x).(V)
2•小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是()
A.因交通
解析小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,排除
堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,排除B.
故选C.
答案C
3.(2014•深圳模拟)用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的
4.
面积最大,则隔墙的长度为()
A.3
y=ekt(其中k为常
答案
5.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为
数,t表示时间,单位:
小时,y表示病毒个数),则k=,经过5小时,1个病毒
能繁殖为个.
1
解析当t=0.5时,y=2,•2=e^,•k=2ln2,
2tln2.it10ln2JO““,
•y=e,当t=5时,y=e=2=1024.
答案2ln21024
6.(人教A必修1P104例5改编)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为
200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如表所示:
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析,这个经营部为获得最大利润,定价应为元.
解析设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,
日均销售量为480—40(x—1)=520—40x(桶),
则y=(520—40x)x—200=—40x2+520x—200,0vxv13.
当x=6.5时,y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.
答案11.5
考点一二次函数模型
【例1】A,B两城相距100km在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)
的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿度,B城供电量为每月10亿度.
(1)求x的取值范围;
(2)把月供电总费用y表示成x的函数;
(3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?
解
(1)x的取值范围为10<
x<
90.
252
(2)y=5x+2(100—x)(10wx<
90).
厂,25215215100250000
(3)因为y=5x2+2(100—x)2=~^x2—500x+25000=—x—-^2+—,所以当x
y最少.
罟时,『min=50-000.故核电站建在距A城^km处,能使供电总费用
规律方法在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取
值范围,需根据函数图象的对称轴与函数定义域的位置关系讨论求解.
【训练1】
(2014•武汉高三检测)某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:
万元)为y1=4.1x—0.1x2,在B地的销售利润(单位:
万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:
辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获
得的最大利润是()
A.10.5万元B.11万元
C.43万元
D.43.025万元
解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车(16—x)辆,
2221221所以可得利润y=4.1x—0.1x+2(16—X)=-0.1x+2.1x+32=-0.1(x—―)+0.1X〒
+32.因为x€[0,16]且x€N,所以当x=10或11时,总利润取得最大值43万元.
考点二指数函数、对数函数模型
【例2】
(2014•青岛模拟)世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率是
(参考数据lg2~0.3010,100.0075~1.017)()
A.1.5%B.1.6%
C.1.7%D.1.8%
解析设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数,则40lg(1
+x)=lg2,所以lg(1+x)~0.0075,所以100.0075=1+X,得1+x=1.017,所以
x=1.7%.
规律方法在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数
函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式•解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.
【训练2】某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()
A.略有盈利B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情
况
解析设该股民购这支股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=ax1.1n元,经历n次跌停后的价格为ax1.1nx(1—10%)n=ax1.1nx0.9n=ax(1.1x0.9)n=0.99n•ava,故该股民这支股票略有亏损.
答案B
考点三分段函数模型
【例3】某旅游景点预计2015年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位:
万人)
与x的关系近似地满足p(x)=2x(x+1)(39—2x)(x€N,且x<
12).已知第x个月的人均
35—2xx€N*,且Kx<
消费额q(x)(单位:
元)与x的近似关系是q(x)=160*
x€N,且7Wxw12x,
(1)写出2015年第x个月的旅游人数f(x)(单位:
人)与x的函数关系式;
(2)试问2015年第几个月旅游消费总额最大?
最大月旅游消费总额为多少元?
解⑴当x=1时,f
(1)=p⑴=37,
当2<
xw12,且x€N*时,
f(x)=p(x)-p(x-1)
112
=qx(x+1)(39—2x)—2(x—1)x(41—2x)=-3x+40x,
验证x=1也满足此式,
2*
所以f(x)=—3x+40x(x€N,且1wxw12)•
(2)第x个月旅游消费总额为
35—2xx€N,且1wxW6,
32
6x—185x
即g(x)=
—480x+6400
400xx€N,且1wxw6,Ix€N,且7wxw12.
①当1wx<
6,且x€N时,
2
g'
(x)=18x—370x+1400,
舍去)•
令gz(x)=0,解得x=5或x=-90(
当1wXV5时,g'
(x)>
0,
当5vxw6时,g'
(x)v0,
•••当x=5时,g(x)max=g(5)=3125(万兀).
②当7wxw12,且x€N*时,g(x)=—480x+6400是减函数,.••当x=7时,g(x)max=g(7)=3040(万元).
综上,2015年5月份的旅游消费总额最大,最大旅游消费总额为3125万元.
规律方法⑴很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型,如出租车的票价与路程的函数就是分段函数.
(2)求函数最值常利用基本
不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,
然后比较得最大值、最小值.
【训练3】某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:
顾客购物总金额不超过800元,
不享受任何折扣,如果顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,
按下表折扣分别累计计算•
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%
某人在此商场购物总金额为X元,可以获得的折扣金额为y元,则y关于x的解析式为
0,Ovx<
800,
y=5%x—800,800vxW1300,
10%x-1300+25,x>
1300.
若y=30元,则他购物实际所付金额为元.
解析若x=1300元,贝Uy=5%(1300—800)=25(元)v30(元),因此x>
•••由10%(x—1300)+25=30,得x=1350(元).
答案1350
课堂总结反思归纵感悟提升
[思想方法]
解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:
弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:
将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,
建立相应的数学模型;
(3)解模:
求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:
将数学结论还原为实际问题的意义.
以上过程用框图表示如下:
[易错防范]
1•解应用题思路的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还要特别注意一
些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导
致题目不会做或函数解析式写错,故建议复习时务必养成良好的审题习惯.
2•在解应用题建模后一定要注意定义域,建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依
赖关系.
3•解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是()
x
4
5
y
15
17
19
21
23
25
27
A.—次函数模型B.幕函数模型
C.指数函数模型D.对数函数模型
解析根据已知数据可知,自变量每增加1函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.
答案A
2.(2015•合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是:
前3年年产量的增长速度
越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()
解析前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A,C图象符合要求,
而后3年年产量保持不变,故选A.
3.(2014•北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,
以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设
备的年数为()
A.10B.11
D.21
C.13
解析设该企业需要更新设备的年数为x,设备年平均费用为y,则x年后的设备维护
费用为2+4+・・・+2x=x(x+1),所以x年的平均费用为y=10°
+琢[xx+1=%十型
X
100100100
+1.5,由基本不等式得y=x++1.5>
2x+1.5=21.5,当且仅当x=,
xxx
即x=10时取等号,所以选A.
4.(2014•孝感模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实
现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()
解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选B.
5.
某电信公司推出两种手机收费方式:
A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差()
当t=100时,100ki+20=100k2,「.k2-ki=5,
1t=150时,150k2—150ki—20=150X二―20=10.
二、填空题
6.(2014•江西六校联考)A、B两只船分别从在东西方向上相距145km的甲乙两地开
出.A从甲地自东向西行驶.B从乙地自北向南行驶,A的速度是40kmh,B的速度是16
kmh,经过小时,AB间的距离最短.
解析设经过xh,代B相距为ykm,
(222925
则y=、:
145—40x+16x(0<
xw—),求得函数的最小值时x的值为—.
“亠25
答案7
7.(2015•长春模拟)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地
匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae—bt(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae—8b=尹,
•••e—8b=2,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,
—bt1—bt1,—8b、3—24b
即y=ae=~a,e=~=(e)=e,
88
则t=24,所以再经过16min.
答案16
8.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则
其边长x为m.
x40一y
解析设内接矩形另一边长为y,则由相似三角形性质可得40^70,解得y=40-X,
22
所以面积S=x(40—x)=-x+40x=-(x-20)+400(0vxV40),当x=20时,Smax=400.答案20
三、解答题
9.(2014•郑州模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成
本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=--48x+8000,已知此
生产线年产量最大为210吨.
(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?
最大利润是多少?
解⑴每吨平均成本为x(万元).
x8000x8000
贝U=■+-48》2c•48=32,
x5x5x
x8000
当且仅当-=,即x=200时取等号.
5x
•••年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元.
(2)设年获得总利润为Rx)万元.
小x
贝UR(x)=40x-y=40x-_+48x—8000
=-:
+88x-8000
12
=-(x—220)+1680(0<
XW210).
•••R(x)在[0,210]上是增函数,•••x=210时,
F(x)有最大值为—-(210—220)+1680=1660.
•••年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元.
10.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品
专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐步
偿还转让费(不计息)•在甲提供的资料中:
①这种消费品的进价为每件14元;
②该店月销
量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;
③每月需各种开支2000元.
(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?
并求最大余额;
(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?
解设该店月利润余额为L元,
则由题设得L=QP—14)X100—3600—2000,
—2P+5014WP<
20,
由销量图易得Q=3
—尹+4020VP<
26,
代入①式得
—2P+50P—14X100—560014<
RC20,
L=3
—矿+40P-14X100—560020VP<
(1)当14WPW20时,Lmax=450元,此时P=19.5元;
AnrQOd
当20VPW26时,Lmax=「一元,此时P=N■元•
33
故当P=19.5元时,月利润余额最大,为450元.
(2)设可在n年后脱贫,
依题意有12nx450-50000—58000>
0,解得n》20.即最早可望在20年后脱贫.
能力提升题组
25分钟)
11•为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中都需要对文件加密,有种为加密密钥密码系统(PrivateKeyCryptosystem),其加密、解密原理为:
发送方由明文
t密文(加密),接收方由密文t明文(解密).现在加密密钥为y=kx3,如"
4”通过加密后
得到密文“2”,若接受方接到密文“”,则解密后得到的明文是()
256
B.
A.2
C.2D8
解析由题目可知加密密钥y=kx3是一个幕函数型,由已知可得,当x=4时,y=2,
32113111331
即2=kx43,解得k=43=3J.故y=^^x3,显然令y=莎,则256=37:
即卩x3弋,解得x
=2.
12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从
这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长
x,y应为()
A.x=15,y=12B.x=12,y=15
C.x=14,y=10D.x=10,y=14
24—yx5
解析由三角形相似得24二8=20.得x=4(24—y),
c52
s=xy=——(y—12)+180,
•••当y=12时,S有最大值,此时x=15.
13.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要
增加投资1万元,年产量为x(x€N)件.当x<
20时,年销售总收入为(33x—x2)万元;
当x>
20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,
则y(万元)与x(件)的函数关系式为,该工厂的年产量为件时,所得年利
润最大(年利润=年销售总收入—年总投资).
解析当0vXW20时,y=(33x—x)—x—100=—x+32x—100;
20时,y=260—100—x=160—x.
—x+32x—100,0vx<
20,
故y=
160—x,x>
20
(x€N).
当0vxw20时,y=—x+32x—100=—(x—16)+156,x=16时,ymax=156.而当x>
20时,160—xv140,故x=16时取得最大年利润.
—x+32x—100,0vx<
20,*
答案y=160—x,x>
(x€N)16
14.已知某物体的温度e(单位:
摄氏度)随时间t(单位:
分钟)的变化规律:
e=m-2t
+21—t(t>
0,并且m>
0).
(1)如果n=2,求经过多少时间,物体的温度为5摄氏度;
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.
解⑴若m=2,贝U0=2^2+21「=22t+牙,
1515
当0=5时,2+~tr
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- 高考 数学 复习 第二 函数 概念 基本 初等 模型 及其 应用