1、相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为随x的增大逐渐表现为与随n值变化而各有不同与y轴平行x轴平行值的比较存在一个xo,当x xo时，有log ax v x v a1 判 断正误（在括号内打或 “X”）诊断自测精彩PPT展示（1）函数y= 2x的函数值比y= x2的函数值大.（X）（2）“指数爆炸”是指数型函数 y = abx + c（a0, b0, bl）增长速度越来越快的形象比喻.（X）（3）幕函数增长比直线增长更快.（X）（4）f （x） = x2, g（x） = 2x, h（x） = log 次,当 x （4 , ）时，恒有 h（x） v f（x） v g（x） . （V）2小明骑车上
2、学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间 加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是 （ ）A.因交通解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除 B.故选C.答案 C3.（2014 深圳模拟）用长度为24的材料围一矩形场地， 中间加两道隔墙，要使矩形的4.面积最大，则隔墙的长度为 （ ）A.3y = ekt（其中k为常答案5.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则k= ，经过5小时，1个病毒能繁殖为 个.
3、1解析当 t = 0.5 时，y= 2, 2 = e, k = 2ln 2 ,2t ln 2 . it 10ln 2 JO “ “ , y= e ，当 t = 5 时，y= e = 2 = 1 024.答案 2ln 2 1 0246.（人教A必修1P104例5改编）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是 5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为 元.解析 设在进价基础上增加 x元后，日均销售利润为 y元，日均销售量为
4、 480 40（x 1） = 520 40x（桶），则 y = （520 40x）x 200= 40x2+ 520x 200,0 v xv 13.当x = 6.5时，y有最大值.所以只需将销售单价定为 11.5元，就可获得最大的利润.答案 11.5考点一二次函数模型【例1】A, B两城相距100 km在两城之间距 A城x（km）处建一核电站给 A, B两城供 电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离 （km）的平方与供电量（亿度）之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10 亿度.（1）求x的取值范围；（2）把月供电总费用y表示成
5、x的函数；（3）核电站建在距 A城多远，才能使供电总费用 y最少？解 （1）x的取值范围为10 x 90.2 5 2（2）y = 5x + 2（100 x） （10 w x 90）.厂， 2 5 2 15 2 15 100 2 50 000（3）因为 y = 5x2 + 2（100 x）2=x2 500x + 25 000 = x - 2+ ，所以当 xy最少.罟时，min = 50-000.故核电站建在距 A城km处，能使供电总费用规律方法 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时， 一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域的位置关系讨论求解.【训练1】（2014
6、武汉高三检测）某汽车销售公司在 A, B两地销售同一种品牌的汽车， 在A地的销售利润（单位：万元）为y1= 4.1 x 0.1 x2，在B地的销售利润（单位：万元）为y2 =2x，其中x为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售 16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）A. 10.5万元 B. 11万元C. 43万元D. 43.025 万元解析 设公司在A地销售该品牌的汽车 x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16 x）辆,2 2 21 2 21 所以可得利润 y= 4.1 x 0.1 x + 2（16 X）= - 0.1 x + 2.1 x + 32=- 0.1（ x ） + 0.1 X
7、 + 32.因为x 0,16且x N,所以当x= 10或11时，总利润取得最大值 43万元.考点二指数函数、对数函数模型【例2】（2014 青岛模拟）世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率是（参考数据 lg 2 0.301 0,10 0.007 5 1.017）（ ）A. 1.5% B. 1.6%C. 1.7% D. 1.8%解析 设每年人口平均增长率为 x，则（1 + x） 40= 2,两边取以10为底的对数，则40 lg（1+ x） = lg 2，所以 lg（1 + x） 0.007 5，所以 100.007 5 = 1 + X,得 1 + x= 1.017，所以x= 1.7%
8、.规律方法 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y = N（1 + p）x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形 式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.【训练2】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停（每次上涨10%）,又经历了 n次跌停（每次下跌10%）,则该股民这支股票的盈亏情况 （不 考虑其他费用）为（ ）A.略有盈利 B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况解析 设该股民购这支股票的价格为 a元，则经历n次涨停后的价格为 a（1 + 10%）n
9、 = ax 1.1 n元，经历 n 次跌停后的价格为 ax 1.1 nx （1 10%）n = ax 1.1 nx0.9n = ax （1.1 x0.9） n =0.99 n av a,故该股民这支股票略有亏损.答案 B考点三分段函数模型【例3】某旅游景点预计2015年1月份起前x个月的旅游人数的和 p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足 p（x） = 2x（x + 1）（39 2x）（ x N ,且x 12）.已知第x个月的人均35 2x x N*,且 K x消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（ x） = 160 *x N，且7W xw 12 x ，（1）写出2015年第x个月
10、的旅游人数f（x）（单位：人）与x的函数关系式;（2）试问2015年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元?解当x = 1时，f （1） = p=37,当 2 xw 12,且 x N*时，f（x） = p（x） - p（x- 1）1 1 2=qx（x+ 1）（39 2x） 2（x 1）x（41 2x） = - 3x + 40x,验证x= 1也满足此式，2 *所以 f （x） = 3x + 40x（x N ,且 1 w xw 12） （2）第x个月旅游消费总额为35 2x x N,且 1 w x W6 ,3 26x 185x即 g（x）=480x+ 6 400400 x x N，且
11、 1 w xw6 , I x N，且 7w xw 12 .当1w x0,当 5vxw6 时，g（x） v0,当 x= 5 时，g（ x） max= g（5） = 3 125（万兀）.当 7w xw 12,且 x N*时，g（x） = 480x+ 6 400 是减函数，.当 x= 7 时，g（x） max =g（7） = 3 040（万元）.综上，2015年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为 3 125万元.规律方法 很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构 建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数. （2）求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数
12、的单调性等方法. 在求分段函数的最值时， 应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.【训练3】 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过 800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物总金额为 X元，可以获得的折扣金额为 y元，则y关于x的解析式为0，Ov x 1 300.若y = 30元，则他购物实际所付金额为 元.解析 若 x = 1 300 元，贝U y = 5%（1 300 800） = 25（元）v
13、30（元），因此 x由 10%（x 1 300） + 25= 30,得 x= 1 350（元）.答案 1 350课堂总结反思归纵感悟提升思想方法解函数应用问题的步骤（四步八字）（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：易错防范1解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼（如“几年后”与“第几年后”），学生常常由于读题不谨慎
14、而漏读和错读， 导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.2在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.3解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是 （ ）x45y15171921232527A. 次函数模型 B.幕函数模型C.指数函数模型 D.对数函数模型解析 根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的， 故为一次函数模型.答案 A2.（2015 合肥调研）某工厂6年来生产某种产品的情况是：
15、前 3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂 6年来这种产品的总产量 C与时间t（年）的函数 关系图象正确的是（ ）解析 前3年年产量的增长速度越来越快， 说明呈高速增长，只有A, C图象符合要求,而后3年年产量保持不变，故选 A.3.（2014 北京东城期末）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用 是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（ ）A. 10 B. 11D. 21C. 13解析 设该企业需要更新设备的年数为 x，
16、设备年平均费用为 y,则x年后的设备维护费用为2+ 4+ 2x = x（x + 1），所以x年的平均费用为y= 10+琢x x+ 1 = %十型X100 100 100+ 1.5，由基本不等式得 y = x+ + 1.5 2 x + 1.5 = 21.5，当且仅当 x = ,x x x即x= 10时取等号，所以选 A.4.（2014 孝感模拟）物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间 T内完成预测 的运输任务Q，各种方案的运输总量 Q与时间t的函数关系如图所示， 在这四种方案中， 运 输效率（单位时间的运输量）
17、逐步提高的是（ ）解析 由运输效率（单位时间的运输量）逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增 大，故函数的图象应一直是下凹的，故选 B.5.某电信公司推出两种手机收费方式： A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一 个月的本地网内打出电话时间 t （分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150 分钟时，这两种方式电话费相差 （ ）当 t = 100 时，100ki + 20= 100k2,. k2-ki = 5,1 t = 150 时，150k2 150ki 20= 150X 二20= 10.二、填空题6.（2014 江西六校联考）A、B两只船分别从在东西方向上相距 145
18、 km的甲乙两地开出.A从甲地自东向西行驶. B从乙地自北向南行驶， A的速度是40 km h, B的速度是16km h,经过 小时，AB间的距离最短.解析 设经过x h,代B相距为y km,（ 2 2 29 25则y =、: 145 40x + 16x （0 xw ），求得函数的最小值时 x的值为.“亠 25答案77.（2015 长春模拟）一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为 y = ae bt（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的 沙子，则再经过 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析 当t = 0时，y =
19、 a，当t = 8时，y = ae8b=尹， e8b= 2,容器中的沙子只有开始时的八分之一时，bt 1 bt 1 ， 8b、3 24b即 y = ae = a, e = （e ） = e ,8 8则t = 24,所以再经过16 min.答案 168.在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园 （阴影部分），则其边长x为 m.x 40 一 y解析 设内接矩形另一边长为 y,则由相似三角形性质可得 4070，解得y= 40- X,2 2所以面积 S= x（40 x） = - x + 40x =- （x-20） + 400（0 vxV40），当 x = 20 时，Smax= 4
20、00. 答案 20三、解答题9.（2014 郑州模拟）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为 y=-48x + 8 000,已知此生产线年产量最大为 210吨.（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为 40万元，那么当年产量为多少吨时， 可以获得最大利润？最大利润是多少？解 每吨平均成本为x（万元）.x 8 000 x 8 000贝U = + - 482 c 48= 32 ,x 5 x 5 xx 8 000当且仅当-= ，即x = 200时取等号.5 x年产量为
21、200吨时，每吨平均成本最低为 32万元.（2）设年获得总利润为 R x）万元.小 x贝U R（x） = 40x-y = 40x-_ + 48x 8 000=-：+ 88x - 8 0001 2=-（x 220） + 1 680（0 XW 210）. R（x）在0,210上是增函数， x = 210 时，F（x）有最大值为-（210 220） + 1 680 = 1 660.年产量为210吨时，可获得最大利润 1 660万元.10.在扶贫活动中，为了尽快脱贫 （无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有 5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙， 并约定
22、从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600元后，逐步偿还转让费（不计息）在甲提供的资料中：这种消费品的进价为每件 14元；该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图所示；每月需各种开支 2 000元.（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大 余额；（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为 L元，则由题设得 L= QP14） X 100 3 600 2 000 ,2P+ 50 14W P 20 ,由销量图易得Q= 3尹+ 40 20V P 26 ,代入式得2P+ 50 P 14 X 100
23、5 600 14 RC 20 ,L= 3矿+ 40 P- 14 X 100 5 600 20V P0,解得 n20. 即最早可望在20年后脱贫.能力提升题组25分钟）11 为了预防信息泄露， 保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密， 有 种为加密密钥密码系统 （Private Key Cryptosystem），其加密、解密原理为：发送方由明文t密文（加密），接收方由密文t明文（解密）.现在加密密钥为 y= kx3，如4”通过加密后得到密文“ 2”，若接受方接到密文“ ”，则解密后得到的明文是 （ ）256B.A.2C.2 D 8解析 由题目可知加密密钥 y= kx3是一个幕函数型，
24、由已知可得，当 x = 4时，y = 2,3 2 1 1 3 1 1 1 3 3 1即2= kx43，解得k= 43=3J.故y= x3，显然令y=莎，则256=37：即卩x3弋，解得x=2.12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片 （如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时， 矩形两边长x, y应为（ ）A. x = 15, y = 12 B. x = 12, y = 15C. x = 14, y = 10 D. x = 10, y = 1424 y x 5解析 由三角形相似得24二8 = 20.得x = 4（24 y）,c
25、5 2s= xy = （y 12） + 180,当y= 12时，S有最大值，此时 x= 15.13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x N）件.当x 20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y万元，则y（万元）与x（件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大（年利润=年销售总收入年总投资 ）.解析 当 0vXW20 时，y = （33x x） x 100 = x + 32x 100；20 时，y = 260 100 x = 160 x.x + 32x 100, 0v
26、x 20（x N）.当 0vxw20 时，y= x + 32x 100= （x 16） + 156, x= 16 时，ymax= 156.而当 x 20时，160 x v 140,故x = 16时取得最大年利润.x + 32x 100, 0vx（x N） 1614.已知某物体的温度 e （单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律：e = m-2t+ 21 t（t 0,并且 m 0）.（1）如果n= 2,求经过多少时间，物体的温度为 5摄氏度;（2）若物体的温度总不低于 2摄氏度，求m的取值范围.解 若 m= 2,贝U 0 = 22 + 21= 2 2t + 牙,15 1 5当 0= 5 时，2 + tr
