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循环小数的写法篇
循环小数的写法[1篇]
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循环小数的写法第一篇
探討循環小數的循環節1
探討循環小數的循環節
李肖梅
國際企業管理系
摘要:
循環小數的循環節是一個令人玩味的主題,他的迷人處不下於質數,可是如果用紙筆來計算循環節的長度,這又是一件極無聊且麻煩的事情,但是藉著科技電腦或計算器的幫助,學生可以很快的找出分數轉換小數的結果,依據這些快速求出的答案,學生可以找尋規則、提出假設、及做出結論。
本文是報告商科一年級學生及師範生如何利用計算器與電腦,經由探討循環小數的循環節,而發現一些早期數學家例如高斯等提出的有關「數論(NumberTheory)」的定理,讓理論抽象的「數論」中的數學概念,成為容易瞭解的學習活動及引人勇於探索的數學問題,本文嘗試解釋學生如何利用回答下列有關循環小數的相關問題,並藉計算器與電腦尋求出的解答,發現重要的高階數學定理。
關鍵詞:
計算器循環小數循環節數論科技教學
壹、前言
商科大一數學及師範生國小數學教材教法課程的學生,在利用計算器將分數轉為小數的求解過程中,發現計算器的缺點,因為計算器的顯示數字最多只能有12位數字,老師提供的計算器只有八位元,因此學生提出二個問題,無循環小數概念的學生會問小數點後要有幾位有效數字,因為四捨五入估測概念深植在學生腦中,有循環小數概念的學生會問這個答案的小數是否循環,如何求循環節長度?
為了要讓學生對循環小數有深入的了解,作者設計了一些學習活動,讓學生如早期數學家一般,研討這個令人玩味的主題,循環小數的迷人處不下於質數,質數有多長的存在探討歷史(Ore,1948),循環小數的循環節就有多久。
在沒有計算機與電腦的時代,就有許多數學家,花費很長的時間尋找循環小數的循環節,因此很多有關循環小數的循環節的定義與定理相對產生,「數論」也成了數學系一門很重要的課程,作者希望非數學系的學生及師範生了解小數循環節的由來。
二十一世紀是一個科技時代,學生應有科技知識的訓練(李肖梅,民89,民91),本文是報告學生如何利用計算機與電腦來探討循環小數的循環節,讓理論抽象的「數論」中的數學定理,成為容易瞭解的學習活動的成果。
貳、設計教學活動的學習理論
科技的突飛猛進,電算器的低價碼與普遍性,利用電算器,求數學的運算結果,已是一般人日常生活的一部分,例如,報稅、算帳、出國時的專換匯率(Irwin,2001)等等,學校中利用科技輔助數學的教學與學習也是全球趨勢(李肖梅,民92),因此,在小數教學中,使用科技產生的結果,造成學生的對循環小數的興趣(李肖梅,民
94),例如循環節的長度、如何找循環節(Lee,2005)、如何預測二數相除之結果的分
2吳鳳學報第13期
類等等引人追求的問題,均因有了科技的輔助,而能一目了然。
依據國科會補助之「圖形計算機輔助數學科技化教學之研究」,李肖梅(民89,民90,民91)研發出一個學習理論的架構,讓科技輔助下的數學教學,使學生具備以下的能力。
1.連結性:
了解數學概念由哪裡來往哪裡去。
2.發展性:
由已知的概念去發展未知的知識。
3.擴張性:
除了水平的發展外,仍可擴張為垂直的發展。
4.例行性:
哪些數學知識是例行必須的,哪些是偶而才會需要的。
5.重建性:
因了解而能建構出新的知識,或在既有的架構下,往深與廣面再建或
重建。
學生的學習是自我成長、發現事實、找出關連性、經由猜測、加以推論而獲得知識,而非記憶老師說的話,為了驗證學習理論之有效性、學生學習的興趣、及學習成效,及找出計算器無法顯示藏在機器裡面的小數循環節長度的現實問題,作者設計了學習活動,活動設計的理念與學習步驟如下:
1.呈現例題:
藉著科技輔助快速呈現量化的例題。
2.觀察異同:
觀察例題的相同與相異處做出分類。
3.分析歸類:
分析類組相同範例的特徵。
4.猜測推理:
做出猜測與推理。
5.形成結論:
依據推理做出結論。
讓學生能依據呈現例題、觀察異同、分析歸類、猜測推理、及形成結論,探討循環小數的相關問題,及藉由計算器與電腦的輔助尋求出的解答,達成了解有關循環小數概念的認知,學習活動包含以下五個循環小數的概念探討。
循環小數學習活動一:
小數的表徵類型。
循環小數學習活動二:
質數分母的無限循環小數的循環節的產生。
循環小數學習活動三:
質數分母的無限循環小數的循環節的長度的決定。
循環小數學習活動四:
質數分母與合數分母的循環節長度的關係。
循環小數學習活動五:
利用計算器求循環小數的循環節長度。
參、教學活動
一、循環小數學習活動一:
小數的表徵類型
(一)呈現例題
利用計算機求出分母為
20
以內所得結果之小數的類型
圖一:
循環小數類型
探討循環小數的循環節3
(二)觀察異同與推論
由圖一運算結果顯示,學生可找出小數之種類,第一類分數為1/2,1/4,1/5,1/8,1/10,1/16及1/20等分數均可轉為有限小數;第二類分數為1/3,1/7,1/9,1/11,及1/13等小數的展開式為無限循環小數;第三類分數為1/12,1/14,1/15,及1/18等為混和小數;第四類分數是1/17及1/19的小數類型為無法判斷,因為計算機只能呈現十一位數字,其他隱藏在計算機內的數字,無法判斷是否有重複的數字,這成為學生需要進一步探討的對象。
(三)利用電腦求出分母為1/17及1/19之小數的類型
雖然計算機無法判斷,學生用功能較強的電腦來求小數長度,由電腦mircalc.zip計算可求出1/17的結果有重複數字,重複數字的長度為16,亦即循環節長度為16,因此,1/17=0.0588235294117647,同理可求出1/19=,因此可將1/17與1/19歸類為無限循環小數。
(四)結論
求分數化小數的過程中,發現小數的種類有三類型(Lady,2004),第一類為有限小數,第二類為無限循環小數和第三類為混和無限循環小數。
第一類有限小數分母的質因數分解式,僅含2與5的二個質因數,第二類無限循環小數的分母,除了9之外均為質因數,而9是3的倍數,第三類混和循環小數分母的質因數分解式含2與5及其他質因數的乘積,混和小數中含循環及不循環數字,而不循環數字的個數稱為延遲數,小數中重複的數字或循環的數字稱為循環節,重複數字或循環節的個數稱為循環節的長度。
二、循環小數學習活動二:
質數分母的循環小數的循環節如何產生?
(一)呈現例題
請學生分成小組利用紙筆,用長除法求質數分母的分數1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,6/7,1/13,2/13,3/13,4/13,…,12/13等的餘數,並將其列出,下圖三為計算1/7,1/13和2/13的長除法(Lichtenberg,1978)的算式。
4吳鳳學報第13期
0.142857
100000077
30
28
20
14
60
56
40
45
.0769********
78
2
491
圖二:
長除法
(二)觀察異同與推論
1.由圖二1/7的算式,可看出分數1/7經由長除法得餘數1,3,2,6,4和5,當餘數1與被除數1相同時,表計算結束,因為再計算下去會產生相同的商與餘數。
2.其他分母為七的分數2/7,3/7,4/7,5/7和6/7,經長除法求得的餘數與1/7相同。
,可看出分數1/13經由長除法得餘數1,10,3.由圖二1/13和2/13的長除法的算式
9,12,3和4,當餘數1與被除數1相同時,表計算結束,但是餘數只有六個,少了餘數2,5,6,7,8,和11。
,當餘數2與被除數2相同時,4.而分數2/13經由長除法得餘數2,7,5,11,6和8
表計算結束,而餘數也是只有六個,少了餘數1,10,9,12,3和4。
5.其他分母為13的真分數,經長除法求得的餘數分成兩組,一組餘數與1/13同另一組與2/13同,兩組答案的聯集為一組12個數字為1~12的餘數集合。
(三)結論
1.循環小數的循環節的長度與經由長除法所產生的餘數個數有關。
2.分母為七的真分數的循環節長度與餘數個數相同,為7-1=6。
3.分母為十三的真分數的循環節長度與餘數個數不相同,但分成兩組,兩組的餘數個數6均為餘數13-1=12的一半,亦即2×6=12,滿足與餘數相同的概念。
三、循環小數學習活動三:
循環節長度的決定
(一)思考問題:
由前一節活動的結論可知,循環節的長度與餘數個數相同,例如質
因數7,或可由不同的循環節2個組成與餘數12個數相同,例如質因數13,但是為何13的循環節長度為6而不是其他數字呢?
這是個值得探討的問題。
探討循環小數的循環節5
(二)呈現例題:
觀察以下幾個循環小數的結果,顯示無限循環小數轉為分數,未化
為最簡分數前,分母全是由數字9組成,為什麼?
0.142857142857142857…=142957/999999=1/7
=1/4070.002457002457002457…=2457/999999
0.149877149877149877…=149877/999999=61/407
0.135135135135135135…=135135/999999=55/407=5/37
0.135135135135135…=135/999=5/37
(三)活動二:
將無限循環小數N=轉為分數。
(四)觀察異同與推論
幾個數字的循環節就會產生幾個分母中的9,可是這項推論正確嗎?
請觀察
下列計算器將分數轉為無限循環小數的結果。
圖三:
循環節的長度
(五)結論
1.由圖三循環節的長度中的數值,可看出小數的循環節的長度與分子無關,與分母為全含數字九的因數有關,循環節的長度是能使分母q整除數字10k-1的最小的k值。
例如,分母為3或9,循環節的長度是一位數字,因為為3或9均可整除9=101-1,最小的k值為一。
分母為11,循環節的長度是二位數字,因為為11可整除99=102-1,最小的k值為二,99可以被11整除或1/11=9/99。
分母為37,循環節的長度是三位數字,因為為37可整除999=103-1,999可以被37整除或1/37=27/999,雖然37可以整除999,999999或99999999,但是需要的循環節長度是最小可整除全是9的數字,而999含9的個數為3是最小的個數,最小的k值為三。
分母為101循環節的長度是四位數字,因為為101可整除9999=104-1,最小的k
值為四。
分母為
41而41
可整除99999或
1/41=2439/99999,9有五個,故
1/41的循環節為5。
1/7的循環節為
6,因為999999可以被7整除或1/7=142857/999999。
圖四:
質因數的倍數
2.將無限循環小數N=轉為分數。
6吳鳳學報第13期
解:
令N=0.358974358974358974358974………..
(1)
1000000N=358974.358974358974358974………..
(2)
(2)-
(1)999999N=358974
=358974∴N999999
3.經整理在計算器的最大容量範圍內,求出質因數的倍數是全有數碼九所組成的數字,列表如下。
表二:
由不同個數的9組成的數字的質因數分解式
數字全是9質因數分解式
2
32×1133×3732×11×10132×41×27133×7×11×13×3732×239×464932×11×73×101×13734×37×33366732×11×41×271×9091
99999999999因計算機程式會產生四捨五入的誤差(2⋅41⋅271⋅9091錯誤值)值,無法給予正確因數分解⋅3⋅3⋅5⋅11
32××513239(正確值)21649
32×7×11×13×37×101×9901
四、循環小數學習活動四:
質數分母與合數分母的循環節長度的關係
(一)呈現例題、觀察異同與推理
,並將小數分類i)小數的種1.觀察將分數分母為數字二十以內的小數展開式分類
類ii)循環節的長度iii)延遲數的個數,填入下表三:
2.觀察圖一循環小數類型,第三類分數為1/12,1/14,1/15,及1/18等混和循環小數中,分母質因數分解式2與5的最高次方,再比較延遲數的個數,找出兩者的關係。
3.觀察圖一第三類分數為1/12,1/14,1/15,及1/18等混和循環小數中,在分母的質因數分解式中,利用含非2與5的質因數的循環節長度,求一個、二個或多個質因數循環節長度的最小公倍數,比較此公倍數與混和循環小數的循環節,找出兩者的關係。
(二)結論
1.分母質因數分解式2與5的最高次方,與延遲數的個數相同,例如1/12=0.083
探討循環小數的循環節7
的延遲數字為2,分母12的質因數分解式:
12=22×3中質因數2的最高次方亦為2。
2.分母的質因數分解式中,利用含非2與5的質因數的循環節長度,求一個、二個或多個質因數循環節長度的最小公倍數,此公倍數與混和循環小數的循環節兩者的關係亦相同。
例如1/14=0.0714285分母14的質因數分解式:
14=2×7中質因數7的循環節為6,1/14的循環節亦為6,又因此分解式中有質因數2,而其次方為1,固有延遲數為1。
3.結論填入表三
五、循環小數學習活動五:
計算器求循環小數的循環節長度
提供以下範例讓學生可利用最簡單、便宜的八位元的計算器,自由探討任意真分數的小數類型與循環節的長度,求解步驟如下:
(一)瞭解電算器:
8吳鳳學報第13期
1.若要找出分數N/D的小數表徵,需要知道電算器的顯示數字的個數是幾位。
例如:
求分數7/23之小數循環節,使用一個呈現八位數字的電算器,則令分子
N=7,分母D=23,對任意數字A而言,令#(A)表數字A的位數,
例如,23是二位數字#(23)=2,且#(.123456789012)=12。
2.令B=#(電算器顯示數字C的個數)-#(分母D的個數)。
3.若要知道#C電算器顯示數字的個數,只需輸入數字123456789012並數幾位即可。
圖十:
電算器的呈現數字位數(此電算器的呈現數字的位數為12)
4.B=#(電算器的呈現數字的位數C)-#(D)=12-2=10。
(二)紀錄
1.分子除以分母產生的小數值,需依B長度區塊做紀錄。
2.經過起始的紀錄,小數點前的數字依是否為真分數來決定(N是否大於D);
(1)若N
N′
(2)若N>D,則將假分數N/D轉變為混合分數a+,然後記錄起始數字a,再D
執行運算過程。
3.範例:
若分數是40/23,則起始記錄為整數1,求小數點後分數17/23的循環節,
4017因為=1+。
2323
4.過程步驟
步驟一:
記錄N/D的起始數字。
步驟二:
清除電算器內部或外部任何記憶內容。
步驟三:
計算
N÷D之值,例如:
17÷23=0.739130434783。
步驟四:
配合電算器的顯示個數,如果B=12−2=10,則下一個該記錄的B
區塊數字為0.7391304347。
步驟五:
判斷
若未觀察出任何循環數值的跡象,表仍需求更多的小數表徵,則繼續
執行步驟六,否則就表示循環節已求出,結束運算算則。
步驟六:
清除電算器。
步驟七:
小數點後輸入步驟四的B區塊數字,例:
輸入.7391304347。
步驟八:
乘以分母D,例如,7391304347×23=16.9999999981。
步驟九:
求N-16.9999999981(步驟八的結果)的差值。
例如:
17−16.9999999981=0.0000000019
探討循環小數的循環節9
步驟十:
將步驟十的結果改為整數,小數點後向右移動B位(或乘以10的B次方
),得整數19。
步驟十一:
將步驟十所得整數當成新的分子,然後重新執行步驟二及其他過程。
第一次迴路:
求下一個分數19/23的商,需重複步驟二至十一:
步驟二:
清除電算器內部或外部任何記憶內容。
步驟三:
計算
N÷D之值,現在N=19,19÷23=0.826086956522。
步驟四:
記錄新求出的數字,現17/23為0.73913043478260869565。
步驟五:
仍未能看出循環數字的跡象,決定需更多小數,繼續步驟六。
步驟六:
清除電算器。
步驟七:
輸入.8260869565。
步驟八:
乘以分母D,例如,.8260869565×23=18.9999999995。
步驟九:
求差值:
N-(步驟八結果)
19-18.9999999995=0.0000000005。
步驟十:
將小數點向右移動
B區塊(或乘以
10的B次方),得整數5。
步驟十一:
重新訂定N
=5,轉回步驟二至十一如下:
第二次計算迴路步驟二:
清除電算器內部或外部任何記憶內容。
步驟三:
計算5÷23=0.217391304348。
步驟四:
紀錄增加17/23為0.73913043478260869565217391304348。
5步驟五:
決定繼續或終止,一旦的循環節清晰可知,算則即可終止,因23
為23為質數而質數的最長循環節為P-1=23-1=22,而小數值到達
22位數時,以看見重複出現的數字,故終止運算算則。
肆、循環小數學習活動啟發出數論概念
一、兩整數a與b稱為對n同餘(Congruentforthemodulusn),當兩數之差a-b可被n
整除,符號記為a≡b(modn)。
10吳鳳學報第13期
練習一:
數字1與8對數字7而言是同餘,因此1/7=0.142857與8/7=1.142857除
了整數部分不同外,均有相同的小數循環節。
二、若q為質數,則循環節的長度是(q-1)的因數(Price,2004;Lady,2004)。
練習二:
13為質數,則循環節的長度是(13-1)的因數嗎?
已知質數13的循環節的長度是6,而6是13-1=12的因數。
a2三、對任一分母q而言,若其能化為為質因數分解式p1a1×p2…,則循環節的長度是
a2−1φ(q)=(p1−1)p1a1−1×(p2−1)p2×…的因數。
練習三:
求91的循環節的長度。
解:
因為91可分解為91=7×13,故需求7與13的循環節長度,7的循環節
長度為φ(7)=6,而13的循環節長度為φ(13)=6,因此兩循環節的長度
的最小公倍數是LCM(φ(7)=6,φ(13)=6)=6。
練習四:
:
探討3的次方的循環節的長度。
解:
φ(3)=1φ(9)=1
φ(27)=3φ(81)
=9φ(243)=27
計算器無法顯示所有的循環節數字,可利用活動五的方法求循環節或可利用電腦程式,得1/243=0.004115226337448559670781893的循環節長度為27。
能由1/3,1/8,1/27,1/81,1/243推論1/729的循環節長度嗎?
能推論1/3n的循環節長度嗎?
φ(3)=1φ(9=32)=30φ(27=33)=31φ(81=34)=9=32
φ(243)=27=33…
φ(3n)=3n−2
四、q1與q2最小公倍數的循環節長度是兩循環節長度的最小公倍數。
練習五:
求9997的循環節的長度。
解:
因為9997可因數分解為9997=13×769,故9997的循環節長度應為
12×768=9216的因數,利用電腦求出769重複的數字的循環節為192,
1/769=0.001300390117035110533159947984395318595578673602080624
187********30559167750325097529258777633289986996098829648894
6684005201560468140442132639791937581274382314694408322496749
024*********。
已知ϕ(13)=6同時也求出ϕ(769)=192,因此13的循環節長度為6,而769的循環節長度為192,因此兩循環節的長度的最小公倍數LCM(6,192)=192。
1/9997=0.000100030009002700810243072921876562968890667200160048014404321296388916675002500750225067520256076823046914074222266680004001200360108032409722916875062518755626688006401920576172851855556667,事實上此循環節的長度是192。
探討循環小數的循環節11
五、若p是質數且1/p的循環節長度為k,則1/p會有
若循環數字為m,則其乘積mp會有k個九。
練習六:
探討1/41循環節長度k為何?
有幾個長度為k的不同循環節?
解:
p−1個長度為k的不同循環節;k
由上計算器的顯示可看出1/41的循環節長度為k=5,而根據同餘概念可求出
41−1對應餘數分別為1,10,18,16和37等五個,因此質因數41會對應=8
個不
5
同的循環節,因無餘數2,可用計算器求解對應餘數分別為2,20,36,32
和33等
五個。
同理可求出其它的循環節,對應的餘數分別為餘數3開始的3,30,13,7和
29;對應的餘數分別為餘數4開始的4,40,31,23和25;對應的餘數分別為餘數5開始的5,9,8,39和21;對應的餘數分別為餘數6開始的6,19,26,14和17;對應的餘數分別為餘數11開始的11,28,34,12和38;對應的餘數分別為餘數15開始的15,27,24,35和22。
練習七:
探討1/41循環節數值為何?
若循環數字為m,則其乘積mp會有幾個
九。
解:
由練習六可知循環節長度為5
,1÷41=0.02439且2439×41=99999。
故得知乘積會有五個九。
伍、由數論引出之循環小數趣味遊戲
一、圓形排列:
活動一的後續發展
分數1/7的小數展開式的循環節數字可以形成環狀,以順時鐘方向旋轉,立刻可以看出無限循環的可能性。
首先將分1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,與6/7一一列出如下,比較組成循環節數字的同異處。
12吳鳳學報第13期
1/7=0.142857
4/7=0.5714282/7=0.2857145/7=0.714285
3/7=6/7=學生的第一個發現是所有的組成循環節的數字,均為1,4,2,8,5與7,且發現欠缺數碼3,6,與9(為什麼?
),想想看,七的倍數的個位數字為何哪些數碼?
學生的第二個發現是所有的其他的循環數字,均可由第一個循環數字相乘而獲得。
例如:
1×142857=1428572×1428572857143×142857=428571
4×142857=5714285×1428577142856×142857=857142
學生的第三個發現是兩分數1/7+6/7相加的和是一,而循環小數部分的和卻是數字九的無限循環,因此兩者不同表徵,數值是否相同,「0.99999…..=1」是否相等的敘述受
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