名师整理最新中考数学专题复习《垂径定理》精品教案Word格式文档下载.docx
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思路分析:
先根据题意画出图形,由于点
C
的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论。
答案:
解:
连接
AC,AO,
∵⊙O
⊥CD,AB=8cm,
11
22
当
点位置如图
1
所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM=
OA2
-
AM
=
52
42
=3cm
,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC=
+
CM
82
=4
cm;
2
所示时,同理可得
OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5-3=2cm,
在
Rt△AMC
中,AC=
MC2
22
=25
cm,
故选
C。
技巧点拨:
本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此
题的关键。
如图,MN
是半径为
的⊙O
的直径,点
A
在⊙O
上,∠AMN=30°
,点
B
为劣
弧
AN
的中点,P
是直径
MN
上一动点,则
P
A+PB
的最小值为()
A.2B.
1C.
2D.
作点
关于
的对称
点
B′,连接
OA、OB、OB′、AB′,根据轴对称确定最
短路线问题可得
AB′与
的交点,即为
PA+PB
的值最小时的点,根据外角知识求出∠AON
=60°
,然后求出∠
BON=30°
,再根据对称性可
得∠B′ON=∠BON=30°
AOB′
=90°
,从而判断出△
AOB′是等腰
直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=
OA,即为
的最小值。
的对称点
OA、OB、OB′、AB′,
的交点即为
的最小时的点,PA+PB
的最小值=AB′,
∵∠AMN=30°
,∠AMN=∠A,
3
∴∠AON=2∠AMN=2×
30°
∵点
为劣弧
的中点,
由对称性,∠B′ON=∠BON=30°
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°
+30°
∴△AOB′是等
腰直角三角形,
∴AB′=
OA=
×
1=
即
的最小值=2
A。
本题考查了轴对称确定最短路线问题,在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角
等于圆周角的
倍的性质,作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键。
提分宝典
与垂径定理有关的计算中,连接半径构建直角三角形,利用勾股定理求解是常用的方
法。
例题如图,AB
的弦,OC⊥AB
于点
D,交⊙O
C,若
AB=8,CD=2,求半
径的长。
OA,
4
∵OC⊥AB,AB=8,
∴AD=4,
∵DC=2,
∴OD=OC-2,
∵OA=OC,
∵OA2
AD
OD
(OA
2)2
解得
OA=5。
在条件中如果出现了弦的中点或弧的中点等条件时,连接圆心与这些中点,是常用的
辅助线的作法。
【针对训练】
如图,半径为
6cm
中,C、D
为直径
AB
的三等分点,点
E、F
分别在
两侧的
半圆上,∠BCE=∠BDF=60°
,连接
AE、BF,则图中两个阴影部分的面积为__________cm2。
作三角形
DBF
的轴对称图形,得到三角形
AGE,三角形
AGE
的面积就是阴
影部分的面积。
如图,作△DBF
的轴对称图形△HAG,作
AM⊥CG,ON⊥CE,
∵△DBF
的轴对称图形△HAG,
由于
C、D
的三等分点,则
H
与点
重合
5
∴△ACG≌△BDF,
∴∠ACG=∠BDF=60°
∵∠ECB=60°
∴G、C、E
三点共线,
∵AM⊥CG,ON⊥CE,
∴AM∥ON,
∴
AM
AC
OC
=
Rt△ONC
中,∠OCN=60°
∴ON=sin∠OCN•OC=3
∴AM=2
∵ON⊥GE,
OE,
Rt△ONE
中,NE=
OE
ON
62
(
3)
33
∴GE=2NE=2
△
∴图中两个阴影部分的面积为
6
11
,故答案为
6
本题考查了平行线的性质,垂径定理,勾股定理的应用。
垂径定理练习题
如图,
的直径,弦
CD⊥AB
E,则下列结论正确的是()
△BOC
是等边三角形
四边形
ODBC
是菱形
温州是著名的水乡,河流遍布整个城市,某河流上建有一座美丽的石拱桥(如图),
已知桥拱半径
为
5m
,水面宽
m,则石拱桥的桥顶到水面的距离
CD
为()
mB.
7mC.
5+
mD.
m
5B.
5C.
5D.
**4.
如图,在平面直角坐标系中,⊙P
的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为
3,函数
y
=x
的图象被⊙P
截得的弦
的长为
42
,则
a
的值是()
7
4B.
3+
2C.
3+3
**5.
如图,AB、CD
的两条弦,AB=8,CD=6,MN
是直径,AB⊥MN
E,CD⊥MN
F,P
EF
上的任意一点,则
PA+
PC
的最小值为。
**6.
如图,⊙O
的半径是
4,△ABC
的内接三角形,过圆心
O
分别作
AB、BC、AC
的垂线,垂足为
E、F、G,连接
EF,若
OG=1,则
为。
*7.
已知在以点
为圆心的两个同心圆中,大圆的弦
交小圆于点
C,D(如图)。
(1)求证:
AC=BD;
(2)若大圆的半径
R=10,小圆的半径
r=8,且圆
到直线
的距离为
6,求
的
长。
8
**8.
如图,在半径为
23
的扇形
AOB
中,∠AOB=120°
是弧
上的一个动点(不
A、B
重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为
D、E。
(1)当
BC=4
时,求线段
的长;
(2)在△DOE
中是否存在长度保持不变的边?
如果存在,请指出并求其长度;
如果不
存在,请说明理由
9
∴DE=CE,
BC
垂径定理同步练习参考答案
B解析:
∵AB⊥CD,AB
的直径,
根据已知不能推出
OE=
,BOC
是等边三角形,四边形
是菱形。
B。
D解:
OA
,如图,
∵CD⊥AB,
Rt△OAD
中,OA=5,OD=
AD2
(2
6)
=1,
∴CD=OC+OD=5+1=6(m),故选
D。
3.
A解析:
如图,作
AD⊥
于
D,
∵AB=AC=5
∴AD
垂直平分
BC,
∴点
在直线
上,
OB,
Rt△ABD
中,sinB=
AD
∵AB=5,
∴BD=AB
=3,
Rt△OBD
中,OB=
10
,BD=3,
10
∴OD=
OB2BD2
当点
的两侧时,OA=
AD+OD=4+1=5;
的同侧时,OA=AD-OD=
4-1=3,
故
5。
4.
作
PC⊥x
轴于
C,交
D,作
PE⊥AB
E,连接
PB,如图,
∵⊙P
的圆心坐标是(3,a),
∴OC
=3,PC=a,
把
x=3
代入
y=x
得
y=3,
∴D
点坐标为(3,3),
∴CD=3,
∴
D
为等腰直角三角形,
∴△PED
也为等腰直角三角形,
∵PE⊥AB,
11
∴AE=BE=
Rt△PBE
中,PB=3,
∴PE=
32
2)
∴PD=
PE=
∴a=3+
,故选
5.
7
2解析:
OA,OB,OC,作
CH
垂直于
H,连接
BC。
根据垂径定理,得到
BE=
∴OE=
OB2
BE2
OF=
CF
=4,
∴CH=EF=OE+OF=3+4=7,
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,
Rt△BCH
中,
根据勾股定理得到
BC=72
PA+PC
的最小
值为
故答案为
6.15解析:
OC,如图,
12
∵OG⊥AC,
∴CG=AG,
Rt△OCG
中,CG=
OG2
12
15
∴AC=2CG=2
∵OE⊥AB,OF⊥BC,
∴AE=BE,BF=CF,
∴EF
为
的中位线,
∴EF=
7.
(1)证明:
过
OE⊥AB
E,
CE=D
E,AE=BE,
∴BE-DE=AE-CE,即
(2)解:
由
(1)可知,OE⊥AB
且
OE⊥CD,连接
OC,OA,
∴OE=6
∴CE=
=2
,AE=
OE2
102
=8,
∴AC=AE-CE=8-2
8.
(1)∵OD⊥BC,∴BD=
BO2
BD2
=22
;
(2)存在,DE
是不变的,
理由是:
如图,连接
AB,
13
过点
的垂直平分线,与
交于点
F,与弧
OM
平分∠AOB
与弧
∴∠AOF=60°
Rt△AOF
中,∵∠AOF=60°
,OA=23
∴AF=3
∴AB=2AF=6,
由垂径定理可知,点
D、E
分别是
和
CA
DE
是△ABC
14
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