乘除法的关系与运算律.docx
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乘除法的关系与运算律
【知识要点】
〔一〕、乘除法各局部之间的关系:
〔1〕乘法各局部之间的关系:
因数×因数=积 一个因数=积÷另一个因数
〔2〕除法各局部之间的关系:
没有余数的除法:
有余数的除法:
被除数=商×除数 被除数=商×除数 + 余数
除数=被除数÷商 除数=〔被除数-余数〕÷商
商= 被除数÷除数 商= 〔被除数-余数〕÷除数
〔3〕乘、除法之间的关系:
除法是乘法的逆运算
注意:
0不能作除数。
(4)整除:
a÷b(b≠0)=c那么a能被b整除,b能整除a。
〔二〕乘法运算律
1、乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
这个规律叫做乘法交换律。
用字母表示为:
a·b=b·a
2、乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘再乘第三个数,或先将后两个数相乘再乘第一个数,它们的积不变。
这个规律叫做乘法结合律。
用字母表示为:
(a·b)·c=a·(b·c)
3、乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把这两个加数分别与这个数相乘,再把积相加。
这个规律叫做乘法分配律。
用字母表示为:
(a+b)·c=a·c+b·c a·c+b·c=(a+b)·c
乘法分配律的拓展:
两个数的差与一个数相乘,可以用这个数分别去乘相减的两个数,再把积相减。
用字母表示为:
(a-b)·c=a·c-b·c a·c-b·c=(a-b)·c
〔三〕减法简便运算:
1、一个数连续减去两个数,可以用这个数减去这两个数的和。
用字母表示:
a-b-c=a-(b+c)
2、一个数连续减去两个数,可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。
用字母表示:
a-b-c=a—c-b
〔四〕除法简便运算:
1、一个数连续除以两个数,可以用这个数除以这两个数的积。
用字母表示:
a÷b÷c=a÷(b×c)
2、一个数连续除以两个数,可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。
用字母表示:
a÷b÷c=a÷c÷b
〔五〕积的变化规律
① 一个因数缩小〔扩大〕几倍,另一个因数扩大〔缩小〕相同的倍数,积不变。
② 一个因数缩小(或扩大几倍),另一个因数不变,积也随着缩小(或扩大)几倍。
③ 一个因数扩大m倍,另一个因数扩大n,积扩大m×n倍;
一个因数缩小m倍,另一个因数缩小n,积缩小m×n倍;
一个因数扩大〔缩小〕m倍,另一个因数缩小〔扩大〕n倍,积扩大或缩小m÷n倍。
〔六〕解决问题:
1、相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
2、工程问题
工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
3、最多、最少问题
人数最少多买贵的,人数最少多买廉价的。
4、购物、旅游合算问题
先计算后比拟。
【例题精选】
一、常见乘法计算:
25×4=100 125×8=1000
二、加法交换律简算例子:
三、加法结合律简算例子:
50+98+50 488+40+60
=50+50+98 =488+〔40+60〕
=100+98 =488+100
=198 =588
四、乘法交换律简算例子:
五、乘法结合律简算例子:
25×56×4 99×125×8
=25×4×56 =99×〔125×8〕
=100×56 =99×1000
=5600 =99000
六、含有加法交换律与结合律的简便计算:
65+28+35+72
=〔65+35〕+〔28+72〕
=100+100
=200
七、含有乘法交换律与结合律的简便计算:
25×125×4×8
=〔25×4〕×〔125×8〕
=100×1000
=100000
八、乘法分配律简算例子:
一、分解式 二、合并式
25×〔40+4〕 135×12—135×2
=25×40+25×4 =135×〔12—2〕
=1000+100 =135×10
=1100 =1350
三、特殊1 四、特殊2
99×256+256 45×102
=99×256+256×1 =45×〔100+2〕
=256×〔99+1〕 =45×100+45×2
=256×100 =4500+90
=25600 =4590
五、特殊3 六、特殊4
99×26 35×8+35×6—4×35
=〔100—1〕×26 =35×〔8+6—4〕
=100×26—1×26 =35×10
=2600—26 =350
=2574
九、 连续减法简便运算例子:
528—65—35 528—89—128 528—〔150+128〕
=528—〔65+35〕 =528—128—89 =528—128—150
=528—100 =400—89 =400—150
=428 =311 =250
十、 连续除法简便运算例子:
3200÷25÷4
=3200÷〔25×4〕
=3200÷100
=32
十三、 其它简便运算例子:
256—58+44 250÷8×4
=256+44—58 =250×4÷8
=300—58 =1000÷8
=242 =125
【专项训练】
一、积的变化规律练习题
1、先用积的变化规律填空,再用笔算或计算器验算。
26×48=1248 17×12=204
26×24=〔 〕 17×24=〔 〕
26×12=〔 〕 17×36=〔 〕
2、请学生完成以下计算,并在组内述说自己发现的规律。
18×24= 105×45=
〔18÷2〕×〔24×2〕= 〔105×3〕×〔45÷3〕=
〔18×2〕×〔24÷2〕= 〔105÷5〕×〔45×5〕=
3、在○中填上运算符号,在□中填上数。
24×75=1800 36×104=3744
〔24○6〕×〔75×6〕=1800 〔36×4〕×〔104○4〕=3744
〔24○3〕×〔75○□〕=1800 〔36○□〕×〔104○□〕=3744
4、一个长方形的面积是256平方厘米,如果长缩小4倍,宽扩大4倍,这个长方形就变成了正方形,这个正方形的面积是多少?
它的边长是多少?
二、乘法的运算律
〔一〕在□里填上适宜的数,在〔 〕里填上运算定律。
135+□=467+□ 运用了〔 〕
〔29×□〕×8=29×〔125×□〕 运用了〔 〕
25×67×4=25×□×67 运用了〔 〕
125×〔400+□〕=125×400+125×8 运用了〔 〕
72+57+43=72+〔57+43〕 运用了〔 〕
〔二〕判断,对的打“√〞,错的打“×〞〔用手势表示〕,并说明理由。
⑴4×15=15×4……………………〔 〕
⑵〔28×5〕×15=28×〔5+15〕……〔 〕
⑶43×27=27+43……………… 〔 〕
⑷101×63=100×63+63……………〔 〕
⑸98×15=100×15+2×15…………〔 〕
〔三〕用简便方法计算。
⑴ 35+63+27 ⑵ 〔103-3〕×15
⑶ 25×44 ⑷ 14×32+69×14
〔四〕体味生活中的数学--购物。
王阿姨是开商店的,今天她准备到好多多超市批发以下清单中的商品,她带了3000元,如果要购置这些商品,钱够用吗?
请你帮王阿姨算一算,看谁的方法最巧妙。
商品
单价〔元〕
数量
德芙巧克力
43
36包
洗衣粉
36
15箱
绿盛牛肉干
17
36包
洗发露
25
36瓶
【解决问题】
〔1〕师徒两人合作加工520个零件,师傅每小时加工30个,徒弟每小时加工20个,几小时以后还有70个零件没有加工?
〔2〕甲、乙两队合挖一条水渠,甲队从东往西挖,每天挖75米;乙队从西往东挖,每天比甲队少挖5米,两队合作8天挖好,这条水渠一共长多少米?
(3)甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行,8小时两船还相距22千米。
乙船每小时行42千米,甲船每小时行多少千米?
〔4〕一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发,相向而行,3小时后两车相遇。
汽车每小时比自行车多行31.5千米,求汽车、自行车的速度各是多少?
〔5〕两地相距270千米,甲、乙两列火车同时从两地相对开出,经过4小时相遇。
甲车的速度是乙车的1.5倍,求甲、乙两列火车每小时各行多少千米?
〔6〕甲、乙两城相距680千米,从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米,2小时后,快车从乙城开往甲城,每小时行80千米,快车开出几小时后两车相遇?
〔7〕甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行,甲车每小时行45千米,途中因汽车故障甲车停了1小时,5小时后两车相遇。
乙车每小时行多少千米?
〔8〕A、B两地相距3300米,甲、乙两人同时从两地相对而行,甲每分钟走82米,乙每分钟走83米,已经行了15分钟,还要行多少分钟才可以相遇?
〔9〕甲、乙两列汽车同时从两地出发,相向而行。
甲车每小时行45千米,乙车每小时行32千米,相遇时甲车比乙车多行52千米。
求甲乙两地相距多少千米?
〔10〕姐妹俩同时从家里到少年宫,路程全长770米。
妹妹步行每分钟行60米,姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回,途中与妹妹相遇。
这时妹妹走了几分钟?
〔2001年上海市金山区升级考试卷〕
〔11〕小明和小华从甲、乙两地同时出发,相向而行。
小明步行每分钟走60米,小华骑自行车每分钟行190米,几分钟后两人在距中点650米处相遇?
〔2002年上海市金山区升级考试卷〕
〔12〕A、B两地相距300千米,两辆汽车同时从两地出发,相向而行。
各自到达目的地后又立即返回,经过8小时后它们第二此相遇。
甲车每小时行45去,千米,乙车每小时行多少千米?
甲乙两人分别同时从A、B两地相向而行,相遇时距A地120米,相遇后,他们继续前进,到达目的地后立即返回,在距A地150米再次相遇,求A、B两地之间的距离。
问题补充:
甲乙都是匀速前进,请用四年级的方法来做,不要方程。
四年级的方法如下:
乙从第一次相遇到第二次相遇一共走了270〔在2个全路程内〕,平均每个全程走135
因为是匀速运动,所以第一个全程应该也走了135,
所以距离就等于135+120=255
【相遇问题练习一】
1、 甲乙两人在400米的环形跑道上跑步,两人朝相反的方向跑,第一次和第二次相隔40秒,甲每秒跑6米,乙每秒跑多少米?
2、 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行,公共汽车汽车每小时行40千米,小汽车每小时行52千米。
几小时后两车第一次相距69米。
几小时后又相距69米?
3、 一列客车和一列货车同时同地反向而行,货车比客车每小时快6千米,3小时后相距342千米,求两车的速度。
4、 某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒。
问,该列车与另一列长320米时速64.8千米的列车错车而过需要几秒?
5、 一列火车长150米,每秒行20米,全车通过一座长450米长的大桥,需要多长时间?
6、 甲乙两人绕周长1200米的环形广场冲走,甲每分走125米,乙的速度是甲的1.2倍,现在甲在乙的后面400米,追上甲需要多长时间?
7、 小明以每分50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学校1000米处追上小明。
求小强骑自行车的速度?
8、 一架飞机从甲空港飞往乙空港,原方案每分飞行9千米,现在按每分12千米的速度飞行,结果提前半小时到达,甲乙两地相距多少千米?
9、 甲乙两人练习跑步,假设甲让乙先跑10米,那么甲跑5秒可追上乙;假设乙比甲先跑2秒,那么甲4秒可追上乙。
问甲乙两人的速度?
10、甲乙两车同时从A地开往B地,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米,途中甲车因故障修车用了3小时,结果甲车比乙车迟到1小时。
AB两地相距多少?
【相遇问题练习二】
1、甲乙两辆汽车从相距600千米的两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米,甲车先开出2小时后,乙车才开出。
乙车行几小时后与甲车相遇?
2、一列火车于下午4时30分从甲站开出,每小时行120千米,经过1小时后,另一列火车以同样的速度从乙站开出,晚上9时30分两车相遇。
甲乙两站铁路长多少千米?
3、快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出,快车每小时行60千米,慢车每小时行52千米,经过几小时后快车经过中点32千米处与慢车相遇。
甲、乙两地的路程是多少千米?
4、甲、乙两车从A、B两地同时相向而行,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米,两车在距中点15千米处相遇。
A、B两地相距多少千米?
5、甲乙相距640千米,两辆汽车同时从甲地开往乙地,第一辆汽车每小时行46千米,第二辆汽车每小时行34千米,第一辆汽车到达乙地后立即返回,两辆汽车从开出到相遇共与偶用了几小时?
6、哥哥和妹妹同时从甲到相距540米远的学校上学,哥哥每分钟走60米,妹妹每分钟走48米,哥哥到达学校后发现忘了拿铅笔,立即返回家去取,在途中遇到妹妹。
从开始上学到两人再相遇共有多少分钟?
7、甲乙两队学生从相距2700米的两地同时出发,相向而行,一个同学骑自行车以每分钟150的速度在两队之间不停地往返联络,甲队每分钟行25米,乙队每分钟行20米,两队相遇时,骑自行车的同学共行了多少米?
8、AB两人同时从相距3000米的家里相向而行,A每分钟行70米,B每分钟行80米,一只大狗与他同时出发,每分钟行100米,狗与B相遇后立即掉头向A跑去,遇到A后又向B跑去,直到AB两人相遇。
这只狗一共跑了多少米?
【单元测试】
一、填空。
〔16分〕
1、〔 〕÷125=8 〔 〕×150=900 48×〔 〕=240
2、一个因数=〔 〕÷〔 〕,被除数=〔 〕×〔 〕
除数=〔 〕÷〔 〕,除法是乘法的〔 〕.
3、在一个乘法算式中积是280,一个因数缩小5倍,另一个数扩大10倍,积是〔 〕。
4、根据34×12=408写出两个除法〔 〕、〔 〕。
5、甲数除以乙数,商是54,余数是700,如果乙数是900,甲数是〔 〕。
6、2×5×6×2×5×5×2积的末尾有〔 〕个零。
7、2846÷6=441表示:
〔 〕能被〔 〕整除,还可以表示:
〔 〕能整除〔 〕。
8、480÷〔6× 〕=20 26×〔 ÷8〕=208
二、根据运算定律在下面□里填上适当的数。
〔14分〕
15×16=16× 25×7×4= × ×7
〔60×25〕× =60×〔 ×8〕
〔125× 〕× =125×〔9×14〕
〔43+25〕×2= × + ×
8×47+8×53= ×〔 + 〕
17×〔18+ 〕=17× +17×15
三、下面哪个算式是正确的,正确打“√〞,错误的打“×〞。
〔8分〕
〔1〕26×〔15+24〕=26×15+24 〔 〕
〔2〕25×〔40+4〕=25×40+25×4 〔 〕
〔3〕75×27+25×27=〔75+25〕×27 〔 〕
〔4〕25×32=25×4×8 〔 〕
〔5〕〔40+2〕×25=40+2×25 〔 〕
〔6〕102×28=100×28+2×28 〔 〕
〔7〕62×99=62×100-1 〔 〕
〔8〕35×14=35×2×7 〔 〕
四、怎样算简便就怎样算。
〔18分〕
16400÷400 15×4×25×6 95×102
282×5+18×5 2870÷35 420÷28
五、选择。
〔6分〕
1、把符合要求的算式序号填在括号里。
①27×9=9×27 ②30+A+40=30+40+A ③〔40+10〕+50=40+〔10+50〕 ④25×11=11×25
⑤104×18=100×18+4×18 ⑥94×99+94=94×100 ⑦13×5×8=13×〔5×8〕⑧242+M=M+242
A、应用加法交换律的算式有〔 〕 B、应用乘法交换律的算式有〔 〕
C、应用乘法结合律的算式有〔 〕 D、应用加法结合律的算式有〔 〕
E、应用乘法分配律的算式有〔 〕
2、400减去24的差,除以13与12的和,最后求出的是〔 〕。
和 差 积 商
3、457×99的简便算法是〔 〕。
457×99-1 457×100+457 457×100-457
4、如果a×b=0,那么〔 〕。
A、a一定是0 B、b一定是0 C、a和b都是0 D、ab至少有一个是0
5、〔a+b〕×c=a×c+b×c,这叫做〔 〕。
乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律
六、找朋友。
〔把得数相等的算式连接起来〕〔4分〕
102×98+102 102×98+98 102×98+2×98 98×100-2×98
〔102-2〕×98 100×98+3×98 104×98 99×102
七、在能整除的算式后面的〔〕里,画“√〞〔4分〕
9÷5〔 〕 24÷2〔 〕 7÷2〔 〕 18÷3〔 〕 85÷13〔 〕
36÷9〔 〕 120÷4〔 〕 36÷6〔 〕 180÷1〔 〕 30÷8〔 〕
0÷8〔 〕 90÷5〔 〕 43÷6〔 〕 21÷4〔 〕 76÷6〔 〕
八、列式计算。
〔5分〕
1、一个数乘以2,再除以90,然后加上19,最后减去10,结果是10,这个数是多少?
2、一个数分别与4和9相乘,所得的积的和是2782,这个数是多少?
九、解决问题。
〔25分〕
1、一共有两个书架,每个书架有4层,共放有248本书,平均每个书架每层放多少本?
2、某学校有5位老师带着88名学生参观科技馆,现有1200元钱,够不够?
〔信息:
杨人票每张24元,儿童票每张12元。
〕
3、两人同时从相距6400米的两地相向而行。
一个人骑摩托车每分钟行600米,另一个人骑自行车每分钟行200米,经过几分钟两人相遇?
4、码头货物场有100吨煤需要运走。
大
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