42换元积分法习题Word格式文档下载.docx
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dx
)d(
x);
x
【解】因为d(
x)
2
dx,所以
(2
x)。
⑸dx
)d(3ln
x);
3dx,所以dx
【解】因为d(3ln
x)
3
⑹
)d(2
arcsinx);
x2
d(2
arcsinx)
,所以
)d(2arcsinx)。
⑺
)d(1
x2);
x2)
1x2)。
1x2
⑻
)d(arctan3x)。
9x2
3dx
【解】因为d(arctan3x)
)d(arctan3x)。
19x2
2.求以下不定积分:
⑴(2x1)2dx;
【解】这是复合函数的积分,用简单变量u替代中间变量2x1,积分红为能够直接积分的
u2
,
于是,应用凑微分法,得
(2x1)2dx
(2x1)2d(2x
1)------
d(2x1)
2dx
1(2x
1)3
c
------
u2du
1u3
1(2x1)3
dx;
3x
【解】这是复合函数的积分,用简单变量
u替代中间变量
13x,积分红为能够直接积分的
1,
u
d(13x)
ln1
3xc
⑶
35x
d(13x)3dx
dulnuc
【解】这是复合函数的积分,用简单变量u替代中间变量35x,积分红为能够直接积分的
3u
d(3
5x)
335x
33
5x
3(3
5x)3
3(35x)3c
⑷xexdx;
------d(35x)5dx
1du
3u3
3u
【解】这是积函数的积分,分别出复合函数ex,余下为微分部份xdx,对照中间变量的微
分d(x2)2xdx,仅相差一常数倍,于是,应用凑微分法,得
xex2
ex2
d(x2)
2xdx
eudu
eu
⑸
2x3
x4
【解】这是积函数的积分,分别出复合函数
,余下为微分部份
2x3dx,对照中间变量
1x4
的微分d(1x4)
4x3dx,仅相差一常数倍,于是,应用凑微分法,得
4
1x4dx
21x4d(1x)
1ln1x4
d(1x4)4x3dx
⑹tan10xsec2xdx;
【解】这是三角函数的积分,将tan10x作为复合函数,余下为微分部份sec2xdx恰为tanx
的微分,于是,应用凑微分法,得
tan10xsec2xdx
tan10xdtanx
dtanx
sec2
tan11xc
u10du
u11
11
e
【解】这是积函数的积分,分别出复合函数ex,余下为微分部份
1dx,对照中间变量的
微分dx
dx,仅相差一常数倍,于是,应用凑微分法,得
ex
2exdx
dx
2ex
⑻dx;
23x2
【解】这是积函数的积分,分别出复合函数
xdx,对照中间变
3x2
量的微分d(23x2)
6xdx,仅相差一常数倍,于是,应用凑微分法,得
6xdx
122
du
uc
⑼tan1
tan
dx,对
比中间变量的微分
d
2x
dx,恰巧相等,于是,应用凑微分法,得
21
x2d
---
d1
x2d1x2
tanudu
sinudu
dcosu
lncosuc
cosu
lncos
【此答案与课本答案能够互化:
lncos1x2
ln(cos1
x2)1
ln
lnsec1x2】
cos
⑽
xdx;
【解】这个复合函数有两个不一样的中间变量
ex和ex,要进行换元积分,须先化为同一此中
间变量:
ex
ex(ex
ex)
(ex)2
这成为积函数的积分,分别出复合函数
exdx,对照中间
变量的微分dex
exdx,仅相差一常数倍,于是,应用凑微分法,得
----
(ex)2
de
edx
arctanex
duarctanu
1u2
⑾
xlnxln(lnx)
【解法一】这是积函数的积分,
分别出复合函数
dx,对照
ln(lnx)
xlnx
中间变量的微分
dln(lnx)
1dx,恰巧相等,于是,应用凑微分法,得
lnx
dln(ln
1dx
xlnxln(lnx)
ln(ln
lnln(lnx)
lnu
【解法二】
dlnx
xlnxln(ln
lnxln(lnx)
ulnu
lntc
lnlnu
dlnu
t
dt
lnlnlnx
c。
⑿x
,其微分部分dx缺少中间变量的微分
【解】这个积分函数中只含复合函数
d(ex1)exdx中的ex,应进行变换,凑出中间变量的微分函数。
近似于⑽的方法:
1ex(ex
1)1ex,
x,余下为微分部份exdx,对照中间
1e
变量的微分d(1ex)
xdx,恰巧相等,于是,应用凑微分法,得
d(1
)
d(1e
ln1e
ln1ex
ex(1ex)
ex1
lnex
ln(ex1)x
ln(ex
1)
】
⒀cos3xdx;
【解】这是三角函数的积分,属于正、余弦函数的奇次幂,应分出一个作为微分部分
cosxdx,
余下平方部份cos2x,利用平方关系转变为其他函数的复合函数
sin2x,这样获得的积
分(1sin2
x)cosxdx中,微分部份可凑为
dsinx,获得的
(1sin2x)dsinx可换元成
为简单函数的积分,于是
cos3xdx
cos2xcosxdx
奇次幂中分出一个
cosx
(1
sin2x)dsinx
将cosxdx凑微分为dsinx,并将
cos2x转变为sinx的函数,
sinx
u2)du
换元
1sin3x
⒁cos2(2x
1)dx;
【解】这是三角函数的积分,属于正、余弦函数的偶次幂,应当使用半角公式
cos21cos2
进行降次办理:
cos2(2x1)
1cos2(2x1)
,于是
cos2(2x
1)dx
cos2(2x
1)dx
利用半角公式降次
cos2(2x
1)dx]
分别积分
[x
凑微分
cos(4x2)d(4x2)----
xsin(4x2)c
28
⒂
cos3
,余下为微分部份sinxdx,对照中间变
量的微分dcosx
sinxdx,仅相差一个常数倍,于是,应用凑微分法,得
dcosx
sinxdx
3dcosx
u3du
1u2
2cos2x
⒃
sinxcosx
sinx和cosx,要进行换元积分,须先化为同一
个,或许转变为第一换元积分法的规范形式
f(
(x))
'
(x)dx。
dtanx,以及
sinxcosx
利用
2dx
(x)dx的构造,
,组成f(
tanx
lntanx
⒄
(x
1)(x
【解】这是有理分式函数的积分,被积函数的分母为二次有零点,应将其分拆为一次分母的
分式之和,再分别积分,得
分拆
(x1
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