专题10等差数列与等比数列三年高考数学文真题汇编.docx
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专题10等差数列与等比数列三年高考数学文真题汇编
专题“等差数列与等比数列
1.【2017浙江,6】已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,贝Ud>0”是0+Se>2S5”
的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C•充分必要条件D•既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
试题分析:
由乞十鸟―2鸟二10斑十Rd—2(疔斑十1CW)二可知当daS^\S^S^2Ss>0f即
£+反之,代2色=说、,所以为充要条件,选匚
【考点】等差数列、充分必要性
【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,通过公式的套入与简单运算,可知
S4S62S5d,结合充分必要性的判断,若pq,则p是q的充分条件,若pq,
则p是q的必要条件,该题“d0”S4S62S50”,故为充要条件.
2.【2015高考新课标1,文7】已知{环}是公差为1的等差数列,Sh为{aJ的前n项和,若
S84S4,则曰。
()
(A)17
19
(B)19
2
(c)10
(D)12
2
【答案】
B
【解析】
•••公差
d1,
S8
4S4,二8a1-
2
11
874(4a143),解得印=
22
1
19
•a®
a19d
9
,故选B.
2
2
【考点定位】等差数列通项公式及前n项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式,
利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,利用等差数列性质可以
简化计算•
3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列{a1}中,42,a3a510,则a()
【答案】B
【解析】
试题分析:
设等差数列an的公差为d,由题设知,2ai6d10,所以,d1°_2a11
6
所以,a7ai6d268.故选b.
考点:
等差数列通项公式
本题属于基础题,利用下标和相等的
Sh为其前n项和,若
【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式,两项的和相等更能快速作答.
4.【2014天津,文5】设a是首项为ai,公差为1的等差数列,
S“S2,S4,成等比数列,则a1=()
1
A.2B.-2C.
2
【答案】D
【解析】
试题分析;因为环环屍成竽比数列』所汰乐■$民脚(坷-厅勺(4遇Fh还一,选d
£
考点:
等比数列
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前h项和公式,本题属于基础题,利用等差数
列的前h项和公式表示出S,S2,S4,然后依据S,S2,S4,成等比数列,列出方程求出首项•这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识,大多利用通项公式和前h项和公式通过列方
程或方程组就可以解出•
5.【2014辽宁文9】设等差数列的公差为d,右数列{2®为递减数列,则()
a•d0b.d0c.ad0d.qd0
【答案】C
【解析】
2耳ah
试题分析:
由已知得,2a1ah2a1ah1,即夢;1,2a1(ahah1)1,又a环1d,故2a1d1,
从而qd0,选c.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、
数列的性质等,解答本题的关键,是写出等差
【考点定位】1、等差数列的定义;2、数列的单调性.
【名师点睛】解决本题的关键是利用等比数列性质
2
N〔可1an得到一个关于
a4
的一元
数列的通项,利用{2^}是递减数列,确定得到君胃1得到结论.
本题是一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时,考查考生的计算能力
6.【2015新课标2文5】设Sn是等差数列{%}的前n项和,若a(a3比3,则S5()
A.5B.7c.9D.11
【答案】A
【解析】
试题解折:
由珂+迅+%二険二3二碍二1:
所有'為二J驚2I-,碍-5.故选A
【考点定位】本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式的应用.
【名师点睛】本题解答过程中用到了的等差数列的一个基本性质即等差中项的性质,利用此
【解析】
【考点定位】本题主要考查等比数列性质及基本运算
等比数列各有五个基本量,两组基本公式,
二次方程,再通过解方程求*4的值,我们知道,等差、
而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于
所以用方程思
基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题想解决数列问题是一种行之有效的方法
8.【2014全国2,文5】等差数列{an}的公差是2,若$,比,兔成等比数列,则{环}的前n项
A.n(n1)
【答案】A
B.n(n1)
C.
n(n1)
2
D.
n(n1)
2
和sn()
【解析】由已知得,a42a2sb,又因为{耳}是公差为2的等差数列,故
22
(a22d)a2@6d),(a24)还(a?
12),解得a?
4,所以
ana2(n2)d2n,故Snn(a;an)n(n1)•
【考点定位】1•等差数列;2•等比数列.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,等比中项的概念,等差数列的前n项和公式,本题属于基础题,解决本题的关健在于熟练掌握相应的公式
9.【2015高考广东,文13】若三个正数a,b,C成等比数列,其中a526,c526,
则b.
【答案】1
【解析】因为三个正数°」X匚成等比数列,所以.沪二血日5+2歯"7需因为所以.
&=L所以答秦应填:
1.
【考点定位】等比中项.
【名师点晴】本题主要考查的是等比中项,属于容易题•解题时要抓住关键字眼“正数”,
否则很容易出现错误•解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念,即若a,G,b成等比
数列,贝yG称为a与b的等比中项,即G2ab•
10.【2014高考广东卷.文.13】等比数列环的各项均为正数,且a1a54,
则log4logazlogas
logaqlog2a5.
【答案】5.
2
【解析】由题意知a1asa3
4,且数列an的各项均为正数,所以Sb2,
a1a2a3a4a5a1a5a2a4
223o5
S3S3S3S52,
log2a1log2a2log2a3
5
log2a4log205log:
S!
a2a3a4a5log225.
【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算
属于中等偏难题
【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算,属于中等偏难题.解题
时要抓住关键字眼“正数”,否则很容易出现错误•解本题需要掌握的知识点是等比数列的
性质和对数的基本运算,即等比数列an中,若mnp
q(m、
np、q
),
则OrndnapQ,lOga
lOga
lOga
(a0,
a1,
0,
0)•
11.【2015高考新课标
1,文13】数列
an中a
2,al1
2ai,sn为
an的前n项和,若
S126,则n
【答案】6
【解析】丁说=2,%二2陽二洌匕}是首项対』,公比为2的等比数列,
:
用产=126,■•丄”三6齐・」=金
1-2
考点:
等比数列定义与前n项和公式
【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n项和公式,
利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程,解出首项与公比,禾U用等比数列性质可以
简化计算•
12.【2015高考浙江,文10】已知an是等差数列,公差d不为零•若还,a3,a?
成等比
数列,且2aia21,
【答案】
2
3,1
【解析】
由题可得,(q
2d)2
(ad)(a
6d),故有3a2d
0,又因为2qa21,
d1,所以d
2
3.
【考点定位】1•等差数列的定义和通项公式;
即3a
1,a1
2•等比中项.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式
•主要考查学生利用等差数列的定义
•本题属于容易题,主要考查学生
以及等比中项的性质,建立方程组求解数列的首项与公差正确运算的能力•
13.【2015高考陕西,文13】中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则
该数列的首项为
【答案】5
【解析】若这组数有2n1个,则an11010,cbn12015又ai鬲12am,所以
a5;
若这组数有2n个,则可101022020a2n2015,又aa2n耳On1,
所以a5;
故答案为5
【考点定位】等差数列的性质.
【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质,这组数字有可能是偶数个,也有可能是奇数个
然后利用等差数列性质mnpqamapq.2•本题属于基础题,注意运
算的准确性.
"7OQ
14.【2017江苏,9】等比数列{an}的各项均为实数,其前n项的和为Sn,已知S34,S64,贝ya8=▲.
【答案】32
I解析】当牛=1时,显撚不符合题意孑
当E时」J解得y=Q则“卜八贮空沁里\2-4
I~t
【考点】等比数列通项
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的
工具,应有意识地去应用•但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方
法.
15.【2017课标1,文17】记Sn为等比数列环的前n项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求an的通项公式;
(2)求Sn,并判断3+1,S,S+2是否成等差数列•
2
【答案】
(1)an
(2)n;
(2)Sn
(1)
3
【解析】
Sn,Sn+2成等差数列.
故$1,B,Si
2成等差数列.
故{aj的通项公式为an
(2)n.
【考点】等比数列
【名师点睛】等差、
等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,
是解决等差、等比数
列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用•但在应用性质时要注意性质的前提条件,
巧用性质、整体
有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用考虑、减少运算量”的方法.
16.[2017课标ii,文17】已知等差数列{耳}的前r项和为Sh,等比数列{tn}的前n项和
为Tn,a1D1,02t22
(1)若a3bs5,求{tn}的通项公式;
(2)若I;21,求S3.
【答案】(I)休=严;(n)当厂-5时,片=?
1•当.「二4时,'严q.
【解析】试题分析:
⑴ma等差数列艮等聽is列通项公式,表示条件,得关于公差与公比的方程组'解方程组得公比'代入等比数列通项公式即可』(2>由等比数列前三项的和求公比,分类讨论』求公島再根据等差前三项求和
试题解析:
(1)设制的公差为d,何.的公比为q,则山=-1+5-1)J,仪一丨.由
u2\=]得
d+q=3.①
因此
联立①和②解得
(舍去),
p=l,
U=20
仇啲通项公式
3O
(1)由也+妇=“得'd+孑二{卜②
(2)由铁得丁亠辛-g匚二:
).
解得g二■5.耳二4|
当q=・5时,由①得d=8,则片=21,
当y二时,由①得d二1,则九二-4
【考点】等差、等比数列通项与求和
【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多
元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用•但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形•在
解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
17.【2015高考北京,文16】(本小题满分13分)已知等差数列an满足aa210,
a42.
(I)求an的通项公式;
(ii)设等比数列bn满足tx比,b3a7,问:
与数列an的第几项相等?
【答案】(I)an2n2;(ii)b6与数列an的第63项相等.
【解析】
试題分析;本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考査学生的分析问题解規问题的能力、转化能力、计算能力-(I)禾闻等差数列的通项公式,将吟吟筠叫转化成兔和乩解方程得到坷和注的值,直接写出等差数列的通项公式和可$5〉先制用第一问的结论得到N和加的值,再利用等比数列的通项公式』将妇和鸟转化为妇和s解出知和孑的值』得到如的值』再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出帀的值,印项抑
试题解析:
(I)设等差数列an的公差为d.
因为c4a32,所以d2.
又因为aa210,所以Nd10,故a4.
所以an42(n1)2n2(ni,2,l).
(n)设等比数列bn的公比为q.
因为b2
a—
8,
b—a716,
所以q
2,
E
4.
所以b6
4
261
128.
由128
2n
2,
得n63.
所以b6与数列an的第63项相等.
考点:
等差数列、等比数列的通项公式.
【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式,属于中档题.本
题通过求等差数列和等比数列的基本量,利用通项公式求解.解本题需要掌握的知识点是等
差数列的通项公式和等比数列的通项公式,即等差数列的通项公式:
ana1n1d,
等比数列的通项公式:
ana1qn1.
18.【2015高考广东,文19】(本小题满分14分)设数列an的前n项和为Sn,n.已
知a1,a2—,a3—,且当n2
24
时,4Sn25Sn8Sn1Sn1•
(1)求a4的值;
(2)证明:
an1—an为等比数列;
2
(3)求数列an的通项公式.
71n1
【答案】
(1)7;
(2)证明见解析;(3)an2n1.
82
【解析】
试題分析:
(l)^n=2可得尙的值;先将轧+5凡二跖询十漳]5巴2)辖化为也*+冬二钳比再刊用等比数列的定冥可证也茲]罡尊比数外(3>先由⑵可得数列4-扎}的通项左式,
1a
再将数列an1an的通项公式转化为数列nn是等差数列,进而可得数列an的
21n
4an1
2an
2an1an
22an1an
所以数列
4an22an1
4an1an2an1
1
1
an12an
2
试题
解析:
(1
)
当
n2时,
4S45S2
8S3
S,
即
3
5
3
3
5
7
41
_a45
1
8
1
1,解得:
a4—
2
4
2
2
4
8
(2)因为4Sn25Sn
8Sn
1Sn
1(n
2),所以4Sn2
4Sn1Sn
&1
4S11
4Sn
(n2
),即4an2
an
4an1
(n
2),因为4a3
5
a14_
4
16
4a?
所以
4an2an4an1
因
为
通项公式.
11
(3)由
(2)知:
数列an1an是以a2a1
22
1
1为首项,公比为-的等比数列,所以
2
an的通项公式是
an2n
3、等差数列的通项公式.
考点:
1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;
【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式,属于难题.
本题通过将Sn的递推关系式转化为an的递推关系式,利用等比数列的定义进行证明,进而
可得通项公式,根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解.解题时一定要注意关键条件
“n2”,否则很容易出现错误•解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列
的通项公式和等差数列的通项公式,即等比数列的定义:
n1q(常数),等比数列的通
an
项公式:
anaiqn1,等差数列的通项公式:
anan1d.
19.[2016高考新课标2文数】等差数列{an}中,a3a44鸟a76.
(I)求{an}的通项公式;
(n)设bn[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如
[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案】(I)an2n3;(n)24.
5
【解析】
试题分析:
(I)题目已知数列{an}是等差数列,根据通项公式列出关于a1,d的方程,解
方程求得a1,d,从而求得an;(n)根据条件[x]表示不超过x的最大整数,求bn,需要
试题解析,(I)设数列{%}的公差为乩由題青有2ai-S^=4z^-5^=3?
解得应H,
所以的通项公式対务=也工
考点:
等差数列的性质,数列的求和.
20.
【2016高考北京文数】(本小题13分)
(1)求{an}的通项公式;
(2)设Cnanbn,求数列{c.}的前n项和•
23n1
【答案】
(1)an2n1(n1,2,3,);
(2)n
2
【解析】
(n)根据等差数列和等比数列的前
n项和公式求数列{Cn}的前n项和.
通项公式求解;
试题解析:
(I)等比数列bn的公比qb393,
b23
所以b①1,b4Rq27.
q
设等差数列an的公差为d.
因为ad1,a14b427,
所以113d27,即d2.
所以an2n1(n1,2,3,).
tn)由⑴知,為““―
因此石工=务+瓦=2帀一1+孑日・
从而数列仏}的前川项和
Sn132n1133n1
n12n113n
213
23n1
n
2
考点:
等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,考查运算能力.
【名师点睛】1•数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数,是函数思想在数列中的应用•数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前n
项和Sn可视为数列{Sn}的通项•通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一;2•数列
的综合问题涉及到的数学思想:
函数与方程思想(如:
求最值或基本量)、转化与化归思想(如:
求和或应用)、特殊到一般思想(如:
求通项公式)、分类讨论思想(如:
等比数列求和,q1
或q1)等•
21.【2015高考四川,文16】设数列{an}(n=1,2,3…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a3,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(I)求数列的通项公式;
1
(n)设数列{一}的前n项和为Tn,求Tn.
【解析】(I)由已知Sn=2an—a1,有
an=Si—Sn-1=2an—2an-i(n>2)
即工二如一刚事2)
从而,爼=』叙=4口门
又動⑴,工+1』直成等差数列
即池十阿二二口】十1)
01+401=2(201+lb解得⑴=2
所以’数列⑷雇百项为為公比为2的等比数列
故他=割
(n)设双曲线x2
2
an
1的离心率为en,且e2
2,求q2
2
en
题,解析步骤一定要详细具体,不可随意跳步.属于简单题.
22.【2016高考四川文科】(本小题满分12分)
已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn1qS“1,其中q>0,
*
nN.
【答案】(I)an=qn-1;(n)n£(3n1).
【解析】
试题分析:
(【)已知Sn的递推式Sn1qSn1,般疋与出当n2时,SnqSn11,
两式相减,利用anSnSn1,得出数列{an}的递推式,从而证明{an}为等比数列,禾U用
e22解出q的值,最后利用等比数列的求和公式求解计算
[Hi题解析:
(I)宙已知J£7=拦+1点_:
=声2-1两式相减得到J:
=押一卫二「反由S:
=空亠1得到比=辄,故2」=阻对所有叱1都成立-
所以J数列随}杲首顶为h公比为彳的等比数列
从而龟寸'・
由a2,a3,a?
+a3成等差数列,可得2a3=a2+a?
+a3,所以a3=2a2,,故q=2.
所以an=2n-1(n?
N*).
(n)由(I)可知,an=q"1
2
所以双曲线x2
y2=1的离心率en=1+an2=1+q2(n-1)
an
由Q=1+q2=2解得q=3•所以,
2ei
2豆s22豆亠2(n-1)
+e+鬃?
§=(1+1)+(1+q)+鬃[1+q()]
n彳
5-1)q-1
=n+[1+q+鬃q]=n+—
q-1
=n+1(3n-1).
2
考点:
数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式
9
23.【2015高考重庆,文16】已知等差数列an满足a3=2,前3项和Q=•
2
(I)求an的通项公式,(n)设等比数列bn满足b|=ai,匕4=印5,求bn前n项和Tn.
【答案】(I)an=n+1,(n)Tn=2n-1.
2
【解析】
试题分析:
(I)由已知及等差数列的通项公式和前n项和公式可得关于数列的首项&和公
式d的二元一次方程组,解此方程组可求得首项及公差的值,从而可写出此数列的通项公式,
(n)由(I)的结果可求出6和b4的值,进而就可求出等比数列的公比,再由等比数列
的前n项和公式Tn=4(1-q)即可求得数列0前n项和Tn.
1-q
试题解析:
(1)设{an}的公差为d,则由已知条件得
3x2Q斫*防=13^+—d=-:
化简得吗®二巧
解得5=
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- 专题 10 等差数列 等比数列 三年 高考 数学 文真题 汇编