抛物线大题专练30题docx.docx
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抛物线大题专练30题docx
目录--------------------------------------------------------------------------------------------------------1
抛物线大题专练
(一)--------------------------------------------------------------------------------------1
抛物线大题专练
(二)--------------------------------------------------------------------------------------4
抛物线大题专练(三)--------------------------------------------------------------------------------------7
抛物线大题专练-----------------------------------------------------------------------------------------------9
参考答案与试题解析-----------------------------------------------------------------------------------------9
抛物线大题专练
(一)
1.已知抛物线
C的方程为
2
,设点M(x0,1)(x0>0)在抛物线
C上,且它到抛物线
C的准线距离为
;
x=2py
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(M、A、B三点互不相同),
求当∠MAB为钝角时,点A的纵坐标y1的取值范围.
2.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线
2
y=2px(p>0)的准线方程为x=﹣,过点M(0,﹣2)作抛物线的切
线MA,切点为A(异于点O).直线l过点M与抛物线交于两点
B,C,与直线OA交于点N.
1
(1)求抛物线的方程;
(2)试问:
的值是否为定值?
若是,求出定值;若不是,说明理由.
3.如图所示,设
F是抛物线
2
(p>
0)的焦点,过点
F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2
,且k1?
k2=
E:
x=2py
﹣1,l1与E相交于点A、B,l2与E相交于点
C,D.已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为
3(O为
坐标原点).
(1)求抛物线E的方程;
(2)若?
+?
=64,求直线l1、l2的方程.
2
4.已知抛物线C:
y=2px(p>0),点A、B在抛物线C上.
(Ⅰ)若直线AB过点M(2p,0),且|AB|=4p,求过A,B,O(O为坐标原点)三点的圆的方程;
(Ⅱ)设直线OA、OB的倾斜角分别为α,β且α+β=,问直线AB是否会过某一定点?
若是,求出这一定点的
坐标,若不是,请说明理由.
2
2
5.已知点A(2,1)在抛物线E:
x=ay上,直线l1:
y=kx+1(k∈R,且k≠0)与抛物线E相交于B,C两点,直
线AB,AC分别交直线l2:
y=﹣1于点S,T.
(1)求a的值;
(2)若|ST|=2,求直线l1的方程;
(3)试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点?
若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.
2
6.已知抛物线y=2px(p>0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且|AF|+|BF|=8,且AB的垂直平分线恒过定点S(6,0)
①求抛物线方程;
②求△ABS面积的最大值.
7.已知抛物线
2
x+b与抛物线交于
A,B两点.
y=4x,直线l:
y=﹣
(Ⅰ)若x轴与以AB为直径的圆相切,求该圆的方程;
(Ⅱ)若直线
l与y轴负半轴相交,求
△AOB面积的最大值.
3
2
2
t(t>0)为半径的圆分
8.抛物线M:
y=2px(p>0)的准线过椭圆N:
+y=1的左焦点,以原点为圆心,以
别与抛物线M在第一象限的图象以及
y轴的正半轴相交于点A和B,直线AB与x轴相交于点C.
(Ⅰ)求抛物线
M的方程;
(Ⅱ)设点A
的横坐标为a,点C的横坐标为c,抛物线M上点D的横坐标为a+2,求直线CD的斜率.
9.已知抛物线
2
与F2关于坐标原点对称,以
F1,F2
为焦点的椭圆C,过点(1,
),
y=4x的焦点为F2,点F1
(Ⅰ)求椭圆
C的标准方程;
(Ⅱ)设T(2,0),过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点,且
=λ
,若λ∈[﹣2,﹣1],求|+
|2的
最小值.
抛物线大题专练
(二)
10.(2015?
福建模拟)如图,已知抛物线
2
的焦点为F,过点P(2,0)且斜率为k1
的直线交抛物线于
A(x1,
y=4x
y1),B(x2,y2)两点,直线AF、BF分别与抛物线交于点
M、N.
(Ⅰ)证明
?
的值与k1无关;
(Ⅱ)记直线MN的斜率为k2,证明为定值.
11.已知过点M(,0)的直线l与抛物线
2
?
=﹣3,其中O为坐标原点.
y=2px(p>0)交于A,B两点,且
(1)求p的值;
(2)当|AM|+4|BM|最小时,求直线
l的方程.
12.已知过点
M(,0)的直线
l与抛物线
2
(p>0)交于A,B两点,且
?
=﹣3,其中O为坐标原
y=2px
点.
(1)求p的值;
4
(
2)若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C,D(A,C两点均在第一象银),且线段AC,CD,DB长构成等差数列,求直线l的方程.
13.已知点A(﹣4,4)、B(4,4),直线AM与BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣
2,点M的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的轨迹方程;
(Ⅱ)Q为直线y=﹣1上的动点,过Q做曲线C的切线,切点分别为D、E,求△QDE的面积S的最小值.
2
14.如图所示,已知过抛物线x=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A,B两点.
(1)求证:
以AF为直径的圆与x轴相切;
2
M,若点M的横坐标为2,求△ABM的外接圆方程:
(2)设抛物线x=4y在A,B两点处的切线的交点为
(3)设过抛物线
2
=1的交点为C、D,是否存在直线l使得|AF|?
|CF|=|BF|?
|DF|,
x=4y焦点F的直线l与椭圆+
若存在,求出直线
l的方程,若不存在,请说明理由.
15.已知抛物线C:
y
2
=2px(p>0),直线交此抛物线于不同的两个点
A(x1,y1)、B(x2,y2)
(1)当直线过点
M(p,0)时,证明y1.y2为定值;
(2)如果直线过点
M(p,0),过点M再作一条与直线垂直的直线
l′交抛物线C于两个不同点D、E.设线段AB
的中点为P,线段DE的中点为Q,记线段PQ的中点为N.问是否存在一条直线和一个定点,使得点
N到它们的
距离相等?
若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.
16.(2014?
陕西)如图,曲线
C由上半椭圆C1:
+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线
2
(y≤0)
C2:
y=﹣x+1
连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
5
2
(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点
A的直线l交
17.(2014?
山东)已知抛物线C:
y=2px
C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为
3时,△ADF为正三角形.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)若直线
l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点
E,
(ⅰ)证明直线
AE过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值?
若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
18.(2014?
安徽)如图,已知两条抛物线
2
2
E1:
y=2p1x(p1>0)和E2:
y=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1
和l2,l1与E1,E2分别交于A1、A2两点,l2与E1、E2分别交于B1、B2两点.(Ⅰ)证明:
A1B1∥A2B2;
(Ⅱ)过O作直线l(异于l1,l2)与E1、E2分别交于C1、C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与
S2,求的值.
19.(2014?
福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=﹣3的距离小2.
(Ⅰ)求曲线Γ的方程;
(Ⅱ)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N,以MN为直径作圆C,
过点A作圆C的切线,切点为B,试探究:
当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段
AB的长度是否
发生变化?
证明你的结论.
20.(2014?
江西)如图,已知抛物线
2
C相交于A,B两点,过点B作y
C:
x=4y,过点M(0,2)任作一直线与
轴的平行线与直线
AO相交于点D(O为坐标原点).
(1)证明:
动点
D在定直线上;
2
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与
(1)中的定直线相交于点
N2,证明:
|MN2|
2
﹣|MN1|为定值,并求此定值.
6
抛物线大题专练(三)
2
)(t是大于0的常数).
21.(2014?
杭州二模)设抛物线Γ:
y=2px(p>0)过点(t,
(Ⅰ)求抛物线Γ的方程;
(Ⅱ)若F是抛物线Γ的焦点,斜率为1的直线交抛物线
Γ于A,B两点,x轴负半轴上的点
C,D满足|FA|=|FC|,
|FD|=|FB|,直线AC,BD相交于点E,当
时,求直线AB的方程.
22.(2014?
包头一模)设抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,l与x轴交于点R,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=120°,△ABD的面积为8,求p的值及圆F的方程;
(2)在
(1)的条件下,若A,B,F三点在同一直线上,FD与抛物线C交于点E,求△EDA的面积.
23.(2014?
长春三模)已知抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,
N两点,且|MN|=8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求的最小值.
2
B在第四象限,l1、l2
24.(2014?
长沙二模)已知A、B为抛物线C:
y=4x上的两个动点,点A在第一象限,点
分别过点A、B且与抛物线C相切,P为l1、l2的交点.
(Ⅰ)若直线AB过抛物线C的焦点F,求证:
动点P在一条定直线上,并求此直线方程;
(Ⅱ)设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点,求△PCD面积的最小值.
2
A(x1,y1)、B(x2,
25.(2015?
上海模拟)如图,直线l:
y=kx+b与抛物线x=2py(常数p>0)相交于不同的两点
y2),且|x2﹣x1|=h(h为定值),线段AB的中点为D,与直线l:
y=kx+b平行的切线的切点为
C(不与抛物线对称
轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线,这个公共点为切点)
.
(1)用k、b表示出C点、D点的坐标,并证明CD垂直于x轴;
(2)求△ABC的面积,证明△ABC的面积与k、b无关,只与h有关;
(3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后,小张连AC、BC,再作与AC、BC平行的切线,切点分别为E、F,
小张马上写出了△ACE、△BCF的面积,由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积,你认为小张能做到吗?
请你说出理由.
7
26.(2014?
乌鲁木齐三模)已知抛物线
2
A,B
y=2px(p>0)的焦点过F,过H(﹣,0)引直线l交此抛物线于
两点.
(1)若直线AF的斜率为2,求直线BF的斜率;
(2)若p=2,点M在抛物线上,且
+=t,求t的取值范围.
27.(2014?
太原二模)已知抛物线
2
与抛物线交于不同的两点
A、B,直线l2与抛物线交
y=4x的焦点为F,直线l1
于不同的两点C、D.
(Ⅰ)当l1过F时,在l1上取不同于F的点P,使得
=
,求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若l1与l2相交于点Q,且倾斜角互补时,|QA|?
|QB|=a|QC|?
|QD|,求实数a的值.
28.(2014?
合肥一模)已知△ABC的三个顶点都在抛物线
2
F满足
,
y=2px(p>0)上,且抛物线的焦点
若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0(m,n为常数且m≠0).(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)O为抛物线的顶点,△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3,求证:
为定值.
29.(2014?
呼和浩特一模)已知抛物线
2
C:
y=2px(p>0),直线l过定点A(4,0)且与抛物线C交于P、Q两点,
若以弦PQ为直径的圆E过原点O.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)当圆E的面积最小时,求
E的方程.
30.(2014?
普陀区一模)已知点
P(2,0),点Q在曲线C:
y
2
=2x上.
(1)若点Q在第一象限内,且|PQ|=2,求点Q的坐标;
(2)求|PQ|的最小值.
8
抛物线大题专练
参考答案与试题解析
2
C上,且它到抛物线
C的准线距离为
;
1.已知抛物线C的方程为x=2py,设点M(x0,1)(x0>0)在抛物线
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(M、A、B三点互不相同),求当∠MAB为钝角时,点A的纵坐标y1的取值范围.
考点:
抛物线的简单性质.
专题:
计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
(1)由抛物线的定义,求出
p,即可求抛物线C的方程;
(2)设直线AM的方程为:
y=k(x﹣1)+1,与抛物线方程联立,求出
k的范围,利用
,即可求
出点A的纵坐标y1的取值范围.
解答:
解:
(1)由定义得
2
,则抛物线C的方程:
x=y
(2)设直线
AM的方程为:
y=k(x﹣1)+1
联立方程
得x2﹣kx+k﹣1=0,A(k﹣1,(k﹣1)2),△1>0即k≠2
同理B(﹣k﹣1,(﹣k﹣1)2),△2>0即k≠﹣2,
令,
则
所以k>2或,
所以
点评:
本题考查抛物线的定义与方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
9
2.(2015?
淮安一模)在平面直角坐标系
2
xOy中,已知抛物线y=2px(p>0)的准线方程为x=﹣,过点M(0,
﹣2)作抛物线的切线
MA,切点为A(异于点O).直线l过点M与抛物线交于两点
B,C,与直线OA交于点N.
(1)求抛物线的方程;
(2)试问:
的值是否为定值?
若是,求出定值;若不是,说明理由.
考点:
抛物线的简单性质.
专题:
计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
(1)由抛物线的准线方程可得
p,进而得到抛物线方程;
(2)求出函数y=﹣
的导数,求出切线的斜率,以及切线方程,联立切线方程和抛物线方程求得切点
A,进而直
线OA的方程,设出直线
BC的方程,联立抛物线方程运用韦达定理,求出
N的坐标,代入所求式子化简即可得到
定值2.
解答:
解:
(1)由题设知,
,即
,
2
所以抛物线的方程为y=x;
(2)因为函数的导函数为,
设A(x0,y0),则直线MA的方程为,
因为点M(0,﹣2)在直线MA上,所以﹣2﹣y0=﹣?
(﹣x0).
联立,解得A(16,﹣4),
所以直线OA的方程为.
设直线BC方程为y=kx﹣2,
由,得k2x2﹣(4k+1)x+4=0,
所以.
由,得.
10
所以,
故
的为定值2.
点评:
本题考查抛物线的方程和性质,
考查直线方程和抛物线方程联立,
运用韦达定理,以及导数的运用:
求切线方程,考查运算能力,属于中档题和易错题.
3.(2014?
九江三模)如图所示,设
2
F作斜率分别为k1、k2的两条直
F是抛物线E:
x=2py(p>0)的焦点,过点
线l1、l2,且k1?
k2=﹣1,l1与E相交于点A、B,l2与E相交于点C,D.已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3(O为坐标原点).
(1)求抛物线E的方程;
(2)若?
+?
=64,求直线l1、l2的方程.
考点:
抛物线的简单性质.
专题:
综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
(1)确定△AFO外接圆的圆心在线段
OF的垂直平分线
y=上,求出p,即可求抛物线
E的方程;
(2)利用
?
+?
=64,结合韦达定理,基本不等式,即可求直线
l1、l2的方程.
解答:
解:
(1)由题意,F(0,),△AFO外接圆的圆心在线段
OF的垂直平分线
y=上,
∴+
=3,∴p=4.
2
;
∴抛物线E的方程是x=8y
2
2
(2)设直线
l1的方程y=k1
x+2,代入抛物线方程,得
y﹣(8k
1+4)y+4=0
2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8k1+4,y1y2=4
设C(x3,y3),D(x4,y4),同理可得y3+y4=
+4,y3y4=4
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