考研数一真题及解析.docx
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考研数一真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统
考试数
试题
、填空题:
本题共6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上
(1)
lim(cos
x0
x)ln(1x)
(2)
曲面z
x2y2与平面
(3)
设x2
ancosnx(
2x
0
n
1
2
4y
z0平行的切平面的方程是
(4)
从R2
的基1
(5)
设二维随机变量
(6)
),则a2=
到基
的过渡矩阵为
(X,Y)的概率密度为
已知一批零件的长度X(
零件,得到长度的平均值为
(注:
标准正态分布函数值
f(x,y)
6x,0
0,
xy其他,
1,则P{XY
1}
单位:
cmcm)服从正态分布N(,1),
从中随机地抽取
16个
40(cm),则的置信度为0.95的置信区间是
(1.96)0.975,(1.645)0.95.)
二、选择题:
本题共6小题,目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内
每小题4分,共24分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
(1)
设函数f(x)在(
)内连续,其导函数的图形如图所示,
(2)
(3)
则f(x)有()
(A)一个极小值点和两个极大值点
(B)两个极小值点和一个极大值点
(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点
则必有()
设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且liman
n
(A)anbn对任意n成立.
(C)极限limancn不存在.n
已知函数f(x,y)在点(0,0)
(B)
(D)
0,limbn
n
1,limcn
n
bn
cn对任意n成立.
极限limbncn不存在.n
的某个邻域内连续,且limf(x2,y)2x2y1,则()
x0,y0222
222(xy)
(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.
(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.
(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.
(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.
(4)
设向量组
I:
12
r可由向量组II:
s线性表示,则()
(5)
(A)当r
(C)当r
s时,向量组s时,向量组
II必线性相关.(B)
I必线性相关.(D)
当r
当r
s时,向量组II必线性相关.s时,向量组I必线性相关.
设有齐次线性方程组Ax
0和Bx0,其中
A,B均为
mn矩阵,现有4个命题:
若Ax0的解均是Bx0的解,则秩(A)秩(B);若秩(A)秩(B),则Ax0的解均是Bx0的解;若Ax0与Bx0同解,则秩(A)=秩(B);
④若秩(A)=秩(B),
则Ax
0与Bx0同解.
以上命题中正确的是()
(A)①②.
(B)
①③.
(C)②④.
(D)
③④.
设随机变量X~t(n)(n
1),Y
12,则(
)
X2
(A)Y~2(n).
(B)
Y~
2(n1)
(C)Y~F(n,1).
(D)
Y~
F(1,n).
、(本题满分10分)
(6)
过坐标原点作曲线y
lnx的切线,
该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.
(1)求D的面积A;
(2)求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积、(本题满分12分)
V.
12x
将函数f(x)arctan展开成x的幂级数,并求级数
12x
(1)n的和.
n02n1
、(本题满分10分)
已知平面区域D
{(x,y)0
0y
},L为D的正向边界.试证:
siny
(1)xedy
ye
sinx
dx
xe
L
siny
dy
sinx
yedx;
siny
(2)Lxedy
ye
sinx
dx
22
、(本题满分10分)
某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层
.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功
设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比
(比例系数为k,k0).汽锤第一次击打将桩打
进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1).问
(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?
(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?
(注:
m表示长度单位米.)
七、(本题满分12分)
设函数yy(x))在(,)内具有二阶导数,且y0,xx(y)是yy(x)的反函数.
(1)试将xx(y)所满足的微分方程
程;
(2)求变换后的微分方程满足初始条件
八、(本题满分12分)
d2x
dy2
(ysinx)(dx)3dy
3
y(0)0,y(0)的解.
2
0变换为yy(x)满足的微分方
设函数f(x)连续且恒大于零,
F(t)
f(x2y2z2)dv
(t)
f(x2y2)d
D(t)
G(t)
f(x2y2)d
D(t)
t2
1f(x2)dx
其中(t){(x,y,z)x2
z2t2},D(t){(x,y)x2y2t2}.
(2)证明当
t
0时,
F
(t)
2G
(t).
九、(本题满分
10
分)
3
2
2
0
1
0
设矩阵A
2
3
2
,P
1
0
1,B
2
2
3
0
0
1
(1)讨论F(t)在区间(0,)内的单调性
1*
P1A*P,求B2E的特征值与特征向量,其中A
为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
3a0,l3:
cx2ay3b0.
l1:
ax2by3c0,l2:
bx2cy
试证:
这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0.十一、(本题满分10分)
已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
(1)乙箱中次品件数X的数学期望;
(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)
设总体X的概率密度为
其中0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,,Xn,记
(1)求总体X的分布函数F(x);
(2)求统计量?
的分布函数F?
(x);
(3)如果用?
作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
、填空题
(1)【答案】1
详解】方法1:
求limu(x)v(x)型极限,一般先化为指数形式
然后求limv(x)lnu(x),再回到指数上去.
lncosxlimxe
0ln(1x2)
1
lim(cosx)ln(1x0
lncosx
x2)ln(1x2)
=limeln(1x)x0
limlncosx2x0ln(1x2)
lim
x
ln(1cosx
20ln(1x2)
1)
lim
x0
cosx1
x2(等价无穷小替换ln(1x)x)
12xlim22x0x2
12(等价无穷小替换1
cosx
12x2)
原式=e121
方法2:
1
y(cosx)ln(1x)
,有lny
lncosx2,以下同方法1.ln(1x2)
(2)【答案】
2x4yz5
【详解】由题意,只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可.
平面2x4yz0的法向量:
n1{2,4,1};
22
曲面zx2y2在点(x0,y0,z0)的法向量:
n2{zx(x0,y0),zy(x0,y0),1}{2x0,2y0,1}
由于n1//n2,因此有
22
可解得,x01,y02,相应地有z0x02y025.
所求切平面过点
(1,2,5),法向量为:
n2{2,4,1},
故所求的切平面方程为
2(x1)
4(y
2)(z5)0,即2x4y
(3)【答案】1
详解】将f(x)
x2
x)展开为余弦级数
f(x)x2
ancosnx(
x),其中a
f(x)cosnxdx.
所以a2
x2
cos2xdx
212
xdsin2x[xsin2x
sin2x2xdx]
(4)【答案】
详解】n维向量空间中,从基
n到基
n的过渡矩阵P满足
1,2,,n]=[
n]
P,
因此过渡矩阵P为:
P=[
n]
1[
n].
根据定义,
R2的基
到基
的过渡矩阵为
P=[
2]1[
2]
1
(5)【答案】
4
分析】本题为已知二维随机变量(X,Y)
的概率密度
f(x,y)
求满足一定条件的概率
P{g(X,Y)z0}.连续型二维随机变量(X,Y)概率的求解方法
此题可转化为二重积分P{g(X,Y)z0}
g(x,y)z0【详解】图中阴影区域为积分区域.由题设,有
f(x,y)dxdy进行计算.
1),设有n个样本,样
本均值X
1Xi,则XN(,1),将其标准化,ni1n
由公式
XE(X)
D(X)n
~N(0,1)得:
~N(0,1)
(x
可确定临界值u,进而确定相应的置信区间
2
u2n).
的置信区间问题.由教材上已经求出的置
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值
信区间(xu,xu
2n
2n),其中P{U
u}
2
UN(0,1),可以直接得出答案.
详解】方法1:
由题设,1
0.95,可见0.05.查标准正态分布表知分位点u1.96.本题
2
1.96}
40
0.95,有P{14016
1.96}0.95,
即P{39.51
40.49}0.95,故的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).
方法2:
由题设,1
0.95,
查得u1.96.将
2
1,n16,
x40代入(xu,x
)得置信区间
(39.51,40.49)
二、选择题
(1)【答案】(C)
【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零)或导数不存在的点,极值点是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有3个(导函数与x轴交点的个数);x0是导数不存在的点.
对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致,故必为极值点,其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负,是极大值点;第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正,是极小值点,则三个驻点中有两个极小值点,一个极大值点;
对导数不存在的点:
x0.左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见x0为极大值点.
故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点,应选(C).
(2)【答案】(D)
详解】方法1:
推理法
由题设limbn
nn
1,假设limbncn存在并记为n
A,则limn
cn
lnimbbncnnA,这与lnimcn矛
盾,故假设不成立,
limbncn不存在.所以选项nnn
(D)正确.
方法2:
排除法
1
,bn
n
n1,
n
1
,cn
n
取an
取bn
取an
(3)【答案】
(A)
cn
详解】由
1
,满足liman0,limbnnnn
n2,满足limbn1,limcnn
2,满足liman
n
0,
limcn
n
1,
而a1
1,b1
而b10
而limancnn
0,a1b1,(A)不正确;
1,
c1,(B)不正确;
(C)不正确.
limf(x,y)xy
x0,y0
222
(x2y2)2
1f(x,y)
xy(1
)(x2y2)2,其中
lim0.
0
0
由f(x,y)在点(0,0)连续知,
f(0,0)0.
取yx,
x充分小,x
0,有f(x,y)
22
(1)(2x2)20;
取y
x,
x充分小,x0,有f(x,y)
222x2
(1)(2x2)2
故点(0,0)不是f(x,y)的极值点,应选(A).
极值的定义)
(4)【分析】
本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理:
若向量组
I:
12
r可由向量
组II:
2,,s线性表示,则当rs时,向量组
I必线性相关.
或其逆否命题:
若向量组I:
12
r可由向量组II:
1,2,,s线性表示,
且向量组I线性无关,则必有r
s.可见正
确选项为(D)
【详解】
本题也可通过举反例用排除法找到答案.
用排除法:
01
02,但
2线性无关,
排除(A);
,则
2可由
1线性表示,但1线性无关,
排除(B);
,1可由
2线性表示,但1线性无关,排除(C).
(5)【答案】
【分析】本题可找反例用排除法进行分析,但①、②两个命题的反例比较复杂一些,关键是抓住③、④,
(B)
迅速排除不正确的选项.
【详解】若AX0与BX0同解,则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同,即n-秩(A)=n-
秩(B),得秩(A)=秩(B),命题③成立,可排除(A),(C);
但反过来,若秩
(A)=秩(B),则不能推出
AX0与BX0同解,通过举一反例证明,若
1
0
0
0
A
0
00,B
0
1
,则秩(A)=秩(B)=1
,但AX0与BX0不同解,可见命题④不成立,
排除(D).
故正确选项为
(B)
(6)
【答案】(C).
2分析】求解这类问题关键在于了解产生2变量、t变量、F变量的典型模式.
n
(1)2分布:
设X1,X2,,Xn相互独立且均服从标准正态分布,则随机变量ZXi2服从自由
i1
22度为n的2分布.记做Z2(n).
2X
(2)t分布:
设X1N(0,1),X2~(n),且X1,X2相互独立,则随机变量Z1服从自X2/n
由度为n的t分布.记做Zt(n)
(3)F分布:
设X
2(n1),Y2(n2),且X,Y相互独立,则随机变量Z
YXnn21服从F分布,
其第一、二自由度分别为n1,n2.记做ZF(n1,n2).【详解】其实,由F分布的性质以及t分布和F分布的关系得,
(1)如果统计量Tt(n),则有T2F(1,n);
(2)如果统计量FF(n1,n2),则有1F(n2,n1).
由以上两条性质可以直接得出本题的答案为(C).
先由t分布的定义知X
Vn
X2U2
1
分母中只含有一个标准正态分布的平方,所以
U2
2
(1)
由F分布的定义知
Y~F(n,1).故应选
(C).
三【分析】圆锥体体积公式:
V1r2h;旋转体的体积:
3
(1)连续曲线yf(x),直线x
a、xb所围成的图形绕直线xx0旋转一周而成的立体的体
b2
积V1f(x)x0dx
a
(2)连续曲线xg(x),直线yc、yd所围成的图形绕直线yy0旋转一周而成的立体的体
d2
积V2cg(y)y0dy
【详解】为了求D的面积,首先要求出切点的坐标,设切点的横坐标为x0,则曲线ylnx在点
(x0,lnx0)处的切线方程是:
1
切线的斜率为yx,由于该切线过原点,将(0,0)点代入切线方程,得lnx010,从而x0e.0x0
所以该切线的方程为
(1)利用平面图形D的面积公式S(y)(y)dy,得
(2)旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去一小立体体积进行计算,为了帮助理解,可画一草图.
切线y1x与x轴及直线xe所围成的三角形绕直线xe旋转所得的圆锥体积为:
e
曲线ylnx与x轴及直线xe所围成的图形绕直线xe旋转所得的旋转体体积为:
因此所求旋转体的体积为四【分析】幂级数展开有直接法与间接法,一般考查间接法展开,即通过适当的恒等变形、求导或积分等,转化为可利用已知幂级数展开的情形.
另外,由于函数展开成的幂级数,经两边求导或积分(其中一边是逐项求导或逐项积分)后,其新的展开式收敛区间不变,但在收敛区间端点处,求导(积分)后的展开式成立与否,要另行单独处理,设已
有
收敛区间为(x0R,x0
R).
如果在xx0R处级数收敛,并且f(x)(左)连续,则展开式成立的范围
可扩大到x
x0R处,
在x
x0R处亦有类似的结论,
不过此时
f(x)(左)连续应改称(右)连续.
详解】本题可先求导,
2x
2(12x)2(12x)
所以
f(x)
1
12x
2
12x2
2x
12x2
12x2
1
12x
基本求导公式
1
对于函数1
1
1
14x2
4x2
可以利用我们所熟悉的函数
的幂级数展开:
x
f(x)
4x2)n
(
n0
1
22
14x2
nn2n
(1)4x
0
4x21(把x换成4x2)
nn2n
(1)4x,
0
对上式两边求积分,得
2
(1)n4nn0
xt2ndt
0
2
(1)n4nx
n02n1
2n
11
x(2,2),
又因为(f0),所以
4
f(x)f(0)
(t)dt=2(
4
nn
1)42n1x,xn02n1
12,12).
12xarctan
12x
(2n1)n41nx2n1,x(21,12).
02n122
(*)
1
在x处,右边级数成为
2
(1)1,收敛(利用莱布尼茨定理),左边函数f(x)连续,所以成n02n12
立范围可扩大到
围只能是x(
x1处.
2
1,1].
22
而在x1处,右边级数虽然收敛,但左边函数
2
f(x)不连续,所以成立范
为了求
(1)n,令
n02n1
1代入(*)得
2
f(12)
42[(
n02n1)41n221n1]4
(1)n
n02n1
再由f(12)
五【详解】
0,得
(1)方法1:
用格林公式证明.由曲线为正向封闭曲线,自然想到用格林公式
PdxQdy
L
Pdxdy.y
所以
siny
xedy
sinx
yedx
所以
siny
xedy
sinx
yedx
sinysinx
(ee)dxdy
D
sinysinx
(ee)dxdy
D
因为积分区域D关于yx对称,所以
故xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx
方法2:
化为定积分证明
左边
L
sinysinx
xedyLyedx=
L
esinydy
0
0
esinxdx=
sinx
(ee0
sinx
)dx
右边
L
sinysinx
sinysinx
xedyLyedx
siny
=edy0
0sinx
edx
sinx=(e0
sinxe)dx
L
所以
sinysinx
xedyyedxxe
LL
sinysinx
dyye
dx.
(2)方法1:
用格林公式证明
sinysin
=edxdye
DD
sinxsinx
=(ee)dxdy
D
xdxdy=
D
sinx
edxdy
sin
xdxdy利用轮换对称性
(因为a
b2ab,a0,b0)
2dxdy
D
22
方法2:
由
(1)知,xesinydyyesinxdx(esinx
L0
六【详解】
(1)建立坐标系,地面作为坐标原点,向下为x轴正向,
sinx)dx
02dx22
设第n次击打后,桩被打进地下x
第n次击打时,汽锤所作的功为Wn(n1,2,3,).由题设,当桩被打进地下的深度为x时,土层对桩
的阻力的大小为kx,汽锤所作的功等于克服阻力所做的功.
W1
x1k2x2
kxdxx1,W2kxdx
02
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