第四章曲线运动万有引力与航天.docx
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第四章曲线运动万有引力与航天
第四章 曲线运动 万有引力与航天
[学习目标定位]
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考情在线
1.运动的合成与分解(Ⅱ)
2.抛体运动(Ⅱ)
3.匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ)
4.匀速圆周运动的向心力(Ⅱ)
5.离心现象(Ⅰ)
6.万有引力定律及其应用(Ⅱ)
7.环绕速度(Ⅱ)
8.第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ)
9.经典时空观和相对论时空观(Ⅰ)
高考
地位
高考对本章中知识点考查频率较高的是平抛运动、圆周运动及万有引力定律的应用。
单独命题常以选择题的形式出现;与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识相综合常以计算题的形式出现。
考点
点击
1.平抛运动规律及研究方法。
2.圆周运动的角速度、线速度、向心加速度,以及竖直平面内的圆周运动,常综合考查牛顿第二定律、机械能守恒定律或能量守恒定律。
3.万有引力定律与圆周运动相综合,结合航天技术、人造地球卫星等现代科技的重要领域进行命题。
第1单元曲线运动__运动的合成与分解
曲线运动
[想一想]
如图411是一位跳水运动员从高台做“反身翻腾二周半”动作时头部的运动轨迹,最后运动员沿竖直方向以速度v入水。
整个运动过程中在哪几个位置头部的速度方向与入水时v的方向相同?
在哪几个位置与v的方向相反?
把这些位置在图中标出来。
图411
提示:
头部的速度方向为头部运动轨迹在各点的切线方向,如图所示,A、C两位置头部速度方向与v方向相同,B、D两位置头部速度方向与v方向相反。
[记一记]
1.速度方向
质点在某一点的瞬时速度的方向,沿曲线上该点的切线方向。
2.运动性质
做曲线运动的物体,速度的方向时刻改变,故曲线运动一定是变速运动,即必然具有加速度。
3.曲线运动的条件
(1)运动学角度:
物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度:
物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
[试一试]
1.(多选)物体在光滑水平面上受三个水平恒力(不共线)作用处于平衡状态,如图412所示,当把其中一个水平恒力撤去时(其余两个力保持不变),物体将( )
图412
A.一定做匀加速直线运动
B.可能做匀变速直线运动
C.可能做曲线运动
D.一定做曲线运动
解析:
选BC 物体原来受三个力作用处于平衡状态,现在撤掉其中一个力,则剩下两个力的合力与撤掉的力等大反向,即撤掉一个力后,合力为恒力,如果物体原来静止,则撤掉一个力后将做匀加速直线运动,选项B正确;如果物体原来做匀速直线运动,撤掉一个力后,若速度与合力不共线,则物体做曲线运动,若速度与合力共线,则物体将做匀变速直线运动,选项A、D错,C正确。
运动的合成与分解
[想一想]如图413所示,红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升,速度为v。
若在红蜡块从A点开始匀速上升的同时,玻璃管从AB位置由静止开始水平向右做匀加速直线运动,加速度大小为a。
图413
请思考:
红蜡块实际参与了哪两个方向的运动?
这两个运动的合运动轨迹是直线还是曲线?
与图中哪个轨迹相对应?
提示:
红蜡块沿竖直方向做匀速直线运动,沿水平方向做匀加速直线运动,此两运动的合运动为曲线运动,运动轨迹为图中的曲线AQC。
[记一记]
1.基本概念
分运动合运动
2.分解原则
根据运动的实际效果分解,也可采用正交分解。
3.遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
(1)如果各分运动在同一直线上,需选取正方向,与正方向同向的量取“+”号,与正方向反向的量取“-”号,从而将矢量运算简化为代数运算。
(2)两分运动不在同一直线上时,按照平行四边形定则进行合成,如图414所示。
图414
(3)两个分运动垂直时的合成满足:
a合=
s合=
v合=
[试一试]
2.某质点的运动速度在x、y方向的分量vx、vy与时间的关系如图415所示,已知x、y方向相互垂直,则4s末该质点的速度和位移大小各是多少?
图415
解析:
4s末,在x方向上vx=3m/s,
sx=vxt=12m
在y方向上
vy=4m/s,a==1m/s2,sy=at2=8m
所以v合==5m/s
s合==4m。
答案:
5m/s 4m
合运动的性质与轨迹判断
1.合力方向与轨迹的关系
无力不拐弯,拐弯必有力。
曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间,而且向合力的方向弯曲,或者说合力的方向总是指向曲线的“凹”侧。
2.合力方向与速率变化的关系
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时,物体的速率增大。
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时,物体的速率减小。
(3)当合力方向与速度方向垂直时,物体的速率不变。
3.合运动与分运动的关系
(1)运动的独立性:
一个物体同时参与两个(或多个)运动,其中的任何一个运动并不会受其他分运动的干扰,而保持其运动性质不变,这就是运动的独立性原理。
虽然各分运动互不干扰,但是它们共同决定合运动的性质和轨迹。
(2)运动的等时性:
各个分运动与合运动总是同时开始,同时结束,经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(3)运动的等效性:
各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。
(4)运动的同一性:
各分运动与合运动,是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动,不是几个不同物体发生的不同运动。
4.合运动性质的判断
若合加速度与合初速度的方向在同一直线上则为直线运动,否则为曲线运动。
例如:
(1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动;
(2)一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动,当二者共线时为匀变速直线运动,不共线时为匀变速曲线运动;
(3)两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动,若合初速度与合加速度在同一直线上,则合运动为匀变速直线运动,不共线时为匀变速曲线运动;
(4)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然是初速度为零的匀加速直线运动。
[例1] (多选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系,一物体从t=0时刻起,由坐标原点O(0,0)开始运动,其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图像如图416甲、乙所示,下列说法中正确的是( )
图416
A.前2s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B.后2s内物体继续做匀加速直线运动,但加速度沿y轴方向
C.4s末物体坐标为(4m,4m)
D.4s末物体坐标为(6m,2m)
[审题指导]
(1)在2s前和2s后,物体在x轴和y轴方向上的运动规律不同。
(2)由物体在4s末的坐标位置,可分析物体在x、y方向上的分运动并求解。
[解析] 前2s内物体在y轴方向速度为0,由题图甲知只沿x轴方向做匀加速直线运动,A正确;后2s内物体在x轴方向做匀速运动,在y轴方向做初速度为0的匀加速运动,加速度沿y轴方向,合运动是曲线运动,B错误;4s内物体在x轴方向上的位移是x=(×2×2+2×2)m=6m,在y轴方向上的位移为y=×2×2m=2m,所以4s末物体坐标为(6m,2m),D正确,C错误。
[答案] AD
小船过河问题分析
1.小船过河问题分析思路
2.三种速度
v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)。
3.三种过河情景分析
(1)过河时间最短:
船头正对河岸时,渡河时间最短,tmin=(d为河宽)。
(2)过河路径最短(v2 合速度垂直于河岸时,航程最短,xmin=d。 船头指向上游与河岸夹角为α,cosα=。 (3)过河路径最短(v2>v1时): 合速度不可能垂直于河岸,无法垂直渡河。 确定方法如下: 如图417所示,以v2矢量末端为圆心,以v1矢量的大小为半径画弧,从v2矢量的始端向圆弧作切线,则合速度沿此切线方向时航程最短。 图417 由图可知cosα=,最短航程x短==d。 [例2] 一小船渡河,河宽d=180m,水流速度v1=2.5m/s。 若船在静水中的速度为v2=5m/s,求: (1)欲使船在最短的时间内渡河,船头应朝什么方向? 用多长时间? 位移是多少? (2)欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向? 用多长时间? 位移是多少? [解析] (1)欲使船在最短时间内渡河,船头应朝垂直河岸方向。 当船头垂直河岸时,如图甲所示。 合速度为倾斜方向,垂直分速度为v2=5m/s t==s=36s v==m/s x=vt=90m (2)欲使船渡河航程最短,应垂直河岸渡河,船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α,如图乙所示, 有v2sinα=v1 得α=30° 所以,当船头向上游偏30°时航程最短。 x′=d=180m t′==s=24s 答案: (1)船头垂直于河岸 36s 90m (2)船头向上游偏30° 24s 180m 解决小船过河问题应注意的问题 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关。 (2)船渡河位移最短值与v船和v水大小关系有关,v船>v水时,河宽即为最短位移,v船 (1)“关联速度”特点: 用绳、杆相牵连的物体,在运动过程中,其两物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。 (2)常用的解题思路和方法: 先确定合运动的方向(物体实际运动的方向),然后分析这个合运动所产生的实际效果(一方面使绳或杆伸缩的效果;另一方面使绳或杆转动的效果)以确定两个分速度的方向(沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度,而沿绳或杆方向的分速度大小相同)。 [典例] (多选)如图418所示,做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B,设重物和小车速度的大小分别为vB、vA,则( ) 图418 A.vA>vB B.vA C.绳的拉力等于B的重力 D.绳的拉力大于B的重力 [解析] 小车A向左运动的过程中,小车的速度是合速度,可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度,如图419所示,由图可知vB=vAcosθ,则vB 故AD正确。 图419 [答案] AD [题后悟道] (1)运动的分解是按运动的实际运动效果进行分解的。 (2)在分析用绳或杆相连的两个物体的速度关系时,均是将物体的速度沿绳或杆和垂直于绳或杆的方向进行分解。 (3)沿绳或杆方向的分速度相等,列方程求解。 如图4110所示,套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。 由于B的质量较大,故在释放B后,A将沿杆上升,当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时,其上升速度v1≠0,若这时B的速度为v2,则( ) 图4110 A.v2=v1 B.v2>v1 C.v2≠0D.v2=0 解析: 选D 如图所示,分解A上升的速度v,v2=vcosα,当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时,α=90°,故v2=0,即B的速度为零。 [随堂巩固落实] 1.电动自行车绕如图4111所示的400m标准跑道运动,车上的车速表指针一直指在36km/h处不动。 则下列说法中正确的是( ) 图4111 A.电动车的速度一直保持不变 B.电动车沿弯道BCD运动过程中,车一直具有加速度 C.电动车绕跑道一周需40s,此40s内电动车的平均速度等于10m/s D.跑完一圈过程中,由于电动车的速度没有发生改变,故电动车所受合力为零 解析: 选B 电动车做曲线运动,速度是变化的,A错。 电动车经BCD的运动为曲线运动,合力不等于零,车的加速度不为零,B对,D错。 电动车跑完一周的位移为零,其平均速度为零,C错。 2.(多选)如图4112所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方,现假使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时,一支铅笔从三角板直角边的最下端,由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动,下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中,正确的是( ) 图4112 A.笔尖留下的痕迹是一条抛物线 B.笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线 C.在运动过程中,笔尖运动的速度方向始终保持不变 D.在运动过程中,笔尖运动的加速度方向始终保持不变 解析: 选AD 笔尖水平方向是匀速运动,竖直方向是匀加速直线运动,其运动是一种类平抛运动,故轨迹是一条抛物线,则A、D正确。 3.(2014·宁波模拟)人用绳子通过定滑轮拉物体A,A穿在光滑的竖直杆上,当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图4113所示位置时,绳与竖直杆的夹角为θ,则物体A实际运动的速度是( ) 图4113 A.v0sinθ B. C.v0cosθD. 解析: 选D 由运动的合成与分解可知,物体A参与两个分运动,一个是沿着与它相连接的绳子的运动,另一个是垂直于绳子向上的运动。 而物体A实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的,这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动,它们之间的关系如图所示。 由三角函数可得v=,所以D选项是正确的。 4.(多选)甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河,河宽为H,河水流速为v0,划船速度均为v,出发时两船相距H,甲、乙两船船头均与河岸成60°角,如图4114所示。 已知乙船恰好能垂直到达对岸A点,则下列判断正确的是( ) 图4114 A.甲、乙两船到达对岸的时间不同 B.v=2v0 C.两船可能在未到达对岸前相遇 D.甲船也在A点靠岸 解析: 选BD 渡河时间均为,乙能垂直于河岸渡河,对乙船,由vcos60°=v0,可得v=2v0,甲船在该时间内沿水流方向的位移为(vcos60°+v0)=H刚好到A点。 综上所述,A、C错误,B、D正确。 5.如图4115所示,质量m=2.0kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动,已知物体运动过程中的坐标与时间的关系为,g取10m/s2。 根据以上条件,求: 图4115 (1)t=10s时刻物体的位置坐标; (2)t=10s时刻物体的速度和加速度的大小与方向。 解析: (1)由于物体运动过程中的坐标与时间的关系为,代入时间t=10s,可得: x=3.0tm=3.0×10m=30m y=0.2t2m=0.2×102m=20m 即t=10s时刻物体的位置坐标为(30m,20m)。 (2)由物体运动过程中的坐标与时间的关系式,比较物体在两个方向的运动学公式,可求得: v0=3.0m/s,a=0.4m/s2 当t=10s时, vy=at=0.4×10m/s=4.0m/s v==m/s=5.0m/s。 tanα== 即速度方向与x轴正方向夹角为53°。 物体在x轴方向做匀速运动,在y轴方向做匀加速运动,a=0.4m/s2,沿y轴正方向。 答案: (1)(30m,20m) (2)5.0m/s,与x轴正方向夹角为53° 0.4m/s2,沿y轴正方向 [课时跟踪检测] 一、单项选择题 1.(2013·陕西交大附中诊断)质点仅在恒力F作用下,在xOy平面内由原点O运动到A点的轨迹及在A点的速度方向如图1所示,则恒力F的方向可能沿( ) 图1 A.x轴正方向 B.x轴负方向 C.y轴正方向D.y轴负方向 解析: 选A 由运动轨迹可知质点做曲线运动,质点做曲线运动时,受力的方向与速度不共线,且轨迹一定夹在受力方向和速度方向之间,受力方向指向曲线的“凹”侧,故恒力F的方向可能沿x轴正方向,故A正确。 2.(2014·吉林重点中学检测)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目,如图2所示,当运动员从直升飞机上由静止跳下后,在下落过程中将会受到水平风力的影响,下列说法中正确的是( ) 图2 A.风力越大,运动员下落时间越长,运动员可完成更多的动作 B.风力越大,运动员着地速度越大,有可能对运动员造成伤害 C.运动员下落时间与风力有关 D.运动员着地速度与风力无关 解析: 选B 水平风力不会影响竖直方向的运动,所以运动员下落时间与风力无关,A、C错误。 运动员落地时竖直方向的速度是确定的,水平风力越大,落地时水平分速度越大,运动员着地时的合速度越大,有可能对运动员造成伤害,B正确,D错误。 3.一探照灯照射在云层底面上,云层底面是与地面平行的平面,如图3所示,云层底面距地面高h,探照灯以恒定角速度ω在竖直平面内转动,当光束转到与竖直方向夹角为θ时,云层底面上光点的移动速度是( ) 图3 A.hω B. C. D.hωtanθ 解析: 选C 当光束转到与竖直方向夹角为θ时,云层底面上光点转动的线速度为。 设云层底面上光点的移动速度为v,则有vcosθ=,解得云层底面上光点的移动速度v=,选项C正确。 4.小船横渡一条河,船本身提供的速度方向始终垂直于河岸方向,大小不变。 已知小船的运动轨迹如图4所示,则河水的流速( ) 图4 A.越接近B岸水速越小 B.越接近B岸水速越大 C.由A到B水速先增大后减小 D.水流速度恒定 解析: 选C 小船的实际运动可以看做沿水流方向的直线运动和垂直河岸方向的直线运动的合运动,因为船本身提供的速度大小、方向都不变,所以小船沿垂直河岸方向做的是匀速直线运动,即垂直河岸方向移动相同位移的时间相等,根据题中小船的运动轨迹可以发现,在相同时间里,小船在水流方向的位移是先增大后减小,所以由A到B的水速应该是先增大后减小,故选项C正确。 5.质量m=4kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处,先用沿+x轴方向的力F1=8N作用了2s,然后撤去F1;再用沿+y轴方向的力F2=24N作用了1s,则质点在这3s内的轨迹为( ) 图5 解析: 选D 由F1=max得ax=2m/s2,质点沿x轴匀加速直线运动了2s,x1=axt=4m,vx1=axt1=4m/s;之后质点受F2作用而做类平抛运动,ay==6m/s2,质点再经过1s,沿x轴再运动,位移x2=vx1t2=4m,沿+y方向运动位移y2=ayt=3m,对应图线可知D项正确。 6.如图6所示为一条河流,河水流速为v,一只船从A点先后两次渡河到对岸,船在静水中行驶的速度为v0,第一次船头向着AB方向行驶,渡河时间为t1,船的位移为x1;第二次船头向着AC方向行驶,渡河时间为t2,船的位移为x2。 若AB、AC与河岸的垂线方向的夹角相等,则有( ) 图6 A.t1>t2 x1 C.t1=t2 x1 解析: 选D 由于船的速度大小相等,且与河岸的夹角相同,所以船速在垂直于河岸方向上的分速度大小相同,渡河的时间由船垂直河岸的速度的大小决定,故船到达对岸的时间相等;船的位移决定于平行河岸方向的速度大小,结合题意易知x1>x2。 二、多项选择题 7.(2014·黄冈质检)下列图中实线为河岸,河水的流动方向如图v的箭头所示,虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。 则其中可能正确的是( ) 图7 解析: 选AB 船头垂直于河岸时,船的实际航向应斜向右上方,A正确,C错误;船头斜向上游时,船的实际航向可能垂直于河岸,B正确;船头斜向下游时,船的实际航向一定斜向下游,D错误。 8.一质量为2kg的物体在5个共点力作用下做匀速直线运动。 现同时撤去其中大小分别为10N和15N的两个力,其余的力保持不变。 下列关于此后该物体运动的说法中,正确的是( ) A.可能做匀减速直线运动,加速度大小为10m/s2 B.可能做匀速圆周运动,向心加速度大小为5m/s2 C.可能做匀变速曲线运动,加速度大小可能为5m/s2 D.一定做匀变速直线运动,加速度大小可能为10m/s2 解析: 选AC 物体在5个共点力作用下处于平衡状态,合力为零,当撤去10N和15N的两个力时,剩余3个力的合力与这两个力的合力等大反向,即撤去力后5N≤F合≤25N,2.5m/s2≤a合≤12.5m/s2,由于剩余3个力的合力方向与原速度方向不一定在一条直线上,所以可能做匀变速曲线运动,也可能做匀变速直线运动,故A、C正确。 9.(2013·苏北四市第三次调研测试)某河宽为600m,河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图像如图8所示。 船在静水中的速度为4m/s,船渡河的时间最短。 下列说法正确的是( ) 图8 A.船在行驶过程中,船头始终与河岸垂直 B.船在河水中航行的轨迹是一条直线 C.渡河最短时间为240s D.船离开河岸400m时的速度大小为2m/s 解析: 选AD 船渡河时间最短时,船头始终与河岸垂直,tmin==150s,A正确,C错误;因河水的速度在船航行途中是变化的,故船的实际速度方向是改变的,其轨迹是曲线,B错误;船离开河岸400m时,离对岸200m,此时v水=2m/s,故v实==2m/s,D正确。 10.(2014·宜春模拟)质量为2kg的物体在xy平面上做曲线运动,在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图9所示,下列说法正确的是( ) 图9 A.质点的初速度为5m/s B.质点所受的合外力为3N C.质点初速度的方向与合外力方向垂直 D.2s末质点速度大小为6m/s 解析: 选AB 由图像可知,vx=v0x+at=(3+1.5t)m/s,vy=4m/s,质点的初速度v0==5m/s,选项A正确;物体的加速度a=1.5m/s2,由F=ma,得F=3N,选项B正确;质点初速度的方向与合外力方向夹角为α,如图所示,选项C错误;2s末vx=6m/s,v==m/s,选项D错误。 三、非选择题 11.一物体在光滑水平面上运动,它在x方向和y方向上的两个分运动的速度—时间图像如图10所示。 图10 (1)判断物体的运动性质; (2)计算物体的初速度大小; (3)计算物体在前3s内和前6s内的位移大小。 解析: (1)由题图可知,物体在x轴方向做匀速直线运动,在y轴方向做匀变速运动,先减速再反向加速,所以物体做匀变速曲线运动。 (2)vx0=30m/s,vy0=-40m/s v0==50m/s (3)x3=vxt=90m |y3|=||t=60m 则s1==30m x6=vxt′=180m y6=t=×6m=0 则s2=x6=180m。 答案: (1)匀变速曲线运动 (2)50m/s (3)30m 180m 12.如图11所示,在竖直平面的xOy坐标系中,Oy竖直向上,Ox水平。 设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力。 一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出,初速度为v0=4m/s,不计空气阻力,到达最高点的位置如图中M点所示,(坐标格为正方形,g=10m/s2)求: 图11 (1)小球在M点的速度v1; (2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N; (3)小球到达N点的速度v2的大小。 解析: (1)设正方形的边长为s0。 竖直方向做竖直上抛运动,v0=gt1,2s0=t1 水平方向做匀加速直线运动,3s0=t1。 解得v1=6m/s。 (2)由竖直方向的对称性可知,小球再经过t1
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