数值分析版试题及答案.docx
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数值分析版试题及答案.docx
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数值分析版试题及答案
-1
1
2
■3
0
4
求f(x)的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解:
(1)由题可知
1
1
2
3
0
4
插值基函数分别为
故所求二次拉格朗日插值多项式为
(2)—阶均差、二阶均差分别为均差表为
阶
阶
-1
-3
1
0
3/2
2
4
4
5/6
故所求Newton二次插值多项式为
例2、设f(x)x23x2,x[0,1],试求f(x)在[0,1]上关于(x)1,span1,x的
最佳平方逼近多项式。
解:
若span1,x,贝卩o(x)1,i(x)x,且(x)1,这样,有
所以,法方程为
1
23
41
23
■1
—
—
i
2ao
6,经过消兀得
2ao
6
1
1ai
9
16U|
1
2
3
4
12
3
再回代解该方程,得到印4,ao-
6
故,所求最佳平方逼近多项式为S;(x)口4x
6
span1,x的最佳平
例3、设f(x)ex,x[0,1],试求f(x)在[0,1]上关于(x)1,
方逼近多项式。
解:
若span1,x,贝卩o(x)1,i(x)x,这样,有
所以,法方程为
解法方程,得到ao0.8732,a(1.6902,
故,所求最佳平方逼近多项式为
9
例4、用n4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分.xdx。
1
解:
(1)用n4的复合梯形公式
1,2,3,所以,有
由于h2,fxxk12kk
(2)用n4的复合辛普森公式
由于h2,fxx,xk12kk
1,2,3,Xi22kk0,1,2,3,所以,有
k一
例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解:
先消元
再回代,得到X33,X2
2,1
所以,线性方程组的解为XJ,X22,X33
例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
解:
则由ALU的对应元素相等,有
1
uiiu12,u13
56
13
15
因此,
yi解Lyb,即一1
3
0y2
9
%得yi9,y2
4,y3154
4
解Uxy,即0
0
60
xi
177.69,x2476.92,为
227.08
45
13
15
154
1、若A是nn阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵
L和上三角阵U,使ALU唯
一成立O
2、当n8时,Newton—cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
(
b
3、形如玄
n
f(x)dxAif(Xi)
的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的
次数为勿
0
1
4、矩阵
2的2—范数人2二9。
2a
0
A
0
0
5、设
0
3,则对任意实数a0,方程组Axb都是病态的。
(用
6、设ARnn,QRnn,且有QTQI(单位阵),则有A2QA2
7、区间a,b上关于权函数⑷(x)的直交多项式是存在的,且唯一。
1、
(X)2、(V)3、(X)4、(V)5、(
(V)7、(X)8、(X)
判断题(10XT)
1、若A是n阶非奇异矩阵,则线性方程组A冷b—定可以使用高斯消元法求解。
2、解非线性方程f(X)=0的牛顿迭代法在单根X*附近是平方收敛的
(?
)
3、若A为n阶方阵,且其元素满足不等式
则解线性方程组AX=b的高斯一一塞德尔迭代法一定收敛
(X)
4、样条插值一种分段插值
(?
)
5、如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
(?
)
6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。
(?
)
7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=bo
(X)
8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭
代计算的舍入误差。
则误差的最佳分配原则是
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,
截断误差二舍入误差
(?
)
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差
(X)
1000
1•用计算机求爲时,应按照n从小到大的顺序相加n山
0
2.为了减少误差,应将表达式■■2001,1999改写为进行计算。
、2001<1999
(对)
3.用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。
0
4.用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变
方式有关,与常数项无关。
复习试题
、填空题:
A
仁014
则A的LU分解为
O
1
41
0
A141
154
1
415
5615
答案:
0
1
2、已知f⑴1.0,f
(2)
1-2,f(3)
1.3
则用辛普生(辛卜生)公式计算求得
3
,用三点式求得
fznn
答案:
2.367,0.25
3、鮒)1,f
(2)2,f(3)
1,则过这三点的二次插值多项式中X?
的系数为
拉格朗日插值多项式为
11
答案:
L2(X)2(x2)(X①2(x1)(x3)2(x1)(X2)
4、近似值x-0.231关于真值x0.229有
(2)位有效数字;
5、设f(x)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是()
xn1xn
答案
Xnf(Xn)
~〜〜
1f(Xn)
f[0,1,2,3,4](0)
6、对f(x)x3x1,差商f[0,1,2,3]
(1),
7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差;
8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为
10、己知f⑴二2,f⑵二3,f⑷二5.9,则二次Newton插值多项式中X2系数为
11.两点式高斯型求积公式
f(x)dx
°f(x)dx扣(蔦)
.31
f(23)】),代数精
度为(5)
(0.15);
12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为
(A的各阶顺序主子式
均不为零)
10
13、为了使计算
46
23
(X1)(X1)的乘除法次数尽量地少,应将该
表达式改写为
为了减少舍入误差,应将表达式
14、用二分法求方程f(x)x3x1°在区间[oj]内的根,进行一步后根的所
15、计算积分o/xdx,取4位有效数字。
用梯繼公式计算求得的近似值为
区间为0.5,1,进行两步后根的所在区间为0.5,0.75
0.4268,用辛卜生公式计算求得的近似值为0.43丽―式的代数精
度为丄,辛卜生公式的代数精度为二一O
16、
17、
3x15x21Xi%"(15x2k))/3
求解方程组亡专4x20的高斯一塞德尔迭代格式为X2k1)Xi(k1)/20
丄
迭代格式的迭代矩阵的谱半径(M)二12
设f(0)0,f
(1)16,f
(2)46,则h(x)_h(x)x(x2)_,f(x)的二次牛顿
5
丿(x)dx〜馆)
20、设f
(1)=1,f
(2)=2,f(3)=0,用三点式求f
(1)(2.5)
(10)次
(X4X23)lk(x)k0
要对分10次。 少用477个求积节点。 30、 出求解 X11.6X2 Gauss-Seidel迭代公式 k1 % 1.6x2k 0 1.6 k1 x2 0.4x/1,k°,1, 迭代矩阵为—° °-64,此迭代法是否收敛一收敛 31、 482 48 2 U016 A25 7 1 32 、 设矩阵 3 1 &的 ALU,则U 00 2 33 a 、 若f(X) 3x42x 1 9 则差商f[2,4,8,16,32] 3 34数值积分公式 12 if(x)dx-[f (1)8f(0) f (1)] 的代数精度为 35、 1 线性方程组1 2 彳的最小二乘解为 321 204 1彳§分解为ALU,则U 二、单项选择题: 1、Jacobi迭代法解方程组Axb的必要条件是(C) A.A的各阶顺序主子式不为零B.(A) C.an0,i1,2,,n D .A1 223 A051 2、设 00了,则 (A)为(C). A. 2B・5 C.7 D .3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)o A.2 B.5C.3 D.4 4、求解线性方程组 Ax=b的LU分解法中, A须满足的条件是(B) C・任意阵D・各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是(A)产生的误差。 A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值 C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值 6、3.141580是n的有(B)位有效数字的近似值。 A.6B.5C.4D.7 7、用1+X近似表示ex所产生的误差是(C)误差。 A.模型B.观测C.截断D.舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。 A.控制舍入误差B.减小方法误差 C.防止计算时溢出D•简化计算 x 9、用1+3近似表示彳厂所产生的误差是(D)误差。 A.舍入B.观测C.模型D.截断 10、・324・7500是舍入得到的近似值,它有(C)位有效数字 11、设f(-1)=1,f(0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中X? 的系数为(A) A.一0.5B.0.5C.2D・ 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。 A.3B.4C.5D.2 13、(D)的3位有效数字是0.236X102。 的根是(B) (A) -9 (A)-4(B)3(C)4(D) 牛顿插值多项式的余项是(C) 16、拉格朗日插值多项式的余项是(B), 侣)y=x与y=? (x)交点的横坐标 (C)f(x,xO,x15x25…,xn)(x—xO)(x—x1)(x—x2)・・・(x一xn—1)(x xn), $(n1) RJx)f(x)Pn(x)fL! MX (D)(n1)! ) 17、等距二点求导公式f? (x1)? (A) 18、用牛顿切线法解方程 f(x)=O,选初始值X0满足(A),则它的解数列 {xn}n=0,1,2,定收敛到方程f(x)=O的根。 19、为求方程X3—X2—1=0任区间[1.3,1.6]内的一个根,把方程改写成卜列形式, 并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A)o (A) 1 —,迭代公式: Xki x1 一Xk 1 侣) 丄,迭代公式: Xk1 x 1 Xk (C)x3 X2,迭代公式: Xki 2\1/3 Xk) (D) xj迭代公式: Xki 21、解方程组Axb的简单迭代格式 X(koBx(k) g收敛的充要条件是( (1)(A)[ (2)(B)1,⑶ (A)j(4)(B) f(x)dxa(ba)CAn)f(Xi)(n) 22、在牛顿■柯特斯求积公式: 中,当系数c()是负值时, 公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当(时的牛顿■柯特斯求积公式 不使用。 (1)n8, (2)n7,(3)ng,(4)n 23、有下列数表 X 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的次数是() (1)二次; (2)三次;(3)四次;(4)五次 25、取乜1.732计算x(、、彳1)4,下列方法中哪种最好? (丿 1616 (A)2816亦;(B)亦(C)(42间S(D)庞1)4。 27、由下列数表进行Newton插值,所确定的插值多项式的最高次数是(丿 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5 (A)5;(B)4;(C)3;(D)2o b 28、形如玄心朋Af(X|)a%』A」%)的高斯©uss)型求积公式的代数精 度为() (A)9;(B)7;(C)5;(D) 29、计算3的Newton迭代格式为() 舟俠, 分次数至少为() 9 kh(k) k0 36、由下列数据 0 1 2 3 4 1 2 4 3 ■5 确定的唯一插值多项式的次数为() (A)4;(B)2;(C)1;(D)337、5个节点的Gauss型求积公式的最 高代数精度为() (A)8;(B)9;(C)10;(D)11 三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打? ,否则打? ) 仁已知观察值(X,yJ(io",,,用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x) 2 X 3、以*。 )(以2)表示在节点X的二次(拉格朗日)插值基函数。 (? ) 4、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结 果。 ⑺ 5、矩阵A=125具有严格对角占优四、计算题: 4Xi 2X2 Xs 11 Xi 4x2 2X3 18 1、用咼斯■塞德尔方法解方程组 2Xi X2 5Xs 22,取x® (0,0,0)T,迭代四 次(要求按五位有效数字计算) 答案: 迭代格式 k 0 0 0 0 1 2.7500 3.8125 2.5375 2 0.20938 3.1789 3.6805 3 0.24043 2.5997 3.1839 4 0.50420 2.4820 3.7019 2、求A、B使求积公式lf(x)dxA[f( 量高,并求其代数精度;利用此公式求 1)f⑴冋(2川2)]的代数精度尽 21dx 1x(保留四位小数)。 2 处安-$2'1,X,X旦*圭祐! 卅古日仃 2B 1B 1 2 2 2 3 1 81 • I 求积公式为 if(x)dx f⑴]曲) 21 3 4— 当f(x)X时, 公式显然精确成立; 当f(x)X时, 左=5,右=3。 所以代 数精度为3。 1345 2654 6(x1)(x4)(x5) (31)(34)(35) f⑵的近似值(保留四位小数)。 L(x)3)(x4)(x5) 答案: 3(13)(14)(15) 差商表为 一阶均差 二阶均差 三阶均差 1 2 3 6 2 4 5 -1 -1 5 4 -1 0 6、已知sinx区间[0.4,0.8]的函数表 0.40.50.60.7 0.8 0.71736 如用二次插值求sinO.63891的近似值,如何选择节点才能使误差最小? 并求该近似值。 答案: 解: 应选三个节点,使误差 尽量小,即应使13(X)|尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。 即取节点 {0.5,0607}最好,实际计算结果 SinO.638910.596274, 7、构造求解方程ex10x20的根的迭代格式乂和(xjnO丄2,,讨论其收 4 敛性,并将根求出来,区ixn|10o 答案: 解: 令f(x)ex10x2,f(0)20,f (1)10e0・ 且f(x)ex100对x(,),故f(x)O在(0,1)内有唯一实根•将方程 f(x)0变形为 则当x(0,1)时 (X)£(2ex),1(X)l;ow 故迭代格式 收敛。 取x0°.5,计算结果列表如下: n 0 1 2 3 0.035127 0.096424 0.089877 0.5 872 785 325 n 4 5 6 7 0.090595 0.090517 0.090525 0.090525 993 340 950 008 且满足IX7 6 x6|0.00000095106•所以X *0.090525 008 X12X2 3Xs 14 2xi5X2 2Xs 18 8、利用矩阵的 LU分解法解方程组 3X1x2 5Xs 20 0 112 3 A LU211 4 答案: 解: 3 51 24 y得x(1,2,3)t. 令Lyb得y(14,10,72)t,Ux 3xi2X210x315 10X14X2X3 (1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由; (2)取初值x(。 )(0,0,0儿利用 (1)中建立的迭代公式求解,要求 |対叫小||103o 解: 调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优 故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛•迭代格式为 取X®(0,0,0儿经7步迭代可得: X*X(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T・ 10、已知下列实验数据 Xi 1.36 1.95 2.16 f(Xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。 1 解: 当0VXV1时,f(x)ex,贝yf(x)e,且^dx有一位整数. Rin)(f)±104 要求近似值有5位有效数字,只须误差2・ 只、要〃 即可,解得 故截断误差 1)分析该方程存在几个根; 2)用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字; 3)说明所用的迭代格式是收敛的 解: 1)将方程 (x1)ex10 (1) 改写为 vx X1e (2) 作函数U(X)X 1,f2 (X) X e的图形(略) 知 (2)有唯一根x 2)将方程 (2) 改写为 x1ex 构造迭代格式 Xki1exk Xo1.5 (k0,1,2,) k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2231 1.2943 1.2740 1.2796 1.2781 1.2785 1.2784 1.2784 1.2784 Xk 3 1 9 9 2 6 4 7 6 3)(x) 计算结果列表如下: (x)1 15、用牛顿(切线)法求・3的近似值。 取X-1.7,计算三次,保留五位小数 解: ・・3是f(x)x? 30的正根, f(x)2x,牛顿迭代公式为 Xn3 x_习茁5mp、 取Xo=1.7,列表如下: 1 2 3 1.73235 1.73205 1.73205 5)的近似值,取五位小数。 3 2(x1)(x2) 解: (x1)(X2)4(x1)(X1) 2(}(11)(12)(11)(12)(21)(21) 17、n=3,用复合梯形公式求。 o弧的近似值(取四位小数),并求误差估计。 ;exdxT3解: 1323、1■, e)el1.7342 f(x)ex,f(x)ex 01时,If(x)|e 至少有两位有效数字。 18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 取X(o)=(0,0,0)-列表计算三次,保留三位小数。 解: Gauss-Seidel迭代格式为: 31 11 系数矩阵1°严格对角占优,故Gauss-Seidel迭代收敛. 取x(9)=(0,0,0)T,列表计算如下: 1 1.667 0.889 -2.195 2 2.398 0.867 -2.383 3 2.461 0.359 ・2.526 20、(8分)用最小二乘法求形如yabx的经验公式拟合以下数据: 19 25 30 38 19.0 32.3 49.0 73.3 解: span{1,x} 解方程组ATACATy 其中 0.9255577 b0.0501025 C 解得: O.o501025所以a0.9255577, 、、、、1eXdx 21、(15分)用n8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算。 时,试用 余项估计其误差。 用n8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算出该积分的近似 值。 22、(15分)方程x3x10在X1.5附近有根,把方程写成三种不同的等价形式 (1 ) ;X-1—Xn11 X3X1对应迭代格式Xi3Xn1; (2).X对应迭代格式: xn; (3) XX31对应迭代格式XmX: 1o判断迭代格式在X。 「5的收敛性,选一种收敛 格式计算X1.5附近的根,精确到小数点后第三位。 解: (1) 1 (X)(X1)3 d.5)0.181,故收敛; (X) (W0•171,故收敛; (X) 3x2 (1
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