指数函数.docx
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指数函数
指数函数
篇一:
指数函数知识点及经典例题
基本初等函数
一、知识和数学思想梳理:
1.指数式和对数式:
①根式概念;②分数指数幂;③指数幂的运算性质;④对数概念;⑤对数运算性质;⑥指数和对数的互化关系;
2.指数函数:
①指数函数的概念;②指数函数的图象与性质;③指数函数图象变换;④指数函数性质的应用(单调性、指数不等式和方程);
3.对数函数:
①对数函数的概念;②对数函数的图象与性质;③对数函数图象变换;④对数函数性质的应用(单调性、指数不等式和方程);
4.解指数不等式、指数方程、对数不等式、对数方程,先要化同底,即....
?
x1?
x2(a?
1)xx
,a1?
a2(a?
0,且a?
1)?
x1?
x2a?
a(a?
0,且a?
1)?
?
?
x1?
x2(0?
a?
1)
x1
x2
?
x?
x2?
0(a?
1)
,logax1?
logax2(a?
0,且a?
1)?
?
1
0?
x?
x(0?
a?
1)?
12
logax1?
logax2(a?
0且a?
1)?
x1?
x2?
0;
5.要明确区分指数函数、对数函数与指数型函数、对数型函数;
6.反函数:
①反函数概念;②互为反函数定义域和值域的关系;③求反函数的步骤;④互为反函数图象的关系;
7.函数应用:
①解应用题的基本步骤;②几种常见函数模型(一次型、二次型、指数型(利息计算)、几何模型、物理和生活实际应用型);
8.学会灵活应用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想解决问题。
二、典型示例
(一)函数定义域和值域例1.求下列函数的定义域
(1)(2010湖北文)
函数y?
的定义域为()
(C)(1,+∞)
(D).(
(A).(
3
,1)4
(B)(
3
,∞)43
,1)∪(1,+∞)4
(2)已知f(x?
1)的定义域为?
2,4?
求f(2x?
1)的定义域例2.求下列各函数的值域
t2?
4t?
1
(1)、(2010重庆文数)已知t?
0,则函数y?
的最小值为____________.
t
(2)(2010湖北文)已知函数f(x)?
?
(A).4
?
log3x,x?
0
x
?
2,x?
0
,则f(f())?
19
(B).
14
(C).-4(D)-
14
(二)求下列函数的增区间
y?
log1(x2?
x?
6)
例3.
(1)
2
(2
)y?
(三)函数奇偶性
例4.1、(2010山东理4)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2+2x+b(b为常数),则f(-1)=()
(A)3(B)1(C-1(D)-3
2、(2010江苏卷)设函数f(x)=x(e
(四)指对数函数
例5.
(1)(2010辽宁文)设2?
5?
m,且
a
b
x
x
+ae-x)(x?
R)是偶函数,则实数a=________________
11
?
?
2,则m?
ab
(A
(B)10(C)20(D)100
232352525(,b?
(c?
(,则a,b,c的大小关系是
(2)(2010安徽文)设a?
555
(A)a>c>b(B)a>b>c(C)c>a>b(D)b>c>a
1-x
(3).已知f(x)=-x+log21+x
11
(1)求f()+f(-的值;
20052005
(2)当x∈(-a,a](其中a∈(0,1),且a为常数)时,f(x)是否存在最小值,如果存在,求出最小值;如
果不存在,请说明理由.
(五)函数与方程
例6
(1)(2010上海文)若x0是方程式lgx?
x?
2的解,则x0属于区间()(A)(0,1).(B)(1,1.25).(C)(1.25,1.75)(D)(1.75,2)
(2)(2010浙江文)(9)已知x是函数f(x)=2x+
,则()x2∈(x0,+?
)
(A)f(x1)<0,f(x2)<0(B)f(x1)<0,f(x2)>0(C)f(x1)>0,f(x2)<0(D)f(x1)>0,f(x2)>0
(3)(2010天津文)(4)函数f(x)=e?
x?
2的零点所在的一个区间是(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)
x
1
的一个零点.若x1∈(1,x0),1?
x
三、巩固并提高
1.(湖南卷)f(x)=?
2x的定义域为;2.
(江苏卷)函数y?
;
3.(2006年广东卷)函数f(x)?
3x2?
x
?
lg(3x?
1)的定义域是;
4.(2010陕西文)13.已知函数f(x)=?
?
3x?
2,x?
1,?
x?
ax,x?
1,
2
若f(f(0))=4a,则实数a=;
x5.(2010山东文)(3)函数f?
x?
?
log23?
1的值域为();
?
?
A.?
0,?
?
?
B.?
?
1,?
?
?
?
0,?
?
?
C.?
1,?
?
?
D.?
7.(2010山东理)函数y=2-x的图像大致是
x
2
8.已知f(x?
3)?
x2?
2x?
1,求f(x?
3);
2
y?
f(x)?
ax?
2(a?
3)x?
1在区间[?
2,?
?
)递减,求a取值范围;9.若
x
10.(2010山东文)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x?
0时,f(x)=2+2x-b(b为常数),则
f(?
1)(
)
(A)-3(B)-1(C)1(D)3
211.(2010天津文)(6)设a?
log54,b?
(log53),c?
log45,则
()
(A)a ?
log2x,x?
0,?
12.(2010天津理)若函数f(x)=?
log(?
x),x?
0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()
1
?
?
2
(A)(-1,0)∪(0,1)(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-1,0)∪(1,+∞)(D)(-∞,-1)∪(0,1)13.(2010四川理)(3)2log510+log50.25=()
(A)0(B)1(C)2(D)4
14.(2010天津理)
(2)函数f(x)=2?
3x的零点所在的一个区间是()(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)
x
?
x2+2x-3,x?
0
15.(2010福建文)7.函数(的零点个数为()fx)=?
?
-2+lnx,x>0
(A).3(B).2(C).1(D).01x1x16.已知函数f(x)=?
?
2+4-2.
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)求函数的值域;
(3)解方程f(x)=0;(4)解不等式f(x)>0.
17.已知函数f(x)?
2x?
1的反函数为f?
1(x),g(x)?
log4(3x?
1).
(1)若f?
1(x)?
g(x),求x的取值范围D;
(2)设函数H(x)?
g(x)?
1?
1
f(x),当x?
D时,求函数H(x)的值域.2
篇二:
知识讲解_指数函数及其性质_基础
指数函数及其性质
编稿:
丁会敏审稿:
王静伟
【学习目标】
1.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域;2.掌握指数函数图象:
(1)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质;
(2)掌握底数对指数函数图象的影响;
(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别.
3.学会利用指数函数单调性来比较大小,包括较为复杂的含字母讨论的类型;
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法;
5.通过对指数函数的研究,要认识到数学的应用价值,更善于从现实生活中发现问题,解决问题.【要点梳理】
要点一、指数函数的概念:
x
函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,a为常数,函数定义域为R.要点诠释:
(1)形式上的严格性:
只有形如y=a(a>0且a≠1)的函数才是指数函数.像y?
2?
3,y?
2,
x
x
1x
y?
3x?
1等函数都不是指数函数.
(2)为什么规定底数a大于零且不等于1:
x
?
?
x?
0时,a恒等于0,
①如果a?
0,则?
x
x?
0时,a无意义.?
?
②如果a?
0,则对于一些函数,比如y?
(?
4),当x?
x
x
11
,x?
?
?
?
时,在实数范围内函数值不存在.
24
③如果a?
1,则y?
1?
1是个常量,就没研究的必要了.
要点诠释:
(1)当底数大小不定时,必须分“a?
1”和“0?
a?
1”两种情形讨论。
(2)当0?
a?
1时,x?
?
?
y?
0;当a?
1时x?
?
?
y?
0。
当a?
1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快。
当0?
a?
1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快。
?
1
?
(3)指数函数y?
a与y?
?
?
的图象关于y轴对称。
?
a?
x
x
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
(1)
①y?
a②y?
b③y?
cx④y?
dx
则:
0<b<a<1<d<c
又即:
x∈(0,+∞)时,bx?
ax?
dx?
cx(底大幂大)x∈(-∞,0)时,bx?
ax?
dx?
cx
(2)特殊函数
x
x
y?
2x,y?
3x,
1y?
()x,
21
y?
()x的图像:
3
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法:
化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较.
(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:
①若A?
B?
0?
A?
B;A?
B?
0?
A?
B;A?
B?
0?
A?
B;②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断【典型例题】
类型一、指数函数的概念
例1.函数y?
(a?
3a?
3)a是指数函数,求a的值.【答案】2
【解析】由y?
(a?
3a?
3)a是指数函数,
2
x
2
x
AA
?
1,或?
1即可.BB
?
a2?
3a?
3?
1,?
a?
1或a?
2,
可得?
解得?
,所以a?
2.
a?
0且a
?
1,?
?
a?
0,且a?
1,
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数:
(1)切入点:
利用指数函数的定义来判断;
(2)关键点:
一个函数是指数函数要求系数为1,底数是大于0且不等于1的常数,指数必须是自变量x.
举一反三:
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数?
(1)y?
4;
(2)y?
x;(3)y?
?
4;(4)y?
(?
4);(5)y?
(2a?
1)x(a?
x
4
xx
1
且a?
1);(6)y?
4?
x.2
x
【答案】
(1)(5)(6)
?
1?
【解析】
(1)(5)(6)为指数函数.其中(6)y?
4=?
?
,符合指数函数的定义,而
(2)中底
?
4?
?
x
数x不是常数,而4不是变数;(3)是-1与指数函数4x的乘积;(4)中底数?
4?
0,所以不是指数函数.
类型二、函数的定义域、值域
例2.求下列函数的定义域、值域.
3xxx
(1)y?
;
(2)y=4-2+1;
;
(4)y?
x
1?
3
【答案】
(1)R,(0,1);
(2)R[
为大于1的常数)
3?
1?
(3)?
?
?
?
?
?
0,?
?
?
;(4)(-∞,-1)∪[1,+∞),?
?
);
24?
?
[1,a)∪(a,+∞)
x
【解析】
(1)函数的定义域为R(∵对一切x?
R,3≠-1).
(1?
3x)?
11xx
?
1?
∵y?
,又∵3>0,1+3>1,xx
1?
31?
3
11
,∴?
1?
1?
?
?
0,
1?
3x1?
3x
1
∴0?
1?
?
1,∴值域为(0,1).
1?
3x
1231xx2xxx
(2)定义域为R,y?
(2)?
2?
1?
(2?
)?
,∵2>0,∴2?
即x=-1时,y取最小
242
333
值,同时y可以取一切大于的实数,∴值域为[,?
?
).444
12x?
1
(3)要使函数有意义可得到不等式3?
?
0,即32x?
1?
3?
2,又函数y?
3x是增函数,所以
9
∴0?
1?
1?
2x?
1?
?
2,即x?
?
,即?
?
?
?
?
,值域是?
0,?
?
?
.
2?
2?
(4)∵
2xx?
1?
1?
?
0∴定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞),x?
1x?
1
x?
1x?
1
?
0且?
1,∴y?
a又∵
x?
1x?
1
2x
?
1x?
1
?
1且y?
a
2x?
1x?
1
?
a,∴值域为[1,a)∪(a,+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件,第(4)小题中
x?
12
?
?
?
1不能遗漏.x?
1x?
1
举一反三:
【变式1】求下列函数的定义域:
x-1
(1)y?
2
(2)y?
2
(3)y?
y?
a?
0,a?
1)
3?
;0?
;01时,?
-?
,
【解析】
(1)R
3?
.
(2)要使原式有意义,需满足3-x≥0,即x?
3,即?
-?
,
(3)为使得原函数有意义,需满足2-1≥0,即2≥1,故x≥0,即?
0,+?
?
x
x
0?
;01时,?
-?
,
x
x
【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性,根据所给的同底指数幂的大小关系,结
合单调性来判断指数的大小关系.
类型三、指数函数的单调性及其应用
例3.讨论函数f(x)?
?
?
?
1?
?
3?
x2?
2x
的单调性,并求其值域.
x2?
2x
?
1?
【思路点拨】对于x∈R,?
?
?
3?
?
0恒成立,因此可以通过作商讨论函数f(x)的单调区间.此函数
是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果.
【答案】函数f(x)在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数(0,3]【解析】
解法一:
∵函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),设x1、x2∈(-∞,+∞)且有x1<x2,
?
1?
∴f(x2)?
?
?
?
3?
2x2?
2x2
1
?
1?
,f(x1)?
?
?
?
3?
x2?
2x1
,
?
1?
22
x2?
x1?
2(x2?
x1)(x2?
x1)(x2?
x1?
2)?
?
f(x2)?
3?
11?
?
?
?
.?
?
?
2?
?
?
?
x1?
2x1
f(x1)?
1?
?
3?
?
3?
?
?
?
3?
(1)当x1<x2<1时,x1+x2<2,即有x1+x2-2<0.
2x2?
2x2
?
1?
又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)<0,则知?
?
?
3?
(x2?
x1)(x2?
x1?
2)
?
1.
又对于x∈R,f(x)?
0恒成立,∴f(x2)?
f(x1).
∴函数f(x)在(-∞,1)上单调递增.
(2)当1≤x1<x2时,x1+x2>2,即有x1+x2-2>0.又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)>0,则知
?
1?
0?
?
?
?
3?
(x2?
x1)(x2?
x1?
2)
?
1.∴f(x2)?
f(x1).
∴函数f(x)在[1,+∞)上单调递减.
综上,函数f(x)在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数.
1?
1?
∵x2―2x=(x―1)2―1≥-1,0?
?
1,0?
?
?
3?
3?
∴函数f(x)的值域为(0,3].
x2?
2x
?
1?
?
?
?
?
3.?
3?
?
1
?
1?
解法二:
∵函数f(x)的下义域为R,令u=x2-2x,则f(u)?
?
?
.
?
3?
?
1?
∵u=x―2x=(x―1)―1,在(―∞,1]上是减函数,f(u)?
?
?
在其定义域内是减函数,∴函数f(x)
?
3?
2
2
u
u
在(-∞,1]内为增函数.
?
1?
又f(u)?
?
?
在其定义域内为减函数,而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1,+∞)上是增函数,∴函数f(x)
?
3?
在[1,+∞)上是减函数.
值域的求法同解法一.
【总结升华】由本例可知,研究y?
a般地有:
即当a>1时,y?
a
f(x)
f(x)
u
型的复合函数的单调性用复合法,比用定义法要简便些,一
f(x)
的单调性与y?
f(x)的单调性相同;当0<a<1时,y?
a
的单调与
y?
f(x)的单调性相反.
举一反三:
【变式1】求函数y?
3
?
x2?
3x?
2
的单调区间及值域.
1
33
【答案】x?
(?
?
]上单增,在x?
[,?
?
)上单减.(0,34]
22
【解析】[1]复合函数——分解为:
u=-x+3x-2,y=3;
[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间;[3]求值域.
2u
设u=-x+3x-2,y=3,
其中y=3为R上的单调增函数,u=-x+3x-2在x?
(?
?
]上单增,
u
2
2
u
32
篇三:
指数运算和指数函数
第五讲指数运算和指数函数
一、知识点
1.根式的性质
(1)当n为奇数时,有a
n
n
?
a
(2)当n为偶数时,有a
nn
?
a,(a?
0)
?
a?
?
?
a,(a?
0)?
(3)负数没有偶次方根(4)零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念
(1)正整数指数幂:
an?
a?
?
a?
?
a.............a(n?
N?
)?
?
?
?
?
n
(2)零指数幂a0?
1(a?
0)(3)负整数指数幂a
m
?
p
?
1a
p
(a?
0.p?
N?
)
(4)正分数指数幂a
n
?
?
mn
m
a(a?
0,m,n?
N?
且n?
1)
(5)负分数指数幂a?
1
m
(a?
0,m,n?
N?
且n?
1)
a
n
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质
(1)ar?
as?
ar?
s,(a?
0,r,s?
Q)
(2)(ar)s?
ars,(a?
0,r,s?
Q)(3)(ab)r?
ar?
as,(a?
0,b?
0,r?
Q)
4.指数函数定义:
函数y?
ax(a?
0且a?
1)叫做指数函数。
1.函数y?
(x?
5)?
(x?
2)2
A.{x|x?
5,x?
2}B.{x|x?
2}
?
1
()
C.{x|x?
5}D.{x|2?
x?
5或x?
5}2.若指数函数y?
ax在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a等于
A.
1?
25
()
B.
?
1?
2
5
C.
1?
2
5
D.
5?
12
?
2?
x?
1,x?
0
?
3.函数f(x)?
?
1,满足f(x)?
1的x的取值范围
2?
?
x,x?
0
()
A.(?
1,1)
1
B.(?
1,?
?
)D.{x|x?
1或x?
?
1}
C.[2,?
?
)
1
C.{x|x?
0或x?
?
2}4.函数y?
()
?
x?
x?
2
2
21
A.[?
1,]
2
得单调递增区间是B.(?
?
?
1]
()
D.[,2]
2
5.已知f(x)?
e?
e
x?
x
2
A.奇函数,在R上为增函数B.偶函数,在R上为增函数C.奇函数,在R上为减函数D.偶函数,在R上为减函数二、填空题
,则下列正确的是()
6.已知函数f(x)的定义域是(1,2),则函数f(2x)的定义域是.7.当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3必过定点.
1
8.已知-1 9.(12分)求函数y?
10.(12分)已知函数y?
a
11.(12分)
(1)已知f(x)?
x
2x
a
1
x
的定义域.
5x?
1?
1
?
2a?
1(a?
1)在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.
x
23?
1
x
?
m是奇函数,求常数m的值;
(2)画出函数y?
|3?
1|的图象,并利用图象回答:
k为何值时,方程|3X-1|=k无
解?
有一解?
有两解?
12.已知函数f(x)=
a?
1a?
1
xx
(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性.
参考答案(6)
一、DCDDDAADDA
2
1
3
a
二、11.(0,1);12.(2,-2);13.a三、
15.解:
要使函数有意义必须:
3
;14.a3?
a?
3;
?
x?
1?
0
?
x?
1?
?
?
x?
?
0?
x?
0?
?
x?
1
∴定义域为:
?
xx?
R且x?
0,x?
1?
r
r
rr
a?
?
b?
,其中0?
16.解:
a?
b?
?
?
?
?
?
?
r
ac
?
1,0?
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- 指数函数