届数学2.9函数的应用.doc
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河北饶阳中学2014届数学一轮复习试题
[来源:
中.国教.育出.版网]
(时间:
60分钟)
A组 专项基础训练
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.
有一批材料可以围成200m长的围墙,现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地
(如图),且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形,则围成的矩形场地的最大面积为
( )
A.1000m2B.2000m2
C.2500m2D.3000m2
答案 C
解析 设围成的场地宽为xm,面积为ym2,
则y=3x(200-4x)×
=-4x2+200x(0 当x=25时,ymax=25×100=2500. ∴围成的矩形场地的最大面积为2500m2. 2.(2011·湖北改编)里氏震级M的计算公式: M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震 曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍.( ) A.6 1000B.4 1000 C.6 10000D.4 10000[来源: 中教网] 答案 C 解析 由M=lgA-lgA0知,M=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6,∴此次地震的震级为6级. 设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则lg=lgA1-lgA2=(lgA1-lgA0)-(lgA2-lgA0)=9-5=4.∴=104=10000,∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍. 3. 某电信公司推出两种手机收费方式: A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差( ) A.10元B.20元 C.30元D.元 答案 A 解析 设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20, B种方式对应的函数解析式为s=k2t, 当t=100时,100k1+20=100k2,∴k2-k1=, t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10. 4. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位: 10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如右图所示),则每辆客车营运多少年时,其营运的平均利润最大 ( ) A.3B.4C.5D.6 答案 C 解析 由题图可得营运总利润y=-(x-6)2+11, 则营运的年平均利润=-x-+12,[来源: 中_国教_育出_版网] ∵x∈N*,∴≤-2+12=2, 当且仅当x=,即x=5时取“=”. ∴x=5时营运的平均利润最大. 二、填空题(每小题5分,共15分) 5. 如图,书的一页的面积为600cm2,设计要求书面上方空出2cm的边,下、左、右方都 空出1cm的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为____________. 答案 30cm、20cm 解析 设长为acm,宽为bcm,则ab=600, 则中间文字部分的面积S=(a-2-1)(b-2) =606-(2a+3b)≤606-2=486, 当且仅当2a=3b,即a=30,b=20时,S最大=486. 6.某市出租车收费标准如下: 起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km. 答案 9 解析 设出租车行驶xkm时,付费y元, 则y= 由y=22.6,解得x=9. 7.(2012·绍兴模拟)2008年我国人口总数为14亿,如果人口的自然年增长率控制在1.25%, 则________年我国人口将超过20亿.(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg7≈0.8451)[来源: 中国教育出版网] 答案 2037 解析 由已知条件: 14(1+1.25%)x-2008>20, x-2008>==28.7, 则x>2036.7,即x=2037. 三、解答题(共25分) 8.(12分) 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b).在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x,当x为何值时,四边形EFGH的面积最大? 求出这个最大面积. 解 设四边形EFGH的面积为S, 由题意得S△AEH=S△CFG=x2, S△BEF=S△DHG=(a-x)·(b-x). 由此得S=ab-2 =-2x2+(a+b)x=-22+. 函数的定义域为{x|0 因为a>b>0,所以0 若≤b,即a≤3b,x=时面积S取得最大值; 若>b,即a>3b时,函数S=-22+在(0,b]上是增函数,因此,当x=b时,面积S取得最大值ab-b2. 综上可知,若a≤3b,当x=时,四边形EFGH的面积取得最大值;若a>3b, 当x=b时,四边形EFGH的面积取得最大值ab-b2. 9.(13分)某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位: 千元)与市场供应量p(单位: 万[来源: 中&教&网z&z&s&tep] 件)之间近似满足关系式: p=2(1-kt)(k-b)2,其中k,b均为常数.当关税税率t=75% 时,若市场价格为5千元,则市场供应量为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应 量约为2万件. (1)试确定k,b的值; (2)市场需求量q(单位: 万件)与市场价格x近似满足关系式: q=2-x,当p=q时,市场 价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值. 解 (1)由已知, ⇒. 解得b=5,k=1. (2)当p=q时,2(1-t)(x-5)2=2-x, ∴(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+=1+ 而f(x)=x+在(0,4]上单调递减, ∴当x=4时,f(x)有最小值, 故当x=4时,关税税率的最大值为500%. B组 专项能力提升 一、选择题(每小题5分,共15分) 1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位: 万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2 =2x,其中x为销售量(单位: 辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得最大利润为( ) A.45.606万元B.45.6万元 C.45.56万元D.45.51万元[来源: ] 答案 B 解析 依题意可设甲销售x辆,则乙销售(15-x)辆,总利润S=L1+L2,则总利润S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+0.15×10.22+30(x≥0).∴当x=10时,Smax=45.6(万元). 2. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些 边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x、y应为( ) A.x=15,y=12B.x=12,y=15 C.x=14,y=10D.x=10,y=14 答案 A 解析 由三角形相似得=,得x=(24-y), ∴S=xy=-(y-12)2+180, ∴当y=12时,S有最大值,此时x=15. 3.(2012·江西)如图, 已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0 则函数y=V(x)的图象大致为( ) 答案 A[来源: 中教网] 解析 “分段”表示函数y=V(x),根据解析式确定图象. 当0 由SC⊥面QEPMN,且几何体为正四棱锥,棱长均为1,可求得正四棱锥的高h=, 取MN的中点O, 易推出OE∥SA,MP∥SA,NQ∥SA,则SQ=SP=AM=AN=2x,四边形OEQN和OEPM 为全等的直角梯形, 则VS-AMN=×·AM·AN·h=x2, 此时V(x)=VS-ABCD-VS-AMN-VS-EQNMP =-x2-×(2x-3x2)x =x3-x2+, 非一次函数形式,排除选项C,D. 当E为SC中点时,截面为三角形EDB,且S△EDB=. 当 此时V(x)=(1-x)3⇒V′=-(1-x)2. 当x→1时,V′→0,则说明V(x)减小越来越慢,排除选项B. 方法二 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月 份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是________.[来源: 中§教§网z§z§s§tep] 答案 20 解析 由题意得, 3860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7000, 化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0, 解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去). ∴x≥20,即x的最小值为20. 5.某商人购货,进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为______________. 答案 y=x(x∈N*) 解析 设新价为b,依题意,有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化简得b= a.∴y=b·20%·x=a·20%·x,即y=x(x∈N*). 6.某医院为了提高服务质量,对挂号处的排队人数进行了调查,发现: 当还未开始挂号时, 有N个人已经在排队等候挂号;开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人.假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人,当开放一个窗口时,40分钟后恰好不会出现排队现象;若同时开放两个窗口时,则15分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息,若要求8分钟后不出现排队现象,则需要同时开放的窗口至少应有________个. 答案 4 解析 设要同时开放x个窗口才能满足要求, 则 由①②,得 代入③,得60M+8M≤8×2.5Mx,解得x≥3.4. 故至少同时开放4个窗口才能满足要求. 三、解答题(13分) 7.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,[来源: 中国教育出版网] 大桥上的车流速度v(单位: 千米/时)是车流密度x(单位: 辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明: 当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位: 辆/ 时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时) 解 (1)由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60; 当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b, 再由已知得 解得 故函数v(x)的表达式为 v(x)= (2)依题意并由 (1)可得 f(x)= 当0≤x≤20时,f(x)为增函数, 故当x=20时,其最大值为60×20=1200; 当20 ≤2=, 当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立. 所以当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值. 综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333, 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时. [来源: 中+国教+育出+版网] 第9页共9页
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- 数学 2.9 函数 应用