0对数函数(师).doc
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专题013:
对数函数(师)
考点要求:
1.考查对数函数的定义域与值域.
2.考查对数函数的图象与性质的应用.
3.考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质.
4.考查对数函数与指数函数互为反函数的关系.
5.复习本讲首先要注意对数函数的定义域,这是研究对数函数性质.判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据,同时熟练把握对数函数的有关性质,特别注意底数对函数单调性的影响.
知识结构:
1.对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域:
(0,+∞)
值域:
R
过点(1,0)
当x>1时,y>0当0<x<1,y<0
当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0
是(0,+∞)上的增函数
是(0,+∞)上的减函数
2.反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
3.解决对数函数应当注意:
(1)解决与对数有关的问题时,
(1)务必先研究函数的定义域;
(2)注意对数底数的取值范围.
(2)画对数函数的图象应抓住三个关键点:
(a,1),(1,0),.
4.对数值的大小比较方法
(1)化同底后利用函数的单调性.
(2)作差或作商法.(3)利用中间量(0或1).
(4)化同真数后利用图象比较.
基础自测
1.,则(C)
A. B. C. D.
[解析],
,∴
2.设a=log3π,b=log2,c=log3,则 ( A )
A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a
解:
a=log3π>1,b=log23,则b>c.
3.设M={y|y=()x,x∈[0,+∞)},N={y|y=log2x,x∈(0,1]},则集合M∪N等于( C )
A.(-∞,0)∪[1,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1)
4..函数y=(-1)的图象关于( C )
A.y轴对称 B.x轴对称C.原点对称 D.直线y=x对称
5.已知0<a<1,,则(A)
A.1<n<mB.1<m<nC.m<n<1D.n<m<1
6.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为( ).
A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞) D.[1,+∞)
解析 设y=f(x),t=3x+1.则y=log2t,t=3x+1,x∈R.由y=log2t,t>1知函数f(x)的值域为(0,+∞).
答案 A
7.(2011北京文)如果,那么(D)
(A)(B)(C)(D)
【解析】:
,,即故选D
8.函数恒过定点 (3,1) .
9.若loga>1,则a的取值范围是________.答案
例题选讲:
例1:
(2010·全国)设a=log32,b=ln2,c=5-,则( ).
A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a
解析 法一 a=log32=,b=ln2=,而log23>log2e>1,所以a<b,c=5-=,而>2=log24>log23,所以c<a,综上c<a<b,故选C.
法二 a=log32=,b=ln2=,1<log2e<log23<2,∴<<<1;c=5-=<=,所以c<a<b,故选C.
答案 C
说明:
一般是同底问题利用单调性处理,不同底问题的处理,一般是利用中间值来比较大小,同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决.
点评:
用对数函数的性质比较大小
(1)同底数的两个对数值的大小比较
例如,比较logaf(x)与logag(x)的大小,
其中a>0且a≠1.
①若a>1,则logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0.
②若0logag(x)⇔0 (2)同真数的对数值大小关系如图: 图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大,即0 (3)1)化同底后利用函数的单调性;2)作差或作商法;3)利用中间量(0或1);4)化同真数后利用图象比较. 例2: 作出函数y=log2|x+1|的图象,由图象指出函数的单调区间,并说明它的图象可由函数y=log2x的图象经过怎样的变换而得到. 解 作出函数y=log2x的图象,将其关于y轴对称得 到函数y=log2|x|的图象,再将图象向左平移1个单位长度 就得到函数y=log2|x+1|的图象(如图所示). 由图知,函数y=log2|x+1|的递减区间为(-∞,-1),递 增区间为(-1,+∞). 探究提高 作一些复杂函数的图象,首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象,通过平移、对称、翻折等方法,得出所求函数的图象. 例3: 已知函数,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. 分析: 利用定义证明复合函数的单调性. 解: x须满足 所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,1). 因为函数的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意x,有 ,所以是奇函数. 研究在(0,1)内的单调性,任取x1、x2∈(0,1),且设x1 得>0,即在(0,1)内单调递减, 由于是奇函数,所以在(-1,0)内单调递减. 点评: 本题重点考察复合函数单调性的判断及证明,运用函数性质解决问题的能力. 例4: 已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明; (3)若a>1时,求使f(x)>0的x的解集. 解 (1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),则解得-1 故所求函数f(x)的定义域为{x|-1 (2)由 (1)知f(x)的定义域为{x|-1 且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)] =-f(x),故f(x)为奇函数. (3)因为当a>1时,f(x)在定义域{x|-1 解得0 例5: 已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1). (1)若f (2)=2,求a的值; (2)当a>1时,求函数y=f(x)+f(-x)的最大值. 解 (1)f (2)=loga4, 依题意f (2)=2,则loga4=2,∴a=2. (2)由题意知8-2x>0,解得x<3, 由8-2-x>0知,x>-3,∴函数y=f(x)+f(-x)的定义域为(-3,3). 又y=f(x)+f(-x)=loga(8-2x)+loga(8-2-x)=loga[65-8(2x+2-x)], ∵>2x+2-x≥2,当且仅当x=0时取等号,∴0<65-8(2x+2-x)≤49, ∴当a>1时,函数y=f(x)+f(-x)在x=0处取得最大值loga49. 巩固作业: A组: 一、选择题: 1.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x≥1时,f(x)=lnx,则有( C ) A.f() (2) (2) (2)D.f (2) 解: 由f(2-x)=f(x)知f(x)的图象关于直线x==1对称,又当x≥1时,f(x)=lnx,所以离对称轴 x=1距离大的x的函数值大,∵|2-1|>|-1|>|-1|,∴f() (2). 2.已知函数f(x)满足: 当x≥4时,f(x)=x;当x<4时,f(x)=f(x+1).则f(2+log23)的值为 ( A ) A. B. C. D. 解: 因为3<2+log23<4,故f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23).又3+log23>4, 故f(3+log23)=3+log23=3·=.] 3.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上递增,f()=0,则满足>0的x的取值范围是 ( B ) A.(0,+∞) B.(0,)∪(2,+∞) C.(0,)∪(,2) D.(0,) 解: 由题意可得: f(x)=f(-x)=f(|x|),f(|logx|)>f(),f(x)在[0,+∞)上递增,于是|logx|>,解得x的取值范围是(0,)∪(2,+∞). 对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)=logag(x)(a>0且a≠1)等价于f(x)=g(x),但要注意验根.对于logaf(x)>logag(x)等价于01时, (2)形如F(logax)=0、F(logax)>0或F(logax)<0,一般采用换元法求解. 4.已知,则有(D) A. B. C. D. [解析]∵,∴,同理.∴,即 故选D。 5.(2011北京文)如果,那么 (A)(B)(C)(D) 【解析】: ,,即故选D 6.(2011江西文)若,则的定义域为(C) A.B.C.D. 二、填空题: 7.(2011江苏)函数的单调增区间是__________答案: 8.函数f(x)=(x2-2x-3)的单调递增区间是_____(-¥,-1)_____ 求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤: ①确定定义域; ②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x); ③分别确定这两个函数的单调区间; ④若这两个函数同增或同减,则y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”. 9.【2102高考北京文12】已知函数,若,则________【答案】2 【解析】因为,,所以,所以。 10.若函数是奇函数,则 解: 由于是奇函数,∴, 即, ∴,又,∴ 11.函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上(其中mn>0),则+的最小值为_8____. 12.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1x2…x2013)=8,则f(x)+f(x)+…+f(x)=___16______. 13.函数的单调递增区间是. 三、解答题: 14.求函数,的最大值和最小值. 解: 令,,则, 即求函数在上的最大值和最小值. 故函数的最大值为0,最小值为. 15.已知f(x)=log4(4x-1) (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性;(3)求f(x)在区间上的值域. 解 (1)由4x-1>0解得x>0, 因此f(x)的定义域为(0,+∞). (2)设0 因此log4(4x1-1) (3)f(x)在区间上递增, 又f=0,f (2)=log415, 因此f(x)在上的值域为[0,log415]. 16.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象. ①写出函数g(x)的解析式; ②当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围. 解 (1)设P(x,y)为g(x)图象上任意一点,则Q(-x,-y)是点P关于原点的对称点, ∵Q(-x,-y)在f(x)的图象上,∴-y=loga(-x+1),即y=g(x)=-loga(1-x). (2)f(x)+g(x)≥m,即loga≥m. 设F(x)=loga,x∈[0,1),由题意知,只要F(x)min≥m即可. ∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min=F(0)=0.故m≤0即为所求. 17.已知函数f(x)=(a2-3a+3)x. (1)判断函数的奇偶性; (2)若y=f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,求a的取值范围. 解 (1)函数f(x)=(a2-3a+3)x的定义域为R. 又f(-x)=(a2-3a+3)-x=-(a2-3a+3)x=-f(x), 所以函数f(x)是奇函数. (2)函数f(x)=(a2-3a+3)x在(-∞,+∞)上为减函数,则y=(a2-3a+3)x在(-∞,+∞)上为增函数, 由指数函数的单调性,有a2-3a+3>1,解得a<1或a>2. 所以a的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞). B组: 一、选择题: 1.已知函数f(x)=|lgx|,若0 A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞) 解析: 画出函数f(x)=|lgx|的图象如图所示.∵01, ∴lga<0,lgb>0.由f(a)=f(b), ∴-lga=lgb,ab=1. ∴b=,∴a+2b=a+,
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- 对数 函数