1-1-1-2-整数乘除法速算巧算.教师版.doc
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整数乘除法巧算PIV4.0云讲义打造高效课堂
整数乘除法速算与巧算
教学目标
本节课主要学习乘、除法的速算与巧算.要求学生理解乘、除法的意义及其关系,能根据乘、除法之间的关系验算乘除法;并且掌握积的变化规律以及商不变的性质,并能合理利用,解决相关问题.
知识点拨
一、乘法凑整
思想核心:
先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起,最后再与前面的数相乘,使得运算简便。
例如:
,,
(去8数,重点记忆)
(三个常用质数的乘积,重点记忆)
理论依据:
乘法交换率:
a×b=b×a
乘法结合率:
(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配率:
(a+b)×c=a×c+b×c
积不变规律:
a×b=(a×c)×(b÷c)=(a÷c)×(b×c)
二、乘、除法混合运算的性质
⑴商不变性质:
被除数和除数乘(或除)以同一个非零数,其商不变.即:
,
⑵在连除时,可以交换除数的位置,商不变.即:
⑶在乘、除混合运算中,被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置(即带着符号搬家).
例如:
⑷在乘、除混合运算中,去掉或添加括号的规则
去括号情形:
①括号前是“×”时,去括号后,括号内的乘、除符号不变.即
②括号前是“÷”时,去括号后,括号内的“×”变为“÷”,“÷”变为“×”.即
添加括号情形:
加括号时,括号前是“×”时,原符号不变;括号前是“÷”时,原符号“×”变为“÷”,“÷”变为“×”.即
⑸两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘.即
上面的三个性质都可以推广到多个数的情形.
二、乘除法巧算与速算
(1)凑整:
2×5;4×25;8×125……;
(2)构造整数:
;
(3)乘法分配律:
;
(4)提取公因数:
;
注意:
除法算式中公因数只能用为除数。
(5)平方差:
(6)同头尾合十与同尾头合十:
同头尾合十:
头×(头+1)作结果的头;尾×尾作结果的尾。
同尾头合十:
头×头+尾数作结果的头;尾×尾作记过的尾。
(7)特殊数字的计算:
11、101、1001
与11相乘利用两头拉开中间相加的方法;
;
例题精讲
一,乘5、15、25、125
【例1】下面这些题你会算吗?
⑴ ⑵
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【解析】⑴
⑵
【答案】⑴⑵
【巩固】用简便方法计算下面各题.
(1)
(2)
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【解析】
(1)
(2)
【答案】⑴⑵
【巩固】下面这道题怎样算比较简便呢?
看谁算的快!
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】1星【题型】计算
【解析】不能被整除,但可以拆成,这样,可转化为再加上,这样就可速算了.
原式
【答案】650
【例2】你知道下题怎样快速的计算吗?
⑴⑵ ⑶⑷
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【解析】我们刚刚学过了乘,,的速算法,大显身手练一下吧!
⑴或
⑵或
⑶或
⑷
【答案】⑴⑵⑶⑷
【巩固】运用乘法的运算律大显身手吧,可以记录自己速算的时间啊.
⑴⑵ ⑶⑷
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【解析】由于,,,运用乘法交换律和结合律,在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后,再与其它数相乘,以简化计算.
⑴
⑵
⑶
⑷
或
【答案】⑴⑵⑶⑷
【巩固】计算:
.
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【解析】把64拆成,然后配方.
原式
【答案】
【巩固】为了考察大头儿子的速算能力,小头爸爸给他出了一道题,并且限时一分钟,小朋友,你能做到吗?
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【解析】把分成,用乘法结合律便可速算.
原式
【答案】
【巩固】计算:
.
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算:
13×25×125×4×8=.
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【关键词】2006年,第4届,走美杯,3年级,决赛
【解析】根据凑整的原则,将125和8相乘为1000,25和4相乘,最后结果为:
【答案】
【巩固】请快速计算下面各题.
⑴ ⑵
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【解析】⑴
⑵
【答案】⑴⑵
【巩固】
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例3】聪明的你也来试试吧!
⑴⑵⑶⑷
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】3星【题型】计算
【解析】⑴
⑵
⑶
⑷
【答案】⑴⑵⑶⑷
【巩固】请你简便计算.
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】3星【题型】计算
【解析】⑴
⑵
⑶
⑷
【答案】⑴⑵⑶⑷
【巩固】计算:
=
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【关键词】2006年,第4届,走美杯,3年级,初赛
【解析】根据乘法凑整原则
【答案】
【巩固】计算:
____________.
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【关键词】2007年,第5届,走美杯,3年级,初赛
【解析】根据乘法凑整原则整理为
【答案】
【例4】计算:
=
【考点】乘法凑整之乘5的倍数【难度】2星【题型】计算
【关键词】2006年,第4届,走美杯,4年级,决赛
【解析】
【答案】
二,乘9、99、999
【例5】下面各题怎样算简便呢?
⑴ ⑵ ⑶
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算
【解析】⑴利用公式,可以得出结果:
;
⑵,此题也可用小技巧:
“去1添补”法,“补”就是“补数”,和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意:
只适用于“两位数乘”.
⑶,此题可用小技巧:
“去1添补,中间隔9”法.注意:
只适用于“两位数乘”.
【答案】⑴ ⑵ ⑶
【巩固】相信你能快速的计算下面各题,我们一起来做做吧.
⑴⑵⑶
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算
【解析】利用乘法分配律的公式,可以得出结果,也可以记住下面的小技巧:
一个数,在该数后添0,再减此数;一个数,在该数后添00,再减此数;一个数,在该数后添000,再减此数……
⑴
⑵,此题也可用小技巧:
“去1添补”法,“补”就是“补数”,和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意:
只适用于“两位数乘99”.
⑶,此题也可用小技巧:
“去1添补,中间隔99”法,“补”就是“补数”,和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意:
只适用于“两位数乘9999”.
【答案】⑴ ⑵ ⑶
【巩固】计算:
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算
【关键词】2008年,学而思杯,4年级
【解析】原式
【答案】
【巩固】算式值的各位数字之和为。
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算
【关键词】2008年,学而思杯,5年级
【解析】
,
所以它的各位数字之和为。
【答案】
【巩固】我们快来做做吧?
⑴ ⑵ ⑶
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算
【解析】利用公式,可以得出结果,也可以记住下面的小技巧:
一个数,在该数后添,再减此数;一个数,在该数后添,再减此数;一个数,在该数后添,再减此数……
⑴
⑵
⑶
【答案】⑴ ⑵ ⑶
【巩固】怎样计算更简便呢?
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算
【解析】⑴
⑵
⑶
⑷
【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【巩固】
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算
【关键词】2004年,第2届,走美杯,3年级,决赛
【解析】计算时、、类的数字时可以将其看成、、或者拆出1和其凑整计算
【答案】
【巩固】__________
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算
【关键词】2005年,第3届,走美杯,3年级,决赛
【解析】
【答案】
【巩固】请快速计算下面各题.
⑴ ⑵
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】2星【题型】计算
【解析】⑴
⑵
【答案】⑴ ⑵
【巩固】计算:
⑴
⑵
⑶
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】计算
【解析】⑴此题表面上看没有巧妙的算法,但如果把45和54先结合可得99,就可以运用乘法分配律进
行简算了.()().
⑵此题如果直接乘,数字较大,容易出错.如果将变为,规律就出现了.
⑶方法一:
().
方法二:
()
().
【答案】⑴ ⑵⑶
【例6】小朋友,相信你一定能行噢.
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】计算
【解析】因为,分别比,小、,利用乘法分配律可得
⑴原式
⑵原式
⑶原式
⑷原式
【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【例7】计算:
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算:
.
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】若,则整数的所有数位上的数字和等于().
A.18063 B.18072 C.18079 D.18054
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】选择题
【关键词】2008年,第十三届,华杯赛,初赛
【解析】选C,考点:
计算,凑整法.
所以整数的所有数位上的数字和.
【答案】
【巩固】两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有个数字是奇数?
【考点】乘法凑整之乘9、99、999【难度】3星【题型】填空题
【关键词】第一届,华杯赛
【解析】方法一:
有10个数为奇数.
方法二:
奇数的个数为1
奇数的个数为2
奇数的个数为3
奇数的个数为4
……
显然其奇数的个数为10.
【答案】
三,乘11、111、101
【例8】你能快速的写出结果吗?
【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】2星【题型】计算
【解析】⑴可以用公式得出:
另外,还有一种小技巧——一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”,
⑵用公式得:
也可用小技巧得:
⑶用公式得出
用小技巧得:
这是因为:
⑷用公式得:
得出:
用小技巧得:
,这是因为:
所以为结果.
【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【巩固】三个同学为一组,进行乘法接力:
(可以让孩子到黑板上操作)
第一组:
开始,第二位同学接力的积再乘以,第三位同学接力第二位同学的答案乘以
第二组:
开始,第二位同学接力的积再乘以,第三位同学接力第二位同学的答案乘以
第三组:
开始,第二位同学接力的积再乘以,第三位同学接力第二位同学的答案乘以
第四组:
开始,第二位同学接力的积再乘以,第三位同学接力第二位同学的答案乘以
第五组:
开始,第二位同学接力的积再乘以,第三位同学接力第二位同学的答案乘以
【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】2星【题型】计算
【解析】这个活动在于提高学生的速算能力,教师也可拓展到乘以,的活动
第一组:
,,
第二组:
,,
第三组:
,,
第四组:
,,
第五组:
,,
【答案】第一组:
,,
第二组:
,,
第三组:
,,
第四组:
,,
第五组:
,,
【例9】请你计算出下式结果,并总结规律.快点算吧!
第一组:
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
第二组:
⑴⑵
⑶⑷
⑸⑹
【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】3星【题型】计算
【解析】第一组:
⑴
⑵
⑶(有2个“1”,结果就有2组“79”)
⑷(有3个“1”,结果就有3组“23”)
⑸
⑹(有几个“1”,结果就有几个“69”)
第二组:
⑴
⑵
⑶(被乘数是3位数,乘数的1和1之间就夹了2个0)
⑷
⑸
⑹(被乘数是n位数,乘数1之间就夹了“”个0)
【答案】第一组:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
第二组:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
【巩固】怎样才能算得又对又快?
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】2星【题型】计算
【解析】⑴
⑵
⑶
⑷
【答案】 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【巩固】.
【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】2星【题型】计算
【解析】原式.另,可由叠数的性质
直接得出答案为.
【答案】
【例10】
【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】3星【题型】计算
【关键词】2004年,第2届,走美杯,3年级,决赛
【解析】本题利用特殊数字乘积特点进行计算:
【答案】
【例11】请你根据“乘法的凑整”思路,推算下列各题.
【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
原式
【答案】
【例12】计算:
【考点】乘法凑整之乘11、111、101【难度】3星【题型】计算
【关键词】2007年,走美杯,决赛
【解析】原式
【答案】
四,其它乘法
【例13】试着用一点技巧吧.
⑴ ⑵
【考点】乘法凑整【难度】2星【题型】计算
【解析】⑴
⑵
【答案】⑴ ⑵
【例14】.
【考点】乘法凑整【难度】3星【题型】计算
【关键词】2008年,台湾小学数学竞赛选拔赛
【解析】原式
【答案】
【例15】求下列算式计算结果的各位数字之和:
.
【考点】乘法凑整【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
,
数字和为:
.
【答案】
【例16】用简便方法计算下面的算式:
⑴;⑵;
⑶;⑷.
【考点】乘法凑整【难度】2星【题型】计算
【解析】直接套用速算法:
⑴原式;
⑵原式
(注意:
我们在实际计算中不会这样详细列出式子,学生容易将答案错写成569.互补数如果
是n位数,则应占乘积的后2n位,不足的位补“0”);
⑶原式;
⑷原式.
【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【巩固】计算:
⑴;⑵;
⑶;⑷.
【考点】乘法凑整【难度】3星【题型】计算
【解析】上一道例题介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法.当被乘数和乘数多于两位时,是否还可以套用速算法直接计算呢?
我们先将互补的概念推广一下,当两个数的和是10,100,1000,时,这两个数互为补数,简称互补.
当被乘数与乘数前面的几位数相同,后面的几位数互补时,这个算式就是“同补”型;当被乘数与乘数前面的几位数互补,后面的几位数相同时,这个乘法算式就是“补同”型.
⑴的结果后四位应该是,第四位之前则是.
所以.
⑵的结果后四位应该是,第四位之前则是.
所以.
⑶的后四位应该是,第四位之前则是.
所以.
⑷的后四位应该是,第四位之前是.
所以.
【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【例17】计算:
、、.
【考点】乘法凑整,平方差公式【难度】3星【题型】计算
【解析】
【答案】⑴ ⑵ ⑶
五,除法
【例18】小朋友们,下面的计算方法可要听仔细啦.
⑴ ⑵
⑶ ⑷
【考点】除法凑整【难度】2星【题型】计算
【解析】不同的算式有不同的特点,要学会挑选好办法去速算.我们刚刚学习了除法的运算定律,观察每个算式的特点,选择不同的定律进行计算.
⑴我们一眼就可以看出,,所以运用除法的分配律可以简便运算.
⑵括号里三个数都很大,运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算.
⑶和9都不是50的倍数,但是它们的和却是50的倍数,运用除法分配律的逆运算,就可以得出结果啦.
⑷这是一个连除,计算起来会比较复杂,但是相比较就会简单一些,根据连除的性质:
交换除数的位置,商不变,得到比较简便的运算:
.
【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【巩固】同学们,来个接力赛比一下吧.
【考点】除法凑整【难度】2星【题型】计算
【解析】依次为:
、、、、、、、、、、、
【答案】、、、、、、、、、、、
【巩固】请你用简便方法计算出来.
⑴ ⑵ ⑶
【考点】除法凑整【难度】1星【题型】计算
【解析】我们知道在计算乘法时,都喜欢计算、、,其实在计算除法时,巧妙的运用这些规律也能够使计算变得简单;还可以运用商不变的性质进行速算.
⑴
⑵
⑶
【答案】⑴ ⑵ ⑶
【巩固】计算:
【考点】除法凑整【难度】2星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例19】计算的方法很重要,我们要仔细听啦。
⑴⑵
⑶ ⑷
【考点】除法凑整【难度】2星【题型】计算
【解析】不同的算式有不同的特点,要学会挑选好办法去速算.我们刚刚学习了除法的运算定律,观察每个算式的特点,选择不同的定律进行计算.
⑴我们一眼就可以看出,,所以运用除法的分配律可以简便运算.
⑵括号里三个数都很大,运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算.
⑶和都不是的倍数,但是它们的和却是的倍数,运用除法分配律的逆运算,就可以得出结果啦.
⑷计算起来会比较复杂,但是相比较就会简单一些,根据连除的性质:
交换除数的位置,商不变,得到比较简便的运算:
.
【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷
六,乘除混合
【例20】计算:
___________
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