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a)
a1
a2
a3
混和积:
a,b,c
a(b
c)
b1
b2
b3
c1
c2
c3
其中a,b,c的混合积的绝对值等于以
a,b,c为棱的平行六面体体积。
2.向量之间的平行、垂直、共面条件
两向量垂直的充要条件:
abab0.
两向量平行(共线)的充要条件:
1/39
a//b
ab0
a3.
3.平面与直线
(1)平面及其方程
点法式方程:
(
)
(
zz0
)0
Axx0
Byy0
C
一般式方程:
Ax
By
CzD
截距式方程:
x
y
z
c
x
x1
y1
z1
三点式方程:
x2
y2
z2
x3
y3
z3
(2)直线方程
点向式方程:
x0
y0
z0
(对称式方程)
m
n
p
A1xB1yC1zD1
A2xB2yC2zD2
两点式方程:
(实际是对称式方程)
参数式方程:
mt,yy0
nt,z
z0pt
直线的三种方程可以相互转换。
(3)点到平面的距离,点到直线的距离,异面直线间的距离
点M0(x0,y0,z0)到平面AxBy
Cz
D
Ax0By0
Cz0D
0的距离:
d
B2
C2
A2
点M1到直线x
z0的距离:
M0M1s
,
s
其中s为直线的方向向量,M0(x0,y0,z0)。
两异面直线x
x
x2
yy2
zz2间的距离:
m1
n1
p1
m2
n2
p2
2/39
d
(s1
s2)M1M2
s1
s2
该公式可理解为
(1)直线上的两点M1,M2对应的向量M1M2在(s1
s2)投影的绝对
值。
或
(2)(s1
s2)M1M2
表示s,s,M
M
为棱边的平行六面体的体积,而体积又可表
示为s1s2d。
(4)平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系(平行、垂直、相交)。
两平面法向量的夹角(常取锐角)称为两平面的夹角.
两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角(取锐角).
直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角(取锐角)
平面束
设有两张不平行的平面,交成一条直线L,过直线L的所有平面的集合称为由
直线L所确定的平面束。
设空间直线的一般式方程为
A1xB1y
C1zD1
L:
C2zD2
A2xB2y
则方程
(A1xB1yC1zD1)(A2xB2yC2zD2)0(10)
称为过直线L的平面束方程。
其中、为参数,且不全为零。
2y
z0
1.过点M(1,1,1)且与直线
2y
平行的直线方程为
2x
3z60
2.已知平面过点(1,
2,0)且与直线
6y
3z
垂直,求此平面方程。
10
3.已知向量OAb,OB
a,
ODA
,如图
A
aba
(1)求证:
ODA的面积S
2a
.
O
B
(2)当a,b夹角为何值时,
ODA的面积为最大
?
解
(1)连接AB,则SAOB
1a
AD
ab
3/39
同时,
abcos
aOD
OD
1ODAD
所以S
(2)
S
1b
sin2
4
所以当
时,面积为最大.
4.设a
3i
5j
2k,b
2i
9k,试求
的值,使得:
1)a
b与z轴垂直;
2)a
b与a垂直,并证明此时
ab取得最小值。
解
首先
b=(3
2,5
1,
9),
b与z轴垂直,就是
b与基本单位向量k垂直,即{ab}k
0,
从而
(3
9)
(0,0,1)
9
所以,当
4.5时,a
b与a垂直,即(
b)a
从而有
3(3
2)
5(5
1)
2(
38
7
7时,a
b与a垂直。
记d
2)2
(5
1)2
9)2,
,则d=(3
求导
76
14
,得驻点
7,且d'
'
7时,
b取得最小值。
5.求两直线
5
0与y
40
的公垂线方程。
2z
解:
直线x
0的对称式方程为x
2yz40
直线y
的对称式方程为x
8
2z
公垂线的方向向量为
2,1,
2,0,
10,
设垂足分别为(
2t
9,t
2,
4t),(2u
8,0,
u
2),则
2u
t
4t
2,解得t
12,u
10
21
4/39
公垂线方程为x8yz2
1102
5/39
第八章多元函数的微分
一、多元函数的概念、极限、连续
二、偏导数、全微分定义
偏导数:
fx(x0,y0)
lim
f(x0
x,y0)
f(x0,y0),
fy(x0,y0)
f(x0,y0
y)
f(x0,y0)
y0
全微分:
设zf(x,y),若z
Ax
By
(),
y2,则称zf(x,y)
在点(x0,y0)可微,并称dz
zxdx
zydy为z
f(x,y)在点(x0,y0)的
全微分。
注意一元函数与二元函数在可微、可导、连续等概念上的区别与联系一元函数在某点处
可导可微连续极限存在
二元函数在某点处有
连续极限存在
存在连续偏导数可微可偏导
方向导数存在
三、多元复合函数的求导法则
1.显函数
多元复合函数求导法是多元函数微分学中的一个中心内容。
在用法则时关键是弄清函数的复合结构,哪些是中间变量,哪些是自变量,为此我们把变量之间的关系用图示来表式,称为变量之间的关系图,或称为变量之间的树形图。
另外还
注意抽象复合函数f(xy,xy)等的偏导数的求法,其中主要是正确理解和使用符
号f1,f11,f21等。
6/39
求法:
事实上,在求显函数的偏导数时已经用了复合函数的求导法则,只是当时没有明显写出变量之间的关系。
如设z
eusinv,其中u
xy,vx
y,求z,
法1
原题即是求z
exysin(x
y)的偏导数
z,
法2
明确变量之间的关系为:
v
利用复合函数的求导法则
v,z
v即可求出偏导
xy
数。
法3利用全微分的形式不变性,先计算全微分,后得偏导数
dzeudusinveucosvdveusinv(ydxxdy)eucosv(dxdy)
(yeusinveucosv)dx(xeusinveucosv)dy.
所以得zyeusinveucosvyexysin(xy)exycos(xy)
2.隐函数的求导法则
我们知道表示函数的方法是多种多样的,如显式表示,隐式表示(又分为单个方程或方程组),参数方程(显式或隐式)表示等,相应就产生各式各样的求导法则或公式。
1)由二元方程F(x,y)
0所确定的一元隐函数yf(x)的导数dy的求法:
dx
(1)显化:
由F(x,y)
0解出y
f(x)(满足隐函数存在定理的条件),利用一
元函数的求导法则,求出
dy。
由F(x,y)0解出x
f(y),利用反函数的求导法则,求出
dy
dxdy
(2)视y为x的函数用复合函数的求导则
(3)用隐函数的求导公式dy
Fx
Fy
(4)利用函数的微分
7/39
2)由三元方程F(x,y,z)0所确定的二元函数zf(x,y)或xg(y,z)等的偏导
数
z,x等的求法(与上面相应)
⑴显化:
一般行不通
⑵
视z为x,y的函数,两边分别对x,y求导,则可得到
⑶
隐函数的求导公式
Fx
Fz
⑷
利用微分
3.方程组
F(x,y,z)
0确定隐函数y
y(x),z
z(x),求dy,dz
G(x,y,z)
dxdx
通过解下面的线性方程组得到
dz
Gx
Gy
Gz
四、多元函数微分学的几何应用
1.空间曲线的切线与法平面
⑴设空间曲线的参数方程为
:
xx(t),yy(t),zz(t),参数tt0与空间直角点(x0,y0,z0)相对应为切点
则切线向量为sx(t0),y(t0),z(t0)
切线方程为xx0yy0zz0
x(t0)y(t0)z(t0)
法平面方程为x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)0
⑵设空间曲线的一般方程为
F(x,y,z)
切点为(x0,y0,z0)
8/39
ijk
则切线向量为s
m,n,p,或为1,y(x0),z(x0)(将曲线方
(x0,y0,z0)
程转化为参数方程)
切线方程为x
法平面方程为
mxx0
nyy0
2.空间曲面的切平面与法线
⑴设曲面方程为
(,
0,
M0
)为切点
yz
则切平面的法线向量为n
Fx(M0),Fy(M0),Fz(M0)A,B,C
切平面方程为
yy0
法线方程为x
⑵设曲面的参数方程为
xx(u,v),y
y(u,v),z
z(u,v),切点(x0,y0,z0)对应的参数为(u0,v0)
则切平面的法向量为
xu
yu
zu
ABC
,
xv
yv
zv
五、方向导数与梯度
1.方向导数
定义:
函数f(x,y)在点(x0,y0)处沿l方向的函数的增量
f(x0x,y0
y)f(x0,y0)与这两点(x0,y0),(x0x,y0
y)的距离
y2之比,当距离
0的极限,记为
f,
l
即
f
limf(x0
x,0y)yf(0x,0y)
9/39
f表示f(x,y)在点(x0,y0)处沿方向l的变化率。
关于方向导数的存在性与计算有下面的定理
定理如果函数f(x,y)在点(x0,y0)可微分,则函数在该点沿任一方向l的方向导数
存在,且有
fx(x0
y0)cos
fy(x0,y0)cos
其中cos,cos
是方向l的方向余弦,即el(cos
cos)是与l同方向的单位向
量。
(同理有f
fx(x0,y
0,z0)cos
fy(x0,y0,z0)cos
fz(x0,y0,z0)cos)
2.梯度
gradf(x0,y0)
fx(x0,y0
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