考研数学暑期强化概率统计---曹显兵.doc
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2008考研数学强化班概率论与数理统计讲义
第一讲随机事件与概率
考试要求
1.了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系与运算.
2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及贝叶斯公式.
3.理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概率,掌握计算有关事件概率的方法.
一、古典概型与几何概型
1.试验,样本空间与事件.
2.古典概型:
设样本空间为一个有限集,且每个样本点的出现具有等可能性,则
3.几何概型:
设为欧氏空间中的一个有界区域,样本点的出现具有等可能性,则
【例1】一个盒中有4个黄球,5个白球,现按下列三种方式从中任取3个球,试求取出的球中有2个黄球,1个白球的概率.
(1)一次取3个;
(2)一次取1个,取后不放回;
(3)一次取1个,取后放回.
【例2】从(0,1)中随机地取两个数,试求下列概率:
(1)两数之和小于1.2;
(2)两数之和小于1且其积小于.
一、事件的关系与概率的性质
1.事件之间的关系与运算律(与集合对应),其中特别重要的关系有:
(1)A与B互斥(互不相容)
(2)A与B互逆(对立事件),
(3)A与B相互独立P(AB)=P(A)P(B).
P(B|A)=P(B)(P(A)>0).
(0
P(B|A)=P(B|)(0
注:
若(0
0)
(0
P(A|B)=P(A|)(0
P(|B)=P(|)(0
(4)A,B,C两两独立P(AB)=P(A)P(B);
P(BC)=P(B)P(C);
P(AC)=P(A)P(C).
(5)A,B,C相互独立P(AB)=P(A)P(B);
P(BC)=P(B)P(C);
P(AC)=P(A)P(C);
P(ABC)=P(A)P(B)P(C).
2.重要公式
(1)
(2)
(3)
(4)若A1,A2,…,An两两互斥,则.
(5)若A,…,A相互独立,则
.
.
(6)条件概率公式:
(P(A)>0)
【例3】已知(A+)()+=C,且P(C)=,试求P(B).
【例4】设两两相互独立的三事件A,B,C满足条件:
ABC=Φ,P(A)=P(B)=P(C)<,且已知,则P(A)=.
【例5】设三个事件A、B、C满足P(AB)=P(ABC),且0
(A)P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C).(B)P(AB|C)=P(AB).
(C)P(AB|)=P(A|)+P(B|).(D)P(AB|)=P(AB).
【例6】设事件A,B,C满足条件:
P(AB)=P(AC)=P(BC),P(ABC)=,则事件A,B,C中至多一个发生的概率为.
【例7】设事件A,B满足P(B|A)=1则 【】
(A)A为必然事件.(B)P(B|)=0.
(C).(D).
【例8】设A,B,C为三个相互独立的事件, 且0
(A)与C.(B)与
(C)与(D)与
【例9】设A,B为任意两个事件,试证
P(A)P(B)-P(AB)≤P(A-B)P(B-A)≤.
三、乘法公式,全概率公式,Bayes公式与二项概率公式
1.乘法公式:
2.全概率公式:
3.Bayes公式:
4.二项概率公式:
【例10】10件产品中有4件次品,6件正品,现从中任取2件,若已知其中有一件为次品,
试求另一件也为次品的概率.
【例11】设10件产品中有3件次品,7件正品,现每次从中任取一件,取后不放回.
试求下列事件的概率.
(1)第三次取得次品;
(2)第三次才取得次品;
(3)已知前两次没有取得次品,第三次取得次品;
(4)不超过三次取到次品;
【例12】甲,乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为0.6和0.5,试在下列两种情形下,分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率.
(1)在甲,乙两人中随机地挑选一人,由他射击一次;
(2)甲,乙两人独立地各射击一次.
【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份.
(1)求先抽到的一份是女生表的概率p;
(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.
第二讲随机变量及其分布
考试要求
1.理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数()的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.
2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用.
3.了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布.
4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用,其中参数为的指数分布的概率密度为
5.会求随机变量函数的分布.
一、分布函数
1.随机变量:
定义在样本空间上,取值于实数的函数称为随机变量.
2.分布函数:
F(x)为分布函数
(1)0≤F(x)≤1
(2)F(x)单调不减
(3)右连续F(x+0)=F(x)
(4)
3.离散型随机变量与连续型随机变量
(1)离散型随机变量
分布函数为阶梯跳跃函数.
(2)连续型随机变量
f(x)为概率密度
(1)f(x)≥0,
(2)f(x)
4.几点注意
【例1】设随机变量的分布函数为
则.
【例2】设随机变量X的密度函数为f(x),且f(-x)=f(x),记和分别是X和的分布函数,则对任意实数x有【】
(A). (B).
(C). (D).
【例3】设随机变量X服从参数为的指数分布,试求随机变量Y=min{X,2}的分布函数
【例4】设某个系统由6个相同的元件经两两串联再并联而成,且各元件工作状态相互独立
每个元件正常工作时间服从参数为的指数分布,试求系统正常工作的时间T的概率分布.
【例5】设随机变量的概率密度为
试求
(1)的分布函数;
(2)概率.
二、常见的一维分布
(1)0-1分布:
.
(2)二项分布.
(3)Poisson分布:
.
(4)均匀分布
(5)正态分布N(μ,σ2):
(6)指数分布.
(7)几何分布
(8)超几何分布H(N,M,n):
.
【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0
(A). (B).
(C). (D).
【例7】设X~N(,σ),则 P(X1+)【】
(A)随μ的增大而增大. (B)随的增大而减小.
(C)随σ的增大而不变. (D)随σ的增大而减小.
【例8】设X~N(,σ),为其分布函数,,则对于任意实数,有【】
(A)(B)
(C)(D)
【例9】甲袋中有1个黑球,2个白球,乙袋中有3个白球,每次从两袋中各任取一球交换放入另一袋中,试求交换n次后,黑球仍在甲袋中的概率.
三、随机变量函数的分布:
1.离散的情形
2.连续的情形
3.一般的情形
【例10】设随机变量的概率密度为
令为二维随机变量(X,Y)的分布函数.
(Ⅰ) 求Y的概率密度;
(Ⅱ).
第三讲多维随机变量及其分布
考试要求
1.理解多维随机变量的概念,理解多维随机变量的分布的概念和性质,理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.
2.理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握随机变量相互独立的条件.
3.掌握二维均匀分布,了解二维正态分布的概率密度,理解其中参数的概率意义.
4.会求两个随机变量简单函数的分布,会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.
一、各种分布与随机变量的独立性
1.各种分布
(1)一般二维随机变量F(x,y)=P{X£x,Y£y},xÎ(−¥,+¥),yÎ(−¥,+¥)的性质
F(x,y)为联合分布函数1)0≤F(x,y)≤1,"xÎ(−¥,+¥),,yÎ(−¥,+¥);
2)F(−¥,y)=F(x,−¥)=0,F(+¥,+¥)=1;
3)F(x,y)关于x,y均为单调不减函数;
4)F(x,y)关于x,y均分别右连续.
(2)二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布
联合概率分布律P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,×××,pij³0,.
边缘分布律pi·=P{X=xi}=,i=1,2,×××,
p·j=P{Y=yj}=,j=1,2,×××,
条件分布律P{X=xi|Y=yj}=,P{Y=yj|X=xi}=.
二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度
f(x,y)为联合概率密度1°f(x,y)≥0,
2°.
设(X,Y)~f(x,y)则
分布函数:
;
边缘概率密度:
.
条件概率密度:
.
2.随机变量的独立性和相关性
X和Y相互独立ÛF(x,y)=FX(x)FY(y);
Ûpij=pi·´p·j(离散型)
Ûf(x,y)=fX(x)fY(y)(连续型)
【注】 1°X与Y独立,f(x),g(x)为连续函数Þf(X)与g(Y)也独立.
2°若X1,××××,Xm,Y1,××××,Yn相互独立,f,g分别为m元与n元连续函数
Þf(X1,××××,Xm)与g(Y1,××××,Yn)也独立.
3°常数与任何随机变量独立.
3.常见的二维分布
(1)二维均匀分布(X,Y)~U(D),D为一平面区域.联合概率密度为
(2)二维正态分布(X,Y)~N(μ1,μ2,s12,s22,r),−¥<μ1,μ2<+¥,s1>0,s2>0,|r|<1.联合概率密度为
性质:
(a)X~N(μ1,s12),Y~N(μ2,s22)
(b)X与Y相互独立ÛrXY=0,即X与Y不相关.
(c)C1X+C2Y~N(C1μ1+C2μ2,C12s12+C22s22+2C1C2rs1s2).
(d)X关于Y=y的条件分布为正态分布:
【例1】设A,B为事件,且P(A)=,P(B|A)=,P(A|B)=
令X=,Y=
(1)试求(X,Y)的联合分布律;
(2)计算Cov(X,Y);
(3)计算.
【例2】设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.
Y
X
【例3】设随机变量X与Y独立同分布,且X的概率分布为
记.
(I)求(U,V)的概率分布;
(II)求(U,V)的协方差Cov(U,V).
【详解】(I)易知U,V的可能取值均为:
1,2.且
故(U,V)的概率分布为:
V
U
12
1
2
0
(II),
而,.
故.
【例4】设随机变量在区间(0,1)上服从均匀分布,在的条件下,随机变量在区间上服从均匀分布,求
(Ⅰ)随机变量和的联合概率密度;
(Ⅱ)的概率密度;
(Ⅲ)概率.
二、二维(或两个)随机变量函数的分布
1.分布的可加性
(1)若X~B(m,p),Y~B(n,p),且X与Y相互独立,则X+Y~B(m+n,p).
(2)若X~P(λ1),Y~P(λ2),且X与Y相互独立,则X+Y~P(λ1+λ2).
(3)若X~N(),Y~P(),且X与Y相互独立,则X+Y~N().
一般地,若Xi~N(),i=1,2,…,n,且X1,X2,…,Xn相互独立,则Y=C1X1+C2X2+…+CnXn+C仍服从正态分布,且此正态分布为
其中C1,…,Cn为不全为零的常数.
2.两个随机变量函数的分布.
【例5】设X与Y相互独立,且则
【例6】设X与Y相互独立,其密度函数分别为:
求Z=2X+Y的概率密度.
【例7】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
(I)求;
(II)求Z=X+Y的概率密度.
【详解】(I).
(II)方法一:
先求Z的分布函数:
当z<0时,;
当时,
;
当时,
;
当时,.
故Z=X+Y的概率密度
=
方法二:
,
当z≤0或z≥2时,;
当时,;
当时,;
故Z=X+Y的概率密度
【例8】设随机变量X与Y相互独立,X有密度函数f(x),Y的分布律为试求Z=X+Y的概率分布.
第四讲数字特征与极限定理
考试要求
1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征.
2.会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望;会根据随机变量和的联合概率分布求其函数的数学期望.
3.了解切比雪夫不等式.
4.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量的大数定律)
5.了解棣莫弗—拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维—林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理);(经济类还要求)会用相关定理近似计算有关随机事件的概率
一、数学期望与方差(标准差)
1.定义(计算公式)
离散型,
连续型,
方差:
标准差:
2.期望的性质:
1°
2°
3°
4°
3.方差的性质:
1°
2°
3°
4°一般有
5°,
【例1】设试验成功的概率为,失败的概率为,独立重复试验直到成功两次为止.试求试验次数的数学期望.
【例2】n片钥匙中只有一片能打开房门,现从中任取一片去试开房门,直到打开为止.
试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差:
(1)试开过的钥匙即被除去;
(2)试开过的钥匙重新放回.
【例3】设随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于的次数,求的数学期望.
【例4】设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼,电梯在中途只下不上,每个乘客在哪一层(2-11层)下是等可能的,且乘客之间相互独立,试求电梯须停次数的数学期望.
二、随机变量函数的期望(或方差)
1、一维的情形
离散型:
,
连续型:
2、二维的情形
离散型,
连续型,
【例5】设X与Y独立且均服从N(0,1),求Z=的数学期望与方差.
【例6】设两个随机变量X与Y相互独立且均服从N(0,),试求Z=|X-Y|的数学期望与方差.
三、协方差,相关系数与随机变量的矩
1、重要公式与概念:
协方差
相关系数
2、性质:
1°
2°
3°
4°
5°
3、下面5个条件互为充要条件:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【例7】设为独立同分布的随机变量,且均服从,记,求:
(I)的方差;
(II)与的协方差;
(III)
四、极限定理
1.切比雪夫不等式
2.大数定律
3.Poisson定理
4.中心极限定理
列维—林德伯格定理:
设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立同分布,且,则对任意正数x,有
棣莫弗—拉普拉斯定理:
设(即X1,X2,…,Xn,…相互独立,同服从0一1分布)则有
.
【例8】银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金,已知这批债券共发放了500张,每张须付本息1000元,设持券人(1人1券)到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.
【分析】若X为该日到银行领取本息的总人数,则所需现金为1000X,设银行该日应准备现金x元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换,则P(1000X≤x)≥0.999.
【详解】设X为该日到银行领取本息的总人数,则X~B(500,0.4)所需支付现金为1000X,为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换,设银行该日应准备现金x元,则P(1000X≤x)≥0.999.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知:
即得x≥233958.798.
因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.
第五讲数理统计
考试要求
1.理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为
2.了解分布、t分布和F分布的概念及性质,了解分位数的概念并会查表计算.
3.了解正态总体的常用抽样分布.
4.理解经验分布函数的概念和性质,会根据样本值求经验分布函数.
5.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.
6.掌握矩估计法(一阶、二阶矩)和最大似然的估计法.
7.了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念,并会验证估计量的无偏性.
8.理解区间估计的概念,会求单个正态总体的均值和方差的置信区间,会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.
9.理解显著性检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的
两类错误.
10.了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
一、样本与抽样分布
1.总体、个体与简单随机样本:
2.常用统计量:
1°样本均值
2°样本方差
3°样本标准差:
4°样本k阶原点矩
5°样本k阶中心矩
3.分位数
4.重要抽样分布
(1)
(2)t分布
(3)F分布
5.正态总体的常用抽样分布:
,则
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)与相互独立,且,,.
【例1】设总体设是来自总体X的一个样本,且,求.
【例2】设总体设是取自总体X的一个样本,且,则.
【例3】设随机变量,则
【例4】设总体X服从正态分布,而是来自总体X的简单随机样本,求随机变量
的分布.
【例5】设总体设是来自总体X的一个样本,且,试求统计量的分布.
二、参数估计
1.矩估计
2.最大似然估计
3.区间估计
4.估计量的评选标准
【例6】设总体,为来自总体X的样本,试求的矩估计和最大似然估计.
【例7】设总体的概率密度为
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