考研数学(一、二、三)真题及答案解析.doc
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2016考研数学
(一)真题及答案解析
考研复习最重要的就是真题,所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析,希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺,快速有效的备考。
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)设是数列下列命题中不正确的是()
(A)若,则
(B)若,则
(C)若,则
(D)若,则
【答案】(D)
(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(A)
【解析】将特解代入微分方程,利用待定系数法,得出。
故选A。
(3)若级数在处条件收敛,则与依次为幂级数的()
(A)收敛点,收敛点
(B)收敛点,发散点
(C)发散点,收敛点
(D)发散点,发散点
【答案】(A)
【解析】因为级数在处条件收敛,所以,有幂级数的性质,的收敛半径也为,即,收敛区间为,则收敛域为,进而与依次为幂级数的收敛点,收敛点,故选A。
(4)下列级数发散的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(C)
【解析】(A),
,存在,则收敛。
(B)收敛,所以(B)收敛。
(C),因为分别是收敛和发散,所以发散,故选(C)。
(D),所以收敛。
(5)设矩阵,若集合,则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(D)
【解析】有无穷多解,即,从而
当时,
从而时有无穷多解
当时,
从而时有无穷多解
所以选D.
(6)二次型在正交变换下的标准形为,其中,若,在正交变换下的标准型为()
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(A)
【解析】由已知得,,
从而
,其中,均为初等矩阵,所以选A。
(7)若为任意两个随机事件,则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(C)
【解析】排除法。
若,则,而未必为0,故,故错。
若,则,故错。
(8)设总体为来自该总的简单随机样本,为样本均值,则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】(B)
【解析】
二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上).
(9)_____.
【答案】
【解析】
(10)_______.
【答案】
【解析】
(11)若函数有方程确定,则_______.
【答案】
【解析】对两边分别关于求偏导,并将这个代入,得到,所以。
(12)设是由与三个坐标平面所围成的空间区域,则
【答案】
【解析】由对称性,
其中
为平面截空间区域所得的截面
其面积为
所以:
(13)阶行列式
【答案】
【解析】按第一行展开得
(14)设二维随机变量服从正态分布则
【答案】.
【解析】由故独立。
三、解答题:
15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)设函数若与在时为等价无穷小,求的值。
【解析】由题意,
(16)计算二重积分,其中。
【解析】
,
其中,
则。
(17)已知函数曲线求在曲线上的最大方向导数
【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模
模为
此题目转化为对函数
在约束条件
下的最大值,即为条件极值问题。
本问题可以转化为对
在约束条件
下的最大值,构造函数
故最大值为3.
(18)设函数在定义域上的导数大于0,若对任意的,曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4,且,求的表达式。
【解析】
解得:
分离变量可得:
因为
所以
综上
19、已知曲线的方程为,起点为,终点为计算曲线积分
【解析】由题意假设参数方程
(20)向量组是的一个基,
(Ⅰ)证明为的一个基;
(Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量在基与基下的坐标相同,并求所有的.
【解析】(Ⅰ)证明:
是的一个基
线性无关,即
又
=3
线性无关,为的一个基
(Ⅱ)由已知设
有非零解,
所以
从而
(21)设矩阵相似于矩阵。
(1)求的值。
(2)求可逆矩阵,使为对角矩阵。
【解析】
(1)
由
(2)由
(1)得,其中特征值,
当时,解方程的基础解系为;
当时,解方程的基础解系为,
从而,
因为线性无关,所以令可逆,即,使得。
(22)设随机变量的概率密度为,对进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现为止,记的观测次数。
(1)求的概率分布。
(2)求。
【解析】
(1),
所以的概率分布为
(2)
令
,,
,
(23)设总体的概率密度为,其中为未知参数,为随机样本。
(1)求的矩阵估计量;
(2)求的最大似然估计量。
【解析】
(1)。
(2)设为观测值,则
,,取。
2016年考研数学二真题与解析
一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.
1.当时,若,均是比高阶的无穷小,则的可能取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
【详解】,是阶无穷小,是阶无穷小,由题意可知
所以的可能取值范围是,应该选(B).
2.下列曲线有渐近线的是
(A)(B)(C)(D)
【详解】对于,可知且,所以有斜渐近线
应该选(C)
3.设函数具有二阶导数,,则在上()
(A)当时,(B)当时,
(C)当时,(D)当时,
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法.
【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断.显然就是联接两点的直线方程.故当时,曲线是凹的,也就是,应该选(D)
【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话,可令,则,且,故当时,曲线是凹的,从而,即,也就是,应该选(D)
4.曲线上对应于的点处的曲率半径是()
(A)(B) (C) (D)
【详解】曲线在点处的曲率公式,曲率半径.
本题中,所以,,
对应于的点处,所以,曲率半径.
应该选(C)
5.设函数,若,则()
(A) (B) (C) (D)
【详解】注意
(1),
(2).
由于.所以可知,,
.
6.设在平面有界闭区域D上连续,在D的内部具有二阶连续偏导数,且满足及,则().
(A)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上;
(B)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部;
(C)的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上;
(D)的最小值点在区域D的内部,最大值点在区域D的边界上.
【详解】在平面有界闭区域D上连续,所以在D内必然有最大值和最小值.并且如果在内部存在驻点,也就是,在这个点处,由条件,显然,显然不是极值点,当然也不是最值点,所以的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上.
所以应该选(A).
7.行列式等于
(A)(B) (C)(D)
【详解】
应该选(B).
8.设是三维向量,则对任意的常数,向量,线性无关是向量线性无关的
(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件
(C)充分必要条件(D)非充分非必要条件
【详解】若向量线性无关,则
(,),对任意的常数,矩阵的秩都等于2,所以向量,一定线性无关.
而当时,对任意的常数,向量,线性无关,但线性相关;故选择(A).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
9..
【详解】.
10.设为周期为4的可导奇函数,且,则.
【详解】当时,,由可知,即;为周期为4奇函数,故.
11.设是由方程确定的函数,则.
【详解】设,,当时,,,,所以.
12.曲线的极坐标方程为,则在点处的切线方程为.
【详解】先把曲线方程化为参数方程,于是在处,,,则在点处的切线方程为,即
13.一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标.
【详解】质心坐标.
14.设二次型的负惯性指数是1,则的取值范围是.
【详解】由配方法可知
由于负惯性指数为1,故必须要求,所以的取值范围是.
三、解答题
15.(本题满分10分)
求极限.
【分析】.先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极限.
【详解】
16.(本题满分10分)
已知函数满足微分方程,且,求的极大值和极小值.
【详解】
解:
把方程化为标准形式得到,这是一个可分离变量的一阶微分方程,两边分别积分可得方程通解为:
,由得,
即.
令,得,且可知;
当时,可解得,,函数取得极大值;
当时,可解得,,函数取得极小值.
17.(本题满分10分)
设平面区域.计算
【详解】由对称性可得
18.(本题满分10分)
设函数具有二阶连续导数,满足.若,求的表达式.
【详解】
设,则,
;
;
由条件,
可知
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.
对应齐次方程的通解为:
其中为任意常数.
对应非齐次方程特解可求得为.
故非齐次方程通解为.
将初始条件代入,可得.
所以的表达式为.
19.(本题满分10分)
设函数在区间上连续,且单调增加,,证明:
(1);
(2).
【详解】
(1)证明:
因为,所以.
即.
(2)令,
则可知,且,
因为且单调增加,
所以.从而
,
也是在单调增加,则,即得到
.
20.(本题满分11分)
设函数,定义函数列
,,
设是曲线,直线所围图形的面积.求极限.
【详解】
,,
利用数学归纳法可得
,
.
21.(本题满分11分)
已知函数满足,且,求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.
【详解】
由于函数满足,所以,其中为待定的连续函数.
又因为,从而可知,
得到.
令,可得.且当时,.
曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为
22.(本题满分11分)
设,E为三阶单位矩阵.
(1)求方程组的一个基础解系;
(2)求满足的所有矩阵.
【详解】
(1)对系数矩阵A进行初等行变换如下:
,
得到方程组同解方程组
得到的一个基础解系.
(2)显然B矩阵是一个矩阵,设
对矩阵进行进行初等行变换如下:
由方程组可得矩阵B对应的三列分别为
,,,
即满足的所有矩阵为
其中为任意常数.
23.(本题满分11分)
证明阶矩阵与相似.
【详解】证明:
设,.
分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下:
,
所以A的个特征值为;
而且A是实对称矩阵,所以一定可以对角化.且;
所以B的个特征值也为;
对于重特征值,由于矩阵的秩显然为1,所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关,进一步矩阵B存在个线性无关的特征向量,即矩阵B一定可以对角化,且
从而可知阶矩阵与相似.
2016年考研数学(三)真题
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)若,则a=______,b=______.
(2)设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定,其中函数g(y)可微,且g(y)¹0,则.
(3)设,则.
(4)二次型的秩为.
(5)设随机变量服从参数为的指数分布,则_______.
(6)设总体服从正态分布,总体服从正态分布,和分别是来自总体和的简单随机样本,则
.
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)函数在下列哪个区间内有界.
(A)(-1,0). (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3).[]
(8)设f(x)在(-¥,+¥)内有定义,且,,则
(A)x=0必是g(x)的第一类间断点. (B)x=0必是g(x)的第二类间断点.
(C)x=0必是g(x)的连续点.
(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关. []
(9)设f(x)=|x(1-x)|,则
(A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.
(B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点. []
(10)设有下列命题:
(1)若收敛,则收敛.
(2)若收敛,则收敛.
(3)若,则发散.
(4)若收敛,则,都收敛.
则以上命题中正确的是
(A)
(1)
(2). (B)
(2)(3). (C)(3)(4). (D)
(1)(4). []
(11)设在[a,b]上连续,且,则下列结论中错误的是
(A)至少存在一点,使得>f(a).
(B)至少存在一点,使得>f(b).
(C)至少存在一点,使得.
(D)至少存在一点,使得=0. [D]
(12)设阶矩阵与等价,则必有
(A)当时,.(B)当时,.
(C)当时,.(D)当时,.[]
(13)设阶矩阵的伴随矩阵若是非齐次线性方程组的
互不相等的解,则对应的齐次线性方程组的基础解系
(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.
(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量. []
(14)设随机变量服从正态分布,对给定的,数满足,
若,则等于
(A).(B).(C).(D).[]
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分8分)
求.
(16)(本题满分8分)
求,其中D是由圆和所围成的
平面区域(如图).
(17)(本题满分8分)
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足
,xÎ[a,b),.
证明:
.
(18)(本题满分9分)
设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格PÎ(0,20),Q为需求量.
(I)求需求量对价格的弹性(>0);
(II)推导(其中R为收益),并用弹性说明价格在何范围内变化时,
降低价格反而使收益增加.
(19)(本题满分9分)
设级数
的和函数为S(x).求:
(I)S(x)所满足的一阶微分方程;
(II)S(x)的表达式.
(20)(本题满分13分)
设,,,,
试讨论当为何值时,
(Ⅰ)不能由线性表示;
(Ⅱ)可由唯一地线性表示,并求出表示式;
(Ⅲ)可由线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.
(21)(本题满分13分)
设阶矩阵
.
(Ⅰ)求的特征值和特征向量;
(Ⅱ)求可逆矩阵,使得为对角矩阵.
(22)(本题满分13分)
设,为两个随机事件,且,,,令
求
(Ⅰ)二维随机变量的概率分布;
(Ⅱ)与的相关系数;
(Ⅲ)的概率分布.
(23)(本题满分13分)
设随机变量的分布函数为
其中参数.设为来自总体的简单随机样本,
(Ⅰ)当时,求未知参数的矩估计量;
(Ⅱ)当时,求未知参数的最大似然估计量;
(Ⅲ)当时,求未知参数的最大似然估计量.
2016年考研数学(三)真题解析
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)若,则a=,b=.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为,且,所以
,得a=1.极限化为
,得b=-4.
因此,a=1,b=-4.
【评注】一般地,已知=A,
(1)若g(x)®0,则f(x)®0;
(2)若f(x)®0,且A¹0,则g(x)®0.
(2)设函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定,其中函数g(y)可微,且g(y)¹0,
则.
【分析】令u=xg(y),v=y,可得到f(u,v)的表达式,再求偏导数即可.
【详解】令u=xg(y),v=y,则f(u,v)=,
所以,,.
(3)设,则.
【分析】本题属于求分段函数的定积分,先换元:
x-1=t,再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x-1=t,
=.
【评注】一般地,对于分段函数的定积分,按分界点划分积分区间进行求解.
(4)二次型的秩为2.
【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换
或配方法均可得到答案.
【详解一】因为
于是二次型的矩阵为,
由初等变换得,
从而,即二次型的秩为2.
【详解二】因为
其中.
所以二次型的秩为2.
(5)设随机变量服从参数为的指数分布,则.
【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】由于,的分布函数为
故
.
【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.
(6)设总体服从正态分布,总体服从正态分布,
和分别是来自总体和的简单随机样本,则
.
【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.
【详解】因为,,
故应填.
【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)函数在下列哪个区间内有界.
(A)(-1,0). (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3).[A]
【分析】如f(x)在(a,b)内连续,且极限与存在,则函数f(x)
在(a,b)内有界.
【详解】当x¹0,1,2时,f(x)连续,而,,
,,,
所以,函数f(x)在(-1,0)内有界,故选(A).
【评注】一般地,如函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在闭区间[a,b]上有界;如函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且极限与存在,则函数f(x)在开区间(a,b)内有界.
(8)设f(x)在(-¥,+¥)内有定义,且,
,则
(A)x=0必是g(x)的第一类间断点. (B)x=0必是g(x)的第二类间断点.
(C)x=0必是g(x)的连续点.
(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关. [D]
【分析】考查极限是否存在,如存在,是否等于g(0)即可,通过换元,
可将极限转化为.
【详解】因为=a(令),又g(0)=0,所以,
当a=0时,,即g(x)在点x=0处连续,当a¹0时,
,即x=0是g(x)的第一类间断点,因此,g(x)在点x=0处的连续性
与a的取值有关,故选(D).
【评注】本题属于基本题型,主要考查分段函数在分界点处的连续性.
(9)设f(x)=|x(1-x)|,则
(A)x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.
(B)x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(C)x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
(D)x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点. [C]
【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在,可利用定义判断极值情况,
考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号,判断拐点情况.
【详解】设0
的极小值点.
显然,x=0是f(x)的不可导点.当xÎ(-d,0)时,f(x)=-x(1-x),,
当xÎ(0,d)时,f(x)=x(1-x),,所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.
故选(C).
【评注】对于极值情况,也可考查f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.
(10)设有下列命题:
(1)若收敛,则收敛.
(2)若收敛,则收敛.
(3)若,则发散.
(4)若收敛,则,都收敛.
则以上命题中正确的是
(A)
(1)
(2). (B)
(2)(3). (C)(3)(4). (D)
(1)(4). [B]
【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.
【详解】
(1)是错误的,如令,显然,分散,而收敛.
(2)是正确的,因为改变、增加或减少级数的有限项,不改变级数的收敛性.
(3)是正确的,因为由可得到不趋向于零(n®¥),所以发散.
(4)是错误的,如令,显然,,都发散,而
收敛.故选(B).
【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法,属于基本题型.
(11)设在[a,b]上连续,且,则下列结论中错误的是
(A)至少存在一点,使得>f(a).
(B)至少存在一点,使得>f(b).
(C)至少存在一点,
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