最新人教版高中数学选修22第一章《生活中的优化问题举例》教学设计Word格式.docx
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提出问题2:
一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别为多少?
继续讨论,像问题1一样需要学生说明理由.
除了猜想、证明外,不少学生尝试计算.
两个小正方形边长都是时,其面积和最小.
教师提问:
对于以上两个问题,都是对实际问题中的最优化设计,你对实际生活中的最优化设计有什么办法?
能联系导数知识进行说明吗?
学生会用导数知识重新审视问题1、2,思考之后,部分学生可以答出一些理由.
设计意图
通过几个比较简单的问题,一是激发学生的学习兴趣,二是引出用代数(函数)的方法解决问题.两个问题都可以用二次函数、不等式等知识解决,同样应用导数也能解决,为应用导数知识解决实际问题做铺垫.
提出问题:
如图,在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?
最大容积是多少?
以小组为单位,研究实施方案,教师巡视、指导.
由于问题相对复杂,学生在猜想无果时,会尝试用函数知识解决.
解法一:
设箱底边长为xcm,则箱高h=(cm),得箱子容积
V(x)=x2h=(0<
x<
60).V′(x)=60x-(0<
60).
令V′(x)=60x-=0,解得x1=0(舍去),x2=40,
并求得V(40)=16000.
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积都很小.经检验可知,16000是最大值.
答:
当箱底边长为40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
解法二:
设箱高为xcm,则箱底边长为(60-2x)cm,则箱子容积
V(x)=(60-2x)2·
x(0<
30).(后面同解法一,略)
由题意可知,当x过小或过大时,箱子容积都很小,所以最大值出现在极值点处.
事实上,可导函数V(x)=x2h=、V(x)=(60-2x)2·
x在各自的定义域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值.
对于比较复杂的实际问题,单靠猜想——证明的方法显然不行,这样就更提高了学生用导数知识解决问题的主动性,从而引出本节课的课题,并初步形成解题思路和解题步骤.
求实际应用题的最大(最小)值的一般方法是:
(1)分析问题中各量之间的关系,把实际问题转化为数学问题,建立函数关系式;
(2)确定函数的定义域,并求出极值点;
(3)比较各极值与定义域端点函数值的大小,结合实际,确定最值或最值点.
例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料最省?
学生自行设计图形,分组讨论、交流协作.
对于圆柱体的体积公式,学生可能会遗忘,需要教师提示.
解:
设圆柱的高为h,底面半径为R,容积为V,则表面积S=2πRh+2πR2.
由V=πR2h,得h=.
则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2.
令S′(R)=-+4πR=0,解得R=,
从而h====2,即h=2R.
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值.
当罐的高与底面直径相等时,所用材料最省.
点评:
实际应用问题的最优化,可以转化为函数在指定范围内的最大值问题.因此,恰当设变量,准确构建函数关系式(明确定义域),并用导数法(其他方法也可)求出函数最值是这类问题的基本解题步骤.
例2学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?
两名学生板演,其他学生独立完成,最后教师讲评.
如何设变量,准确列出函数表达式,明确函数定义域,多数学生还不够规范.
设版心的高为xdm,则版心的宽为dm,此时四周空白面积为
S(x)=(x+4)(+2)-128=2x++8,x>
0.
求导数,得S′(x)=2-.
令S′(x)=2-=0,解得x=16(x=-16舍去).所以版心的宽为==8(dm).
当x∈(0,16)时,S′(x)<
0;
当x∈(16,+∞)时,S′(x)>
因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点.所以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使海报四周空白面积最小.
当版心高为16dm,宽为8dm时,海报四周空白面积最小.
例3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响.
(1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
你想从数学上知道它的道理吗?
(2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
【背景知识】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:
cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
问题:
(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小?
由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是
y=f(r)=0.2×
πr3-0.8πr2=0.8π(-r2),0<
r≤6.
令f′(r)=0.8π(r2-2r)=0,解得r=2(r=0舍去).
当r∈(0,2)时,f′(r)<
当r∈(2,6)时,f′(r)>
因此,当半径r>
2时,f′(r)>
0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;
半径r<
2时,f′(r)<
0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.
(1)半径为2cm时,利润最小,这时f
(2)<
0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.
(2)半径为6cm时,利润最大.
通过对解答过程的分析,我们可以发现:
当r=3时,f(3)=0,即瓶子的半径为3cm时,饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等;
当r>
3时,利润才为正值.
0,f(r)为减函数,其实际意义为:
瓶子的半径小于2cm时,瓶子的半径越大,利润越小,当半径为2cm时,利润最小.
巩固练习
一条水渠的断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在断面ABCD的面积为定值S时,使得四周l=AB+BC+CD最小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此时的高h和下底边长b.
由梯形的面积公式,得S=(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC,DE=h,BC=b,
∴AD=h+b.∴S=(h+2b)h=(h+b)h.①
∵CD==h,AB=CD,∴l=h×
2+b.②
由①,得b=-h,代入②,
∴l=h+-h=h+,
l′=-=0.∴h=.当h<
时,l′<
h>
时,l′>
∴h=时,l取最小值,此时b=2·
.
1.解决优化问题的方法是:
首先要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,创造在闭区间内求函数最值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.
2.利用导数解决优化问题的基本思路:
变练演编
变式1:
当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使圆柱形饮料罐的容积最大?
变式2:
某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1200+x3(万元),又知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,问产量定为多少时总利润最大?
变式3:
已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25-q.求产量q为何值时,利润L最大?
S=2πRh+2πR2
h=
V(R)=πR2=(S-2πR2)R=SR-πR3.
V′(R)=0
S=6πR2
6πR2=2πRh+2πR2
h=2R.
圆柱形金属饮料罐的高为底面半径的2倍时,才能使其容积最大.
设单价为q>
0,由题意q2·
x=k.
∵当x=100时,q=50,∴502·
100=k,k=250000.∴q2·
x=250000,即q=.
∴总利润y=xq-c(x)=x·
-1200-x3=500-x3-1200.
令y′=500·
-·
3x2==0.∴6250-2x=0,解得x=25.
当x<
25时,y′>
当x>
25时,y′<
经检验x=25时,y有最大值.
产量定为25件时,总利润最大.
收入R=q·
p=q(25-q)=25q-q2,
利润L=R-C=(25q-q2)-(100+4q)=-q2+21q-100(0<
q<
100),
L′=-q+21.
令L′=0,即-q+21=0,从而求得唯一的极值点q=84,也是最大值点.
产量为84时,利润L最大.
达标检测
1.江轮逆水行驶300km,水速为v(km/h),船相对于水的速度为x(km/h).已知行船时每小时的耗油量为cx2(L),即与船相对于水的速度的平方成正比.问x多大时,全程的耗油量最少?
2.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数关系式可以表示为y=x3-x+8(0<
x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
答案:
1.耗油量关于x的函数为H(x)=(c>
0,v>
0,x>
v),通过求导运算,可得当x=2v时,全程的耗油量最少.(本题除了用导数求最小值外,还可以运用均值不等式求解:
H(x)==300c=300c[x-v++2v]≥1200cv.当且仅当x-v=,即x=2v时等号成立.)
2.
(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(小时),
要耗油(×
403-×
40+8)×
2.5=17.5(升).
当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.
(2)当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,
依题意,得h(x)=(x3-x+8)·
=x2+-(0<
x≤120).
h′(x)=-=(0<
令h′(x)=0,得x=80.
当x∈(0,80)时,h′(x)<
0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时,h′(x)>
0,h(x)是增函数.
∴当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25,也是h(x)的最小值.
汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少为11.25升.
解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题,再化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.
“生活中的优化问题举例”实际上是求实际问题的最大(小)值,其主要步骤如下:
(1)列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x);
(2)求函数的导函数f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
课本习题1.4A5,B1.
1.已知矩形的两个顶点位于x轴上,另外两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,求这种矩形中面积最大者的长和宽.
2.一书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要耗库存费40元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少?
1.设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y),且x>0,y>0,
则在抛物线上的另一个顶点为(-x,y),在x轴上的两个顶点为(-x,0)、(x,0),其中0<x<2.则矩形的面积为S(x)=2x(4-x2),0<x<2.
由S′(x)=8-6x2=0,得x=.易知x=是S(x)在(0,2)上的极值点,即是最大值点,所以这种矩形中面积最大者的长、宽分别为和.
2.假设每次进书x千册,手续费与库存费之和为y元,
由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即,故有
y=×
30+×
40(x>
0),y′=-+20.
令y′=0,得x=15;
令y′>
0可得x>
15;
令y′<
0可得x<
15.
所以当x=15时,y取得极小值,且极小值唯一,
故当x=15时,y取得最小值,此时进货次数为=10(次).
即该书店分10次进货,每次进15000册书,所付手续费与库存费之和最少.
应用题求解,要正确写出目标函数,并明确题意所给的变量制约条件.应用题的分析中如确定有极小值,且极小值唯一,即可确定极小值就是最小值.
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.所以,本节课一开始就从同学们比较熟悉的二次函数、平均值不等式等应用问题入手,让学生初步了解用函数的方法解决实际应用问题的思想.由于导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面:
1.与几何有关的最值问题;
2.与物理学有关的最值问题;
3.与利润及其成本有关的最值问题;
4.效率最值问题.
教学中选取了其中一部分内容,一方面扩大学生视野,一方面解决了由于对问题背景陌生造成的审题障碍,从而使题目解答难度过大的问题.教学过程的设计,侧重了师生双边活动,既让学生积极参与问题分析,又让学生独立完成部分题目的解答,最大限度地提升课堂容量,降低问题难度,提高课堂效率.
1.磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘,并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长的弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit).
为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于m,每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索的方便,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.
现有一张半径为R的磁盘,它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域.
(1)是不是r越小,磁盘的存储量越大?
(2)r为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?
由题意知,存储量=磁道数×
每磁道的比特数.
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达.由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大的存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达.所以,磁盘总存储量f(r)=·
=r(R-r).
(1)它是一个关于r的二次函数,从函数的解析式上可以判断不是r越小,磁盘的存储量越大.
(2)为求f(r)的最大值,计算f′(r)=0,f′(r)=(R-2r),
令f′(r)=0,解得r=.
当r<
时,f′(r)>
时,f′(r)<
因此,当r=时,磁盘具有最大存储量,此时最大存储量为·
=.
2.工程建设中的选址最优问题
有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸,乙城离岸40千米,乙城到岸的垂足与甲城相距50千米,两城在此河边合建一水厂取水,从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元,问水厂应设在河边的何处,才能使水管费用最省?
设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米,所需水管总费用为y元,
则y=500(50-x)+700=25000-500x+700,
y′=-500+700×
(x2+1600)-·
2x=-500+.
令y′=0,解得x=.
当x∈[0,)时,y′<
当x∈[,50)时,y′>
0.所以当x=时,y′取得极小值,也是最小值.
水厂建在距甲距离为(50-)千米时,所需水管总费用最省.
(设计者:
张春生)
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- 生活中的优化问题举例 新人 高中数学 选修 22 第一章 生活 中的 优化 问题 举例 教学 设计