最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列》自我小测2.docx
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最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列》自我小测2.docx
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最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列》自我小测2
自我小测
2.4.1等比数列
(一)
夯基达标
1.已知等比数列{an},a4=7,a6=21,则a8等于()
A.35B.63C.
D.
2.一个各项均为正数的等比数列,每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q等于()
A.
B.
C.
D.
3.等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=31,a2+a3+a4+a5+a6=62,则通项是()
A.2n-1B.2nC.2n+1D.2n-2
4.已知等比数列{an}中,a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8=______________.
5.在7和56之间插入a,b两数,使7,a,b,56成等差数列,插入c,d两数,使7,c,d,56成等比数列,则a+b+c+d=______________.
能力提升
6.已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于()
A.2B.4C.8D.16
7.(2008山东潍坊模拟)已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*且对任意m,n∈N*都有①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,1)=2f(m,1).则f(2007,2008)的值为()
A.22006+2007B.22007+2007
C.22006+4014D.22007+4014
8.三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,这三个数的和为6,求这三个数.
9.已知数列{an}是各项为正数的等差数列,lga1、lga2、lga4成等差数列,又
n=1,2,3,….证明:
{bn}成等比数列.
则(a1+d)2=a1(a1+3d).
∴d2=a1d.
∴d(d-a1)=0.
当d=0时,{an}为常数列,{bn}也为常数列,
此时{bn}是首项为正数,公比为1的等比数列.
当d=a1≠0时,
∴
(常数).
这时{bn}是首项为
公比为
的等比数列.
综上知{bn}是等比数列.
10.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.
(1)求c的值;
(2)求{an}的通项公式.
拓展探究
11.我们在洗一件衣物时,假设每次都用相同体积的清水,每次能洗去污垢的
现要求衣物上存留的污垢在1%以下,那么我们应该至少洗几次?
参考答案
1解析:
∵a6=a4q2,∴
.
∴a8=a6q2=21×3=63.
答案:
B
2解析:
由题意有an=an+1+an+2=anq+anq2,而an≠0,
∴q2+q-1=0.
∴
.
而an>0,∴q>0.
∴
.
答案:
C
3解析:
由于
∴等比数列{an}的公比为2.
将q=2代入a1+a2+a3+a4+a5=31,得a1(1+q+q2+q3+q4)=31.
∴a1=1.
∴an=2n-1.
答案:
A
4解析:
∵(a3+a5)·q6=a9+a11,
∴
.
又∵
.
答案:
5解析:
∵7,a,b,56成等差数列,
∴a+b=7+56=63.
∵7,c,d,56成等比数列,
∴公比
.
∴q=2.
∴c=14,d=28.
∴c+d=42.
∴a+b+c+d=105.
答案:
105
6解析:
设{an}的公比为q,由a3a11=4a7及数列{an}是等比数列得a3a11=a1q2·a1q10=(a1q6)2=a72=4a7,
所以a7=4,即b7=a7=4.
因为数列{bn}为等差数列,
所以b5+b9=2b7=8.
答案:
C
7解析:
由题意知f(2007,2008)=f(2007,1)+2×2007=f(1,1)×22006+2×2007=22006+4014.故选C.
答案:
C
8解:
三个数适当排列,不同的排列方法有6种,但这里不必分成6种,因为若以三个数中哪一个数为等比中项,则只有三种情况,因此对于分类讨论问题,恰当的分类是解好问题的关键.
由已知,可设这三个数为a-d,a,a+d,
则a-d+a+a+d=6,
∴a=2.
这三个数可表示为2-d,2,2+d,
(1)若2-d为等比中项,
则有(2-d)2=2(2+d).
解之,得d=6或d=0(舍去).此时三个数为-4,2,8.
(2)若2+d是等比中项,
则有(2+d)2=2(2-d).
解之,得d=-6或d=0(舍去).此时三个数为8,2,-4.
(3)若2为等比中项,
则22=(2+d)·(2-d),
∴d=0(舍去).
综上可求得此三数为-4,2,8.
9证明:
∵lga1、lga2、lga4成等差数列,
∴2lga2=lga1+lga4.
∴a22=a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d,
10解:
(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,
因为a1,a2,a3成等比数列,
所以(2+c)2=2(2+3c).
解得c=0或c=2.
当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.
(2)因为a2-a1=c,a3-a2=2c,…,
an-an-1=(n-1)c,
所以
.
又a1=2,c=2,故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).
当n=1时,上式也成立,所以an=n2-n+2(n=1,2,…).
11解:
可以设衣物上原有的污垢为整体1,则洗1次后存留的污垢为
洗2次后存留的污垢为
洗3次后为
…,每次洗后与上次洗后的比都为同一个常数
所以每次洗后存留下的污垢的数量就构成了一个等比数列,由此我们可以得出洗n次后存留的污垢为
.要想满足要求,需
<1%,则n>3.故应至少洗4次,存留的污垢才能在1%以下.
2.4.2等比数列
(二)
夯基达标
1.在等比数列{an}中,a3·a4·a5=3,a6·a7·a8=24,则a9·a10·a11的值等于()
A.48B.72C.144D.192
2.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()
A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9
3.已知等比数列{an}各项均为正数,且a1,
a2成等差数列,则
等于()
A.
B.
C.
D.
4.若在20,50,100三个数上各加同一个常数,使它们构成一个等比数列,则数列的公比是()
A.
B.
C.
D.
5.若{an}是等比数列,a4·a7=-512,a3+a8=124,且公比q为整数,则a10=_____________.
6.(2009山东青岛模拟)已知各项不为0的等差数列{an},满足2a3-a72+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8等于()
A.2B.4C.8D.16
能力提升
7.等差数列{an}中,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则
__________.
8.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,其公比q≠1,且bi>0(i=1,2,3,…),若a1=b1,a11=b11,则()
A.a6=b6B.a6>b6
C.a6<b6D.a6>b6或a6<b6
9.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍.那么该单位此年的月平均增长率是______________.
10.已知等比数列的前3项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.
11.某国银行A提供每月支付一次年利率为7%的复利存款业务,而银行B提供每天支付一次年利率为6.9%的复利存款业务,问哪种效益好?
拓展探究
12.在等差数列{an}中,公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项,已知数列a1,a3,
…成等比数列,求数列{kn}的通项.
参考答案
1解析:
由等比数列的性质,知(a6·a7·a8)2=(a3·a4·a5)·(a9·a10·a11),
∴
.
答案:
D
2解析:
∵b2=(-1)×(-9)=9,
∴b=±3.
又b<0,∴b=-3.
ac=(-1)×(-9)=9.
答案:
B
3解析:
由题意得a3=a1+a2,即a1q2=a1+a1q,
∴q2=1+q.
∵q>0,
∴
.
∴
.
答案:
B
4解析:
设在20,50,100三个数上同加一个x,由题目已知可得(50+x)2=(20+x)·(100+x).
解之,得x=25.
故成等比数列的三个数为20+25,50+25,100+25,公比为
.
答案:
B
5解析:
由a3·a8=a4·a7=-512,
联立
∴
∴q=-2或
(舍).
∴a10=a8·q2=128×(-2)2=512.
答案:
512
6解析:
由题意知{an}为等差数列,a3+a11=2a7,
∴4a7-a72=0,
则a7=4,a7=0(舍).
∴b7=4,
则b6b8=b72=16.
答案:
D
7解析:
在等差数列中,有a3+a9=2a6,a4+a10=2a7,
∴
.
∵a1,a3,a9成等比数列,
∴(a1+2d)2=a1(a1+8d).
∴a1=d.
∴a6=6a1,a7=7a1.
∴所求的值为
.
答案:
8解析:
如图,在同一坐标系中,分别作出{an}和{bn}对应函数的图象,由图可知a6>b6.
故选B.
答案:
B
9解析:
由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,求月平均增长率只需利用
所以月平均增长率为
.
答案:
10思路分析:
利用已知条件,列出关于首项a1和公比q的方程组,求出a1和q后,问题便得以解决.
解:
设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得
即
∵1-q3=(1-q)(1+q+q2),
∴由①②可得
.
∴
.
此时
.
若G是a5,a7的等比中项,则应有
.
∴a5,a7的等比中项是±3.
11解:
在年利率为r的前提下,所谓“每月支付一次”,也就是按月利率
每月付息;“每天支付一次”,也就是按日利率
每日付息,
故有在A银行最初存入100美元,那么一年以后所得的本利和为
所以年有效收益为7.23%.
而在B银行最初存入100美元,那么一年以后所得的本利和为
.
所以年有效收益为7.14%.
比较两银行提供的年有效收益,可见银行A提供的投资行为效益更好.
12解:
依题设得an=a1+(n-1)d,a22=a1a4,
∴(a1+d)2=a1(a1+3d),
整理,得d2=a1d.
∵d≠0,
∴d=a1.
∴an=nd.
∴由已知得d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比数列.
由d≠0,
∴数列1,3,k1,k2,…,kn,…也是等比数列,首项为1,公比为
由此得k1=9.
等比数列{kn}的首项k1=9,公比q=3,
∴kn=9×qn-1=3n+1(n=1,2,3,…),
即得到数列{kn}的通项为kn=3n+1.
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