---【北京市】中考数学试题及答案.doc
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2017年北京市高级中等学校招生考试数学试卷第20页共20页
2017年北京市高级中等学校招生考试数学试卷
学校 姓名 准考证号 2017.6.25
考生须知
1.本试卷共8页,共三道大题,29道小题,满分120分.考试时间120分钟.
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.
4.在答题卡上,选择题、作图题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.
一、选择题〔本题共30分,每小题3分〕第1-10题均有四个选项,符合题意的选项只有一个。
1.如图所示,点P到直线L的距离是〔〕
A.线段PA的长度B.线段PB的长度
C.线段PC的长度D.线段PD的长度
2.若代数式有意义,则实数X的取值范围是〔〕
A.X=0B.X=4C.X≠0D.X≠4
3.右图是某个几何体的展开图,该几何体是〔〕
A.三棱柱B.圆锥C.四棱柱D.圆柱
4.实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是〔〕
A.a>─4B.bd>0
C.|a|>|d|D.b+c>0
5.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是〔〕
6.若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是〔〕
A.6B.12C.16D.18
7.如果a2+2a─1=0,那么代数式的值是〔〕
A.─3B.─1C.1D.3
8下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.
(以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)》)
根据统计图提供的信息,下列推断不合理的是〔〕
(A)与2015年相比,2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长
(B)2011-2016年,我国与东南亚地区的贸易额逐年增长
(C)2011-2016年,我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元
(D)2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9.小苏何小林在右图所示的跑道上进行4×50米折返跑,在整个过程中,跑步者距起跑线的距离y
〔单位:
m〕与跑步时间t〔单位:
s〕的对应关系如下图所示。
下列叙述正确的是〔〕
A.两人从走路线同时出发,同时到达终点;
B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度;
C.小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程;
D.小林在跑最后100m的过程中,与小苏相遇两次。
10.下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果。
下面有三个推断:
①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是0.616;
②随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以
估计“钉尖向上”的概率是0.618;
③若再次用计算机模拟此实验,则当投掷次数为1000时,“钉尖向上”的频率一定是0.620。
其中合理的是〔〕
(A)①(B)②(C)①②(D)①③
二、填空题〔本题共18分,每小题3分〕
11.写出一个比3大且比4小的无理数。
12.某活动小组买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其中篮球的单价比足球的单价多3
元,求篮球的单价和足球的单价。
设篮球的单价为X元,足球的单价为y元。
依题意,可列方
程组为。
13.如图,在ΔABC中,M,N分别为AC,BC的中点,
若SΔCMN=1,则S四边形ABNM=。
14.如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上的点,弧AD=弧CD,
若∠CAB=40°,则∠CAD=°
15.如图,在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看作
是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)
得到的,写出一种由△OCD得到△AOB的过程:
16.下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程.
已知:
Rt△ABC,∠C=90°.
求作:
Rt△ABC的外接圆.
作法:
如图,
(1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,
两弧相交于P,Q两点;
(2)作直线PQ,交AB于点O;
(3)以O为圆心,OA为半径作⊙O.
⊙O即为所求作的圆.
请回答:
该尺规作图的依据是:
.
三、解答题〔本题共72分,第17-19题,每小题5分,第20题3分,第21-24题,每小题5分,
第25、26题,每题6分,第27、28题,每题7分,第29题8分〕
17.计算:
4cos30°+〔1─〕0─+|─2|
18.解不等式组:
19.如图,在ΔABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,
求证:
AD=BC
20.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行
于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用
“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证。
(以上材料来源于《古证复原的原则》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)
请根据上图完成这个推论的证明过程。
证明:
S矩形NFGD=SΔADC─〔SΔANF+SΔFGC〕,
S矩形EBMF=SΔABC─〔+〕
易知,SΔADC=SΔABC,=,=,
可得:
S矩形NFGD=S矩形EBMF
21.已知关于X的一元二次方程X2─〔K+3〕X+2K+2=0
〔1〕求证:
方程总有两个实数根。
〔2〕若方程的一个根小于1,求K的取值范围。
22.如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,
∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
〔1〕求证:
四边形BCDE为菱形。
〔2〕连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长。
23.如图,在平面直角坐标系XOy中,函数y=〔X>0〕的图像与直线y=X─2交于点A〔3,m〕.
〔1〕求K,m的值。
〔2〕已知点P〔n,n〕〔n>0〕,过点P作平行于X轴的直线,交直线y=X─2于点M.
过点P作平行于y轴的直线,交函数y=〔X>0〕的图像于点N
①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由。
※②若PN≥PM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围。
.
24.如图,AB是⊙O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作⊙O的切线
交CE的延长线于点D.
〔1〕求证:
DB=DE
〔2〕若AB=12,BD=5,求⊙O的半径。
25.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人,为了解这两个部门员工的生产技能情况,进行了抽样
调查,过程如下,请补充完整.
收集数据:
从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工,进行了生产技能测试,测试成绩(百分制)下:
甲:
78867481757687707590
75798170748086698377
乙:
93738881728194837783
80817081737882807040
整理、描述数据:
按如下分数段整理、描述这两组样本数据:
部门
40≤X≤49
50≤X≤59
60≤X≤69
70≤X≤79
80≤X≤89
90≤X≤100
甲
0
0
1
11
7
1
乙
(说明:
成绩80分及以上为生产技能优秀,70~79分为生产技能良好,60~69分为生产技能合格,
60分以下为生产技能不合格)
分析数据:
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:
部门
平均数
中位数
众数
甲
78.3
77.5
75
乙
78
80.5
81
得出结论:
a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为;
b.可以推断出部门员工的生产技能水平较高,理由为.
(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
26.如图,P是AB弧所对弦AB上一动点,过点P作PM⊥AB交AB弧于点M,连接MB,过点P
作PN⊥MB于点N.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为Xcm,P,N两点间的距离为ycm。
(当点P与点B重合时,y的值为0)
小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量X的变化而变化的规律进行了探究。
下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了X与y的几组值,
如下表:
X/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
2.0
2.3
2.1
0.9
0
(说明:
补全表格时相关数值保留一位小数)
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
当△PAN为等腰三角形时,AP的长度约为______cm。
27.在平面直角坐标系XOy中,抛物线y=X2─4X+3与X轴交于点A,B(点A在点B的左侧),
与y轴交于点C。
〔1〕求直线BC的表达式;
〔2〕垂直于y轴的直线L与抛物线交于点P〔X1,y1〕,Q〔X2,y2〕,与直线BC交于点N〔X3,y3〕,
若X1<X2<X3,结合函数的图象,求X1+X2+X3的取值范围。
28.在等腰直角ΔABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点〔与点B,C不重合〕,连接AP,延长
BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M。
〔1〕若∠PAC=α,求∠AMQ的大小〔用含α的式子表示〕
〔2〕用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明。
29.对于平面直角坐标系XOy中的点P和图形M,给出如下定义:
若在图形M上存在一点Q,
使得P,Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点。
〔1〕当⊙O的半径为2时,
①在点P1〔,0〕,P2,P3〔,0〕中,⊙O的关联点是
②点P在直线y=─X上,若P为⊙O的关联点,求点P的横坐标的取值范围。
〔2〕⊙C的圆心在X轴上,半径为2,直线y=─X+1与X轴、y轴分别交于点A,B,若线段AB
上的所有点都是⊙O的关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围。
2017北京中考数学试题参考答案及评分标准
一、选择题〔本题共30分,每小题3分〕
1.B2.D3.A4.C5.A6.B7.C8.D9.D10.B
二、填空题〔本题共18分,每小题3分〕
11.〔答案不唯一〕12.13.3.14.25
15.先将ΔOCD向左平移2个单位,再以点C为旋转中心,将ΔOCD顺时针旋转90°〔答案不唯一〕
16.①直径的中点是圆心,②直角三角形的斜边中线等于斜边的一半
③直径所对的圆周角是直角,④到定点的距离等于定长的点的集合是一个圆
三、解答题〔本题共72分,第17-19题,每小题5分,第20题3分,第21-24题,每小题5分,
第25、26题,每题6分,第27、28题,每题7分,第29题8分〕
17.计算:
4cos30°+〔1─〕0─+|─2|
解:
原式=4×+1─2+2=2+1─2+2=1+2=3--------------------5分
18.解不等式组:
解:
由2〔X+1〕>5X─72X+2>5X─7─3X>─9解得X<3----2分
由>2XX+10>6X─5X>─10解得X<2----4分
∴不等式组的解集为X<2-----------------5分
19.如图,在ΔABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,
求证:
AD=BC
证明:
∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB==72°
∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=36°∴∠ABD=∠A∴AD=BD
∵∠BDC=180°─∠CBD─∠C=180°─36°─72°=72°∴∠BDC=∠C∴BD=BC
∴AD=BC-----------------5分
20.〔3分〕〕①SΔAEF②SΔFMC③SΔAEF④SΔANF⑤SΔFMC⑥SΔFCG
21.已知关于X的一元二次方程X2─〔K+3〕X+2K+2=0
〔1〕求证:
方程总有两个实数根。
〔2〕若方程的一个根小于1,求K的取值范围。
解:
〔1〕Δ=[─〔K+3〕]2─4〔2K+2〕=K2+6K+9─8K─8=K2─2K+1=〔K─1〕2
∵〔K─1〕2≥0即Δ≥0∴方程总有两个实数根。
--------------------2分
〔2〕X=
X1=X2=
∵方程的一个根小于1,∴X1=K+1<1∴K<0------------------5分
22.如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,
∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
〔1〕求证:
四边形BCDE为菱形。
〔2〕连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长。
解:
〔1〕证明:
∵∠ABD=90°,E为AD的中点,
∴AE=DE=BE-------------------------------直角三角形斜边中线定理
∵AD∥BC,∴ED∥BC∵AD=2BC,∴BC=DE=BE
∴四边形BCDE为平行四边形--------一组对边平行且相等的四边形为平行四边形
∵BC=BE∴平行四边形BCDE为菱形。
-------两个邻边相等的平行四边形是菱形
〔2〕连接EC,∵AD∥BC,∴AE∥BC,
∵E为AD的中点,AD=2BC,∴AE=BC∴四边形ABCE为平行四边形
∵AC平分∠BADAD∥BC∴∠BAC=∠EAC=∠ACB∴AB=BC
∴平行四边形ABCE为菱形∵BC=BE∴AB=AE=BE∴ΔABE为等边三角形,
∴∠BAE=60°∠ABE=60°AC⊥BE∴∠BAC=30°
∵BC=1∴AB=1设AC与BE交于点M∴AM=,
∴AC=2AM=---------------------------5分
23.如图,在平面直角坐标系XOy中,函数y=〔X>0〕的图像与直线y=X─2交于点A〔3,m〕.
〔1〕求K,m的值。
〔2〕已知点P〔n,n〕〔n>0〕,过点P作平行于X轴的直线,交直线y=X─2于点M.
过点P作平行于y轴的直线,交函数y=〔X>0〕的图像于点N
①当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由。
※②若PN≥PM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围。
.
解:
〔1〕据题意,点A〔3,m〕在直线y=X─2上,
∴m=3─2=1∴A〔3,1〕
又∵点A〔3,1〕在函数y=〔X>0〕的图像上,∴K=3
〔2〕①当n=1时,点P〔1,1〕,
∵PM∥X轴,∴My=Py=1∴MX=3M〔3,1〕
∵PN∥y轴∴NX=PX=1∴Ny=3N〔1,3〕∴PM=PN=3─1=2----------2分
②可知过点P的直线解析式为y=X〔X>0〕,与直线y=X─2平行,PM=n+2─n=2,
函数y=〔X>0〕的解析式为y=,其与直线y=X的交点的坐标为〔,〕
当0<n<时,PN=─n,PM=2;若PN≥PM,则─n≥2,解得n≤1
当n≥时,PN=n─,PM=2;若PN≥PM,则n─≥2,解得n≥3
综上,当0<n≤1或n≥3时,PN≥PM-----------------5分
24.如图,AB是⊙O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作⊙O的切
线交CE的延长线于点D.
〔1〕求证:
DB=DE〔2〕若AB=12,BD=5,求⊙O的半径。
解:
〔1〕∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA
∵BD是⊙O的切线,∴∠OBD=90°∴∠OBA+∠DBE=90°
∵EC⊥OA∴∠CAE+∠CEA=90°∴∠CEA=∠DBE
∵∠CEA=∠BED∴∠BED=∠DBE∴DE=DB----------2分
〔2〕连接OE,作DF⊥AB于F,∵E是AB的中点,∴OE⊥AB∵AB=12∴AE=BE=6
∵DE=DB∴EF=BF=3∵BD=5∴DF=4∵∠A=∠EDFAE=6∴AC=AE=
∵EC⊥OAOE⊥AE,根据射影定理,AE2=AC·OA∴OA=7.5--------------5分
25.40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100
甲0011171
乙1007102----2分
得出结论:
a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为400×〔12÷20〕=240人;--------------4分
b.可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高,理由为:
乙部门生产技能优秀的众数为81分,以及平均数均高于甲部门----------6分
26.如图,P是AB弧所对弦AB上一动点,过点P作PM⊥AB交AB弧于点M,连接MB,过点P
作PN⊥MB于点N。
已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为Xcm,P,N两点间的距离为ycm。
(当点P与点B重合时,y的值为0)
小东根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究。
下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了X与y的几组值,
如下表:
【X=4时,y≈1.6】MB=2,y=PN≈1.627.
X/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
2.0
2.3
2.1
- 配套讲稿:
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