--1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准.docx
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A卷
2015—2016学年第一学期
《线性代数》期末试卷答案
(32学时必修)
专业班级
姓名
学号
开课系室应用数学系
考试日期2016年1月15日
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
本题满分
15
15
21
16
12
14
7
本题得分
阅卷人
注意事项:
1.请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题(请勿用铅笔答题),反面及附页可作草稿纸;
2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁;
3.本试卷共七道大题,满分100分;试卷本请勿撕开,否则作废;
4.本试卷正文共7页。
本题满分15分
本题得分
说明:
试卷中的字母表示单位矩阵;表示矩阵的伴随矩阵;
表示矩阵的秩;表示可逆矩阵的逆矩阵.
一、填空题(请从下面6个题目中任选5个小题,每小题3分;若6个题目都做,按照前面5个题目给分)
1.5阶行列式中,项前面的符号为【负】.
2.设,是的第4行元素的代数余子式,则等于【0】.
3.设,为矩阵,且,则【2】.
4.若向量组线性相关,则【1】.
5.设是3阶实的对称矩阵,是线性方程组的解,是线性方程组的解,则常数【1】.
6.设和是3阶方阵,的3个特征值分别为,若,则行列式【-8】.
二、选择题(共5个小题,每小题3分)
本题满分15分
本题得分
1.设为3阶矩阵,且,则行列式等于【A】.
(A);(B);(C);(D).
2.矩阵的逆矩阵为【A】.
(A);(B);(C);(D).
3.设是阶非零矩阵,满足,若,则【A】.
(A);(B);(C)可逆;(D)满秩.
4.设,则的第3行第1列的元素为【D】.
(A);(B);(C);(D).
5.设,是使二次型正定的正整数,则必有【B】.
(A);(B);(C);(D)以上选项都不对.
本题满分21分
本题得分
三、求解下列各题(共3小题,每小题7分)
1.若线性无关,,线性相关,求.
解:
因为与线性相关,所以必定存在不全为
零的数,使得
----------2分
整理得:
由于线性无关,因此可得
由于不全为零,即上述齐次线性方程组有非零解,因此
,由此得k=6.----------7分
2.设,,若,求.
解:
由可知,
由此可得
又----------2分
因此
因此可得.----------7分
3.设矩阵,且,求与的值.
解:
由可知的特征值相同,
而易知的特征值为-1,t,3,因此的特征值也为-1,t,3
利用特征值的性质可得
----------5分
解得.----------7分
本题满分16分
本题得分
四、(共2小题,每小题8分)
1.求向量组
的一个最大无关组,并将其余向量用这一最大无关组表示出来.
解:
令,把进行行变换,化为行最简形,
----------6分
则是C的列向量组的一个最大无关组,且,
故是A的列向量组的一个最大无关组,且.
----------8分
2.问满足什么条件,才能使得共有两个线性无关的特征向量?
解:
由,得A的特征值:
要使A有两个线性无关的特征向量,则特征值3对应一个线性无关的特征向量,
即的解空间的维数为1,则,----------6分
而,因此可知.----------8分
本题满分12分
本题得分
五、问为何值时,线性方程组无解,有无穷多解,并在有无穷多解时求出其通解.
解:
记方程组的增广矩阵为,则,
对其进行行变换,化为行阶梯形:
,
易知,当时,,方程组无解;
当时,,方程组有无穷多解;----------6分
当时,,与原方程组同解的方程组为,
由此可得原方程组的通解为.----------12分
本题满分14分
本题得分
六、求实二次型的秩,并求正交变换,化二次型为标准形.
解:
记二次型的矩阵为,
故二次型的秩为1.----------4分
由,可得:
,
当求解的一个基础解系:
,单位化:
当求解的一个基础解系:
,
正交化:
,
单位化:
,----------12分
令,则可得正交变换,
二次型的标准形为:
.----------14分
本题满分7分
本题得分
七、(请从下面2个题目中任选1个,若2个题目都做,按照第1题给分)
1.“设是阶实的反对称矩阵,则对于任何维实的列向量,和正交,且可逆”.您认为该结论成立吗?
请说明理由.
解:
该结论成立。
由于为反对称阵,则,对于任意维实的列向量,有:
所以,即和正交;----------3分
考虑,即,等式两边同时左乘,得
,由此得:
,即只有零解,
所以,可逆.----------7分
2.设矩阵满足,,试求出的第2行的元素.
解:
等式两边同时左乘得:
,
整理得:
,
已知,由此可求出,----------5分
从而可求出的第2行的元素为:
1,-1,0.----------7分
第8页共7页
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- 线性代数 期末试卷 答案 评分标准